专题3导数及其应用.pptx

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1、专题三 导数及其应用目 录CONTENTS考点一 导数的概念、计算及定积分考点二 导数的应用考点一 导数的概念、计算及定积分必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力1导数的定义导数的定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数的运算法则与某些导数的公式时，都是以此为依据对导数的定义，我们应注意以下两点：(1)x是自变量x在x0处的增量(或改变量)导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关，与x无关(2)函数yf(x)应在x0的附近有意义，否则函数f(x)在该点的导数不存在若极限 不存在，则称函数f(x)在xx0处不可导考点一 导数的概念、计算及定积分必备知识

2、全面把握2导数的几何意义曲线yf(x)上任意一点(x0，f(x0)处的切线的斜率k是f(x)在x0处的导数，即 利用导数求曲线yf(x)在其上任意一点P(x0，f(x0)处的切线方程，具体求法分两步：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数，即为曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，y0)和切线斜率f(x0)的条件下，求得切线方程 y- -y0 =fx0（x-x0）考点一 导数的概念、计算及定积分 曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别： 曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切

3、线斜率存在，则切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线； 曲线yf(x)“过”点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能不止一条考点一 导数的概念、计算及定积分3导数的运算公式(1）基本初等函数的导数公式考点一 导数的概念、计算及定积分(2)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；4复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积(1)利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变

4、量的函数(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：(cos 2x)sin 2x，实际上应是(cos 2x)2sin 2x.考点一 导数的概念、计算及定积分5定积分(1)微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)abf(x)dxF(b)F(a)F(x)|ab，其中，F (x)f(x)，f(x)是a，b上的连续函数(2)定积分的性质当积分区间关于原点对称，在求定积分时，可利用被积函数的奇偶性来求解考点一 导数的概念、计算及定积分(3)与基本初等函数有关的常见定积分考点一 导数的概念、计算及定积分6定积分的几何意义 如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么

5、定积分abf(x)dx表示由曲线yf(x)及直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积(如图(1)；若f(x)0，则由曲线yf(x)及xa，xb(ab)，y0围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分abf(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；若f(x)的值可正可负，则曲线yf(x)的某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴下方，如果我们将在x轴上方的图形的面积赋予正号，在x轴下方的图形面积赋予负号，那么在一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是曲线y=f（x）和直线x=a，x=b（ab）y=0所围成的各部分图形面积的代数和，如图（2）：考点一 导数的概念、计算及定积分注意： 图(

6、1)中abf(x)dx等于a，b间曲边梯形面积的值图(2)中 等于c，d间曲边梯形的面积值的相反数方法1 导数的运算1用函数的求导公式求导常见求导函数的形式(1)连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导(2)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(3)分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)对数形式：先化为和、差形式，再求导核心方法 重点突破考点一 导数的概念、计算及定积分考点一 导数的概念、计算及定积分例1、求下列函数的导数：(1)yx(x1)(x2)；(2)ytan x；【解】(1)yx33x22x，y3x26x

7、2.考点一 导数的概念、计算及定积分例1、求下列函数的导数：(1)yx(x1)(x2)；(2)ytan x；例2、等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f (0)()A26 B29 C212 D215【解析】函数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212，而f (0)a1a2a8212，故选C.【答案】C【反思】若直接用乘积的求导法则运算量太大，要去括号困难重重，所以巧妙地把x(xa1)(xa2) (xa8)看成一个整体，利用代换的思想解决问题考点一 导数的概念、计算及定积分2复合函数的求导求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进

8、行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数考点一 导数的概念、计算及定积分考点一 导数的概念、计算及定积分例3、求下列函数的导数：【解】(1)设yu4，u13x，则yxyuux4u5(3)方法2 导数几何意义的应用已知函数yf(x)，求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程(1)若点P(x0，y0)是切点，则切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)若点P(x0，y0)不是切点，求解步骤如下：设切点坐标为Q(x1，f(x1)；由切线斜率 求出x1；将x1的值代入yy1f(x1)(x

9、x1)得切线方程考点一 导数的概念、计算及定积分例4、云南中央民族大学附属中学2018期中已知曲线方程为yx2，求：(1)在曲线点A(2，4)处的切线方程；(2)过点B(3，5)且与曲线相切的直线方程【解】设yf(x)x2.(1)f(x)2x，f(2)4.又点A(2，4)在曲线yx2上，所求切线的斜率k4.故所求切线的方程为y44(x2)，即4xy40. (2)点B(3，5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，x02) 由(1)知f(x)2x，切线的斜率k2x0，切线方程为yx022x0(xx0) 又点B(3，5)在切线上，5x022x0(3x0)， 解得x01或x05，切点为(1，1)，(5，

