2022高考数学：立意新颖界定明确有效区分——2022全国新高考1卷数学评析.pdf

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1、1立意新颖，界定明确，有效区分立意新颖，界定明确，有效区分20222022 全国新高考全国新高考 1 1 卷数学评析卷数学评析“立意新颖，不为题海战术开方便之门。界定明确，对一线教师的教学有导向功能。有效区分，让不同水平的学生高低立显。1”这是命题研究组对 2022全国新高考 1 卷数学的总体感知。 落实到 2022 全国新高考 1 卷数学的试题教学，这种感触逐步加深。2022 全国数学高考落下帷幕，命题研究组通过研题、试讲、回顾、反思，对 2022 年全国新高考 1 卷数学题，深受启发，特撰写此文。立意新颖，不为题海战术开方便之门立意新颖，不为题海战术开方便之门2022 全国高考数学试题颇具

2、江苏特色江苏特色。譬如：选择题压轴题第 8 题，解答题压轴题第 21 题等。选择题第选择题第 8 题及其出题背景研究题及其出题背景研究该题为 2016 年江苏高考试题第 17 题的改编。选项具有迷惑性，做到了“有效区分”。命题研究组研究员在给高一学生讲解第 8 题时，发现：有高一学生，采用“极端思想”，求得答案为 B。实则答案为 C。参考答案：22)cos(sin144V；注意到2422cossin)cos(sin222cos2sinsin213222)3cos2sinsin(21274364274144)cos(sin14422V，故，答案选 C，而非 B。本题题源是教材习题，改编自 201

3、6 年江苏高考第 17 题。教材习题 求函数cossin2y)20(的最大值。试题修改 对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理2方向：处理成侧棱长为 1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为 1”、“母线长为 1”均改为“长为a”.（1）按处理方向处理，形成）按处理方向处理，形成 1 稿稿.1 稿 已知一正四棱锥1111DCBAP的高为1PO,侧棱长为a)0( a，记11POA)20(，求其体积V的最大值及此时1PO的长。提示：cossin3223aV ，cos1aPO 2 稿 现要设计一个仓库，它

4、由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥1111DCBAP，其侧棱长为a)0( a，其底面正方形的中心为1O,下部分形状为正四棱柱1111DCBAABCD ，其底面正方形的中心为O,要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高1PO的k)0( k倍，求仓库容积V最大时1PO的长.2 稿分析：稿分析：记11POA)20(，则cossin)232(23akV；注意到2422cossin)cos(sin222cos2sinsin213222)3cos2sinsin(21274，当且仅当22cos2sin，即33cos时，等号成立；33)232(932)232(274akakV，aaPO33cos1.2016

5、年江苏高考第 17题为 2 稿的特例（高考题为4, 6ka的情况，321PO,3416V）（2）按处理方向处理，形成问题变式.变式 现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为P,底面圆圆心为1O的圆锥，其母线长为a)0( a，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为O，要求圆柱的高OO1是圆锥的高1PO的k)0( k倍，求仓库容积V最大时1PO的长.注：该例为笔者文章“2例谈高中数学教材试题的衍生以江苏高考数学试题命制为例J. 文理导航(中旬),2017,(02)”节选。 也是 江苏高考数学复习指南 （刘3蒋巍著）、中学学科学法指导（刘蒋巍著）一

6、书内容。以此为背景命制的题有很多，譬如：拓展阅读拓展阅读 1：2019 江苏江苏 19 题第题第 3 问及其新解法问及其新解法解答题第解答题第 21 题及其出题背景研究题及其出题背景研究笔者长期从事竞赛数学教学工作。当笔者看到 2022 年全国卷第 21 题时，颇感熟悉。其出题背景为：“当点其出题背景为：“当点)0)(,(nnmA在曲线上时，过点在曲线上时，过点 A 作两条斜率互为相反数的直线， 与曲线的另外两个交点分别为作两条斜率互为相反数的直线， 与曲线的另外两个交点分别为 P， Q， 则直线， 则直线 PQ 的斜率为定值。 ”的斜率为定值。 ”这让笔者联想到 2009 年、2018 年江

