数学归纳法上课.ppt

《数学归纳法上课.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法上课.ppt（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 问题情境问题情境1a已知数列已知数列 的通项公式为的通项公式为na22) 55(nnan（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？解：解：1) 5252 (222a1) 5353 (223a1) 5454 (224a猜想该数列的通项公式还可以写为猜想该数列的通项公式还可以写为1na（2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？125) 5555 (225a解：解：所以猜想不正确！所以猜想不正确！)(*Nn22) 5151 (1111a 212a 313a 解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为验证验证:同理得同理得717=a515=a6

2、16=a818=a啊啊, ,有完有完没完啊没完啊? ? 919=a正整数正整数无数个无数个!414=a提出问题：提出问题：对于数列，已知，对于数列，已知，na11=annnaaa+=+11)(*Nn （1）求出数列前）求出数列前4项项,你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？ （2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？)(*Nnnan1本题有没有行之有效本题有没有行之有效, ,步骤有限的方法呢步骤有限的方法呢? ?下面我们看看下列的情景对我们解决本题证下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有什么启示？明有什么启示？问题情景问题情景你见过多米诺骨牌游戏吗你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏

3、一请欣赏一下那下那场景场景!1、第一块骨牌倒下、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下后一块倒下条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第就是假设第K块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第K+1块也倒下块也倒下这与我们要解决的这与我们要解决的问题有相似性吗？问题有相似性吗？ 请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件哪几个条件多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似性吗？性

4、吗？多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也块也倒下。倒下。根据（根据（1）和）和 （2），可），可知不论有多少块骨牌，知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时，猜想成立时，猜想成立根据（根据（1）和（）和（2），可知），可知对任意的正整数对任意的正整数n，猜想猜想都成立。都成立。通项公式为通项公式为 的证的证明方法明方法1nan（2）若当）若当n=k时猜想成时猜想成立，即立，即 ，则当，则当kak1=111+=+kakn=k+1时猜想也成立，时猜想也成立，即即

5、。 nnnaaa+=+1111=a对于数列，已知，对于数列，已知，na)(*Nn写出数列前写出数列前4项项,并猜想其通项公式并猜想其通项公式 ;同学们同学们,你能验证你能验证你的猜想是不是正确的呢你的猜想是不是正确的呢?na证明证明: (1)当当,1时=n猜想成立。猜想成立。,1111=a(2),猜想成立时假设当kn =kak1=即那么那么,当当,1时+= kn=+kkaa1=+kk111111a 212a 313a 解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为414=a1nan 11+k猜想也成立时即当,1+= kn根据根据(1)和和(2)，猜想对于任何，猜想对于任何 都成立。都成立。*N

6、n=+1ka对于某类事物，由它的一些特殊事对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。结论的推理方法，叫归纳法。归纳法归纳法 完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法由特殊由特殊 一般一般 特点特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d二、数学归纳法的概念：二、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法可用下列方法来证明它们的正确性来证明它们的正确性: :(1)验证验证当当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1)时命题成立时命题成

7、立,(2)假设假设当当n=k(k N* ，k n0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(k n0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命题也时命题也成立成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。证明：证明： （1）当）当n=1时，时， 左边左边=12=1

8、 右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即6) 12)(1(3212222+=+kkkk那么那么,当当n=k+1时时2) 1( + k6) 1(6) 12)(1(2+=kkkk6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk6 1) 1(21) 1)(1(+=kkk即当即当n=k+1等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn22222) 1(321+kk凑出目标凑出目标6) 12)(1(+=kkk用到假用到假设设例例 用数学归纳法证明用数学归纳法证明)(6) 12)(1(321*2222

9、Nnnnnn+=+111111证明：证明：1）当n =1式，a = a +(1-1)d = a ,结论成立1）当n =1式，a = a +(1-1)d = a ,结论成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假设n = k式结论成立，即a = a +(k-1)d2)假设n = k式结论成立，即a = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +(k-1)d+d = a +kd = a +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 综合1）、2）知a = a +(n-1)d成立. 综合1）、2）知a = a

10、+(n-1)d成立.所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那么nn1例：已知数列a 为等差，公差为d, :通项公式为a = a +(n-1)d求证求证nn-1n1已知数列a 为等为q,求证:通项：公式为a = a qnn-1nn-1练习练习比数列，比数列，公比公比（提示：a = qa）（提示：a = qa）注意注意 1 1. . 用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个要分两个步骤步骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是

11、递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明证明：证明：当当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立。，等式成立。 假设假设n=k(kN ,k1)时等式成立时等式成立,即：即： 1+3+5+(2k-1)=k2， 当当n=k+1时：时： 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当所以当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由和可知，对由和可知，对nN ，原等式都成立。原等式都成

12、立。例、用数学归纳法证明例、用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=n2 （nN ）. . 请问：请问：第步中第步中“当当n=k+1时时”的证明可否改换为：的证明可否改换为：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)2 ?为什么？为什么？（k+1)1+(2k+1)2证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法可用下列方法来证明它们的正确性来证明它们的正确性: :(1)(1)验证当验证当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立, ,(2)(2)假设当

13、假设当n=n=k(kk(k N N* * ，k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。注意注意 1 1. . 用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个要分两个步骤步骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递

14、推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件，而命题成立作为必用的条件，而n nk+1k+1时情时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明理等加以证明小结小结) 1(2143211+=+nnn、练习练习:用数学归纳法证明用数学归纳法证明) 1(4332212+nn、)2)(1(31+=nnn错误！错误！错误原因：没有第一步错误原因：没有第一步n=1等式成立的证等式成立的证明明其实其实n=1等式等式并不成立并不成立，左边，左边=1，右边，右边=2试判断下列用试判断下列用数学归纳法证明过程数学归纳法证明过程是否正确

15、是否正确)( 1)2(5311*2Nnnn、即时命题成立假设证明，kn =:1)2(5312+=+kk那么，当那么，当n=k+1时时) 12()2(531+kk112) 12(122+=+=kkkk1) 1(2+= k即当即当n=k+1时等式也成立时等式也成立可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.* Nn那么，当那么，当n=k+1时时)( 1222222*1210Nn、nn=+证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=20=1, 右边右边=21 1=1等式成立等式成立（2）假设）假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1222221210kk=+kk222221210即当即当n=k+1

16、时等式也成立时等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn错误原因：由证明错误原因：由证明n=k+1等式成立时等式成立时没有用到没有用到n=k命题成立的命题成立的归纳假设归纳假设12 k122k121k21211k121k错误！错误！k2小结：小结：一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命题”的方法 数学归纳法二个注意：1、“二步一结论”缺一不可。2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳假设思考思考已知数列已知数列,411,741,10711(32)(31)nn ， ，计算计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。的表达式，并用数学归纳法进行证明。作业作业:P19 习题习题1-4 1、2、3题题