34基本不等式教案.ppt

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1、3.4基本不等式 制作人：龙里中学 于 薇2baab20022002年在北京举行的第年在北京举行的第2424届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标思考：这会标中含有哪思考：这会标中含有哪些几何图形？些几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？abab22+ +问题问题2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等是全等三角形，它们的面积和是三角形，它们的面积和是S=S=问题问题1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=a,BF=b,AF=a,B

2、F=b,则正方形的面则正方形的面积为积为S=S=，问题问题3 3：S S与与SS有什么样的关有什么样的关系？系？ 22ab2ab2222a + b 2aba + b 2ab从图形中易得，从图形中易得，s s,s s,即即思考问题四：问题四：S S, , S有相等的情况吗？有相等的情况吗？何时相等？何时相等？ 图片说明：当直角三角形变图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形，即a=ba=b时时，正方形，正方形EFGHEFGH缩为一个点这时缩为一个点这时有有 22=2abab结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=

3、ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式思考：你能利用作差比较法证明这个不等式吗？思考：你能利用作差比较法证明这个不等式吗？那么a2+b22 a b那么那么a + b 2 若aR,bR若若a0 b0ab, 0, 0ba如果，代替，用代替用bbaa2baab即(0,0)2ababab（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）基本不等式基本不等式几何几何平均数平均数算术算术平均数平均数圆的圆的半弦长半弦长半径半径基本不等式基本不等式代数意义代数意义几何意义几何意义当且仅当当且仅当a =b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等

4、号成立时，等号成立222(abab aR、b）(0,0)2ababab观察比较：观察比较：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：）相同点：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。 和和与与积积的相互转换的相互转换重要不等式重要不等式 基本不等式基本不等式例例1、用篱笆围一个面积为、用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？短。最短篱笆是多少？由由可得可得解：设长为解：设长为x m,宽为宽为y m, 2（x+y）40当且仅当当

5、且仅当x=y即即x=y=10时，等号成立时，等号成立答答(略略)100102xyxy20 xy则则xy=100,篱笆的长为篱笆的长为2(x+y) m类型：两个正数的类型：两个正数的 为定值，为定值，有最小值有最小值例例2、一段长为、一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面 积最大。最大面积是多少？积最大。最大面积是多少？解：设长为解：设长为 x m , 宽为宽为 y m ,1898122xyxyxy由可得当且仅当当且仅当x=y即即x=y=9时，等号成立。时，等号成立。 答答(略略)则则 2 2(x+

6、 +y) =36, x+ +y=18 面积为面积为 xy m2类型类型: 两个正数的两个正数的 为定值，为定值，积积有最大值有最大值砸我砸我砸我砸我砸我砸我1若22,baabbaabRba则判断正误，并说明理由232sin1sin2,0 xxx时，若判断正误，并说明理由4当xxRx33时，256 练习练习0,02ababab（）2220,00,0abababababab （）（）1、若若 , 求求 的最的最 值值10 xyxx2、已知已知 , 求函数求函数 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 1.1.两个不等式两个不等式 （1 1） 当且仅当当且仅当a= =b时，等号成立时，等号成立 （2

7、 2）基本不等式）基本不等式 ： 当且仅当当且仅当a= =b时，等号成立时，等号成立 2.2.基本不等式主要用于基本不等式主要用于求最值求最值 注意具备的条件：注意具备的条件：“正，定，相等正，定，相等”abbaba2R,22那么 ( 0,b0)2ababa课堂小结课堂小结六：作业六：作业 p100习题习题3.4： 1，2谢谢 谢谢20142014年年1010月月2525日日证明证明:要证要证abba2只要证只要证ba ( ) 要证，只要证要证，只要证ba 0( ) 要证，只要证要证，只要证（ ) 20ab2ab2abba 显然显然: : 是成立的是成立的, ,当且仅当当且仅当 时时中的等号成

8、立中的等号成立. .证明: 其中 abba20, 0ba几何平均数几何平均数 代数意义：即两个正数的几何平均数不大于它们的代数意义：即两个正数的几何平均数不大于它们的算数平均数，当且仅当它们相等时取等号算数平均数，当且仅当它们相等时取等号.算术平均数算术平均数2BaababoABDC如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，D D是是ABAB上任上任一点，一点，A AC C= =a a,B,BC C= =b b, ,过点过点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DCDC，连，连ADAD,B,BD D几何意义：几何意义：圆内半弦长不大于圆的半径圆内半弦长不大于圆的半径不等式的几何解释：不等式的几何解释：RCD