7、苏高中联赛复赛解答题第 3 题。（解答见拓展阅读 2）原题如下：（2009 年江苏高中联赛复赛解答题第 3 题）如图，抛物线22yx及点1,1P，过点P的不重合的直线1l、2l与此抛物线分别交于点A，B，C，D证明：A，B，C，D四点共圆的充要条件是直线1l与2l的倾斜角互补（2018 年江苏高中联赛复赛解答题第 3 题） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:163xyM，过点(2,2)P作直线12,l l与椭圆M分别交于,A B和,C D，且直线12,l l的斜率互为相反数.（1）证明：PA PBPC PD；（2）记直线,AC BD的斜率分别为12,k k，求证：12kk为定值.引理引理

8、过不在曲线上的点( , )P m n作两条直线12,l l分别与椭圆2222:1(0)xyEabab交于xyOPACBD4,A B和,C D两点，且直线12,l l的倾斜角, 互补，则PAPBPCPD证明证明：设过点( , )P m n倾斜角为的直线参数方程为cos ,sin,xmtynt(t 为参数)，与椭圆 E 联立方程组，整理得：2222222222222(sincos)2(sincos )0abta nb mta nb ma b，所以2222222222sincosa nb ma bPAPBab同理可得2222222222sincosa nb ma bPCPDab，故PAPBPCPD成

9、立反之， 若PAPBPCPD， 也有sinsin， 即倾斜角, 互补由于非平行的等长线段在同一伸缩变换作用下所得线段长度是不一定相等的， 需要增加条件“两条直线倾斜角互补”，椭圆中的“割线定理”才能成立当点P在椭圆2222:1(0)xyEabab的内部时，即为相交弦定理；当点P在椭圆2222:1(0)xyEabab的外部时，即为割线定理；当点( , )(0)P m n n 在曲线上时， 过点P作两条斜率互为相反数的直线， 与曲线的另外两个交点分别为,A C，则直线AC的斜率为定值（2022 年全国年全国 1 卷第卷第 21 题出题背景）题出题背景）若曲线为椭圆2222:1(0)xyEabab时

10、，22ACb mka n；若曲线为椭圆2222:1(0,0)xyEabab时，22ACb mka n ；若曲线为抛物线2:2(0)E ypx p时，ACpkn ；推论 1：过点( , )P m n作两条直线12,l l分别与椭圆2222:1(0)xyEabab交于,A B和,C D两点，且直线12,l l的斜率12,k k互为相反数，则PAPBPCPD推论 2：过点( , )P m n作两条直线12,l l分别与双曲线2222:1(0,0)xyEabab交于 A,B与 C,D 两点，且直线12,l l的斜率12,k k互为相反数，则PAPBPCPD推论 3：过点( , )P m n作两条直线1

11、2,l l分别与抛物线2:2(0)E ypx p交于 A,B 与 C,D两点，且直线12,l l的斜率12,k k互为相反数，则PAPBPCPD5界定明确，对一线教师的教学有导向功能界定明确，对一线教师的教学有导向功能“基础题送分到位，中档题多题把关，难题有效区分。”选择题第 6 题为中档题， 此类问题在往年全国卷及 20212022 年模考卷中常有涉及。方法较多，譬如：构造函数法。此类问题，需要考生熟悉常见的函数模型。参考答案：C类似考题：另外，多选题第 12 题、填空题第 16 题均属于把关题，能够有效区分不同水平的学生。6有效区分，让不同水平的学生高低立显有效区分，让不同水平的学生高低立

12、显2022 年全国 1 卷第 22 题，第 1 问是期望大部分学生能够得到分数的。时间来不及的学生，也可以通过猜想：a=1 并验证，得到一点分数。但第 1 问，要拿满分，需要分类讨论。第 2 问，则需要严谨证明。在全卷多题把关的情况下，第22 题取得满分，实属凤毛麟角了。参考文献参考文献1刘蒋巍.一道高中数学联赛模拟题的命制与解析J.中学数学教学参考,2018(07):60-61.2例谈高中数学教材试题的衍生以江苏高考数学试题命制为例J. 文理导航(中旬),2017,(02)7拓展阅读拓展阅读 1：2019 江苏江苏 19 题第题第 3 问及其新解法问及其新解法设函数( )()()(), ,

13、,Rf xxa xb xc a b c、( )f x为 f（x）的导函数若0,01,1abc，且f（x）的极大值为M，求证:M427（3）因为0,1ac，所以32( )()(1)(1)f xx xb xxbxbx，2( )32(1)f xxbxb因为01b，所以224(1)12(21)30bbb，则( )f x有2个不同的零点，设为1212,x xxx由( )0f x ，得22121111,33bbbbbbxx 列表如下：x1(,)x1x12,x x2x2(,)x ( )f x+00+( )f x极大值极小值所以( )f x的极大值 1Mf x解法三：解法三：注意到：当)2, 0(时，42si

14、ncos222sinsincos2213222)3sinsincos2(21274，当且仅当22cos2sin，即33cos时，等号成立；令) 1 , 0(cos2x，则274)1 (2 xx；因为01b，所以1(0,1)x 274)1 ()1)()(2111111xxxxbxxfM8拓展阅读拓展阅读 2：2009 年、年、2018 年江苏高中联赛复赛解答题第年江苏高中联赛复赛解答题第 3 题题（2009 年江苏高中联赛复赛解答题第 3 题）如图，抛物线22yx及点1,1P，过点P的不重合的直线1l、2l与此抛物线分别交于点A，B，C，D证明：A，B，C，D四点共圆的充要条件是直线1l与2l的

15、倾斜角互补解解设1l、2l的倾斜角分别为、，由题设知、0,. 易知直线1l的参数方程为1cos1sinxtyt ，代入抛物线方程可化得22sin2 sincos10tt .设 上 述 方 程 的 两 根 为1t、2t， 则1 221sint t. 由 参 数t的 几 何 意 义 ， 得21sinAP BP.同理21sinCP DP.若A、B、C、D四点共圆，则AP BPCP DP，即22sinsin.因为、0,，所以sinsin.又由1l、2l不重合，则. 所以.反过来，若，则因、0,，故sinsin，且0，0.所以2211sinsin，即AP BPCP DP.故A、B、C、D四点共圆.（20

16、18 年江苏高中联赛复赛解答题第 3 题） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:163xyM，过点(2,2)P作直线12,l l与椭圆M分别交于,A B和,C D，且直线12,l l的斜率互为相反数.（1）证明：PA PBPC PD；（2）记直线,AC BD的斜率分别为12,k k，求证：12kk为定值.xyOPACBD9（常规方法）由题意知，过点(2,2)P的直线的斜率存在，记直线1l的斜率为k，则2l的斜率为k，设1122(,),(,)A x yB xy3344,(,),(,)C xyD xy故直线1l的方程为：2(2)yk x，即22ykxk，与椭圆联立方程组，整理得：222(21)

17、4 (22 )81620kxkk xkk，则有0, 21212228 (1)8162,2121k kkkxxxxkk22121212(1) (2)(2)(1)(24)PAPBkxxkx xx x226(1)21kk同理，可得：226(1)21kPCPDk，故PAPBPCPD（参数方程法）由题意知，可设直线1l的倾斜角为(0)2，且，则2l的倾斜角为，且 ，故直线1l的参数方程为2cos ,()2sinxttyt为参数与椭圆联立方程组，整理得：222(cos2sin)4(cos2sin)60tt由参数t的几何意义可得226cos2sinABPAPBtt同理，可得：226cos2sinPCPD，故PAPBPCPD（2）证明略。