10、25) 故所求切线方程为y12(x1)或y2510(x5)， 即2xy10或10 xy250.考点一 导数的概念、计算及定积分例5、云南昆明2019届模拟已知曲线yexa与y(x1)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为()A(，2ln 23) B(，2ln 23)C(2ln 23，) D(2ln 23，)【解析】yexa的导数为yexa，y(x1)2的导数为y2(x1)设公切线与曲线yexa的切点为(m，n)，与曲线y(x1)2的切点为(s，t)，则公切线的斜率为ema2(s1)又因为t(s1)2，nema，所以2(s1)所以sm因为ema2(s1)， 所以aln2(s1) ，(s1)考

11、点一 导数的概念、计算及定积分当s3时，f(s)0，f(s)单调递减，当1s3时，f(s)0，f(s)单调递增，所以在s3处f(s)取得极大值，也为最大值，且为2ln 23.因为两曲线恰好存在两条公切线，即af(s)有两解，所以a2ln 23.故选B.考点一 导数的概念、计算及定积分例5、云南昆明2019届模拟已知曲线yexa与y(x1)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为()A(，2ln 23) B(，2ln 23)C(2ln 23，) D(2ln 23，)【答案】B方法3 定积分的计算及应用计算简单定积分的一般步骤：(1)找出被积函数f(x)，进行化简，即把被积函数变为幂函数、正弦函

12、数、余弦函数、指数函数及常数的和或差对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，写成分段函数的形式(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差(3)分别用求导公式找出F(x)，使得F (x)f(x)(4)利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值(5)计算所求定积分的值定积分的主要应用之一就是求曲边梯形的面积，基本方法是根据定积分的几何意义把所求的面积转化为一个函数的定积分考点一 导数的概念、计算及定积分考点一 导数的概念、计算及定积分方法3 定积分的计算及应用 (1)对于分段函数和含有绝对值符号的函数的定积分问题，都可以采用分段求解的方法(2)对函数图像和圆有关的函数的定积

13、分可以利用定积分的几何意义求解，即求类似于 的值时，根据定积分的几何意义，求曲线在所给区间内与x轴围成的图形的面积有时也根据被积函数的奇偶性、正负，并结合几何意义求解例6、定积分考点一 导数的概念、计算及定积分例7、曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_【解析】曲线yx2与直线yx所围成的图形如图所示考点一 导数的概念、计算及定积分【答案】方法1 利用导数的概念和求导法则求相关量的值例1、天津文201810已知函数f(x)exln x，f (x)为f(x)的导函数，则f (1)的值为_【解析】由f(x)exln x可得f(x)exln xex1/xex(ln x1/x)，令x1，得f(

14、1)e.【答案】e考法例析 成就能力考点一 导数的概念、计算及定积分考法例析 成就能力【答案】y2x考点一 导数的概念、计算及定积分考法2 导数几何意义的应用 例2、课标全国201813曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_【解析】由y2ln(x1)知 ，y|x02.切线方程为y2x.考法2 导数几何意义的应用例3、课标全国201615已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_【解析】设x0，则x0(或f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的极大值；(2)f(x0)0，如果在x0附近的左侧f(x)0，那么

15、f(x0)是函数f(x)的极小值. (1)极值反映了函数在某一点附近的函数值大小情况，只要在一个小区域内成立即可，刻画的是函数的局部性质(2)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(3)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值如图，函数yf(x)的极大值f(x1)小于极小值f(x4)考点二 导数的应用(4)如果函数f(x)在a，b上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数f(x)在a，b上

16、的图像连续且f(x)有有限个极值点时，函数f(x)在a，b内的极大值点、极小值点是交替出现的考点二 导数的应用3函数的最值考点二 导数的应用闭区间a，b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求解步骤如下：(1)求出函数f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值此性质包括两个条件：给定函数的区间必须是闭区间，也就是说函数f(x)在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值与最小值例如函数f(x)1/x在(0，)内连续，但没有最大值与最小值在闭区间上的每一点处必须连续，即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值与最小

17、值例如有最小值0，无最大值.考点二 导数的应用4函数的最值与极值的区别与联系(1)函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域(某个闭子区间)上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得，函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值考点二 导数的应用1利用导数研究函数的单调性例1、求下列函数的单调区间：(

18、1)f(x)x42x26；(2)f(x)2x33x212x1.【分析】判断函数的单调性，一般先求函数的定义域，然后求函数的导数并判断其符号【解】(1)f(x)4x34x4x(x1)(x1)，令f(x)0，得1x1，函数f(x)的单调递增区间为(1，0)和(1，)；令f(x)0，得x1或0 xg(x)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，通过F(x)判断函数的单调性与最值，得出F(x)0，从而证明不等关系(2)在既含f(x)又含f (x)的不等式中，构造辅助函数把不等式问题转化为利用导数求解函数单调性或最值问题是解此类题型的关键，常见的构造形式有F(x)xf(x)， ，F(x)f(x)g(x)

19、， 等考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用【解析】构造函数F(x)f(x)g(x)因为当x0时，f (x)g(x)f(x)g(x)0，所以当x0时，F(x)f(x)g(x)0，所以函数F(x)f(x)g(x)在(，0)上单调递增又因为f(x)，g(x)分别是定义在R R上的奇函数和偶函数，所以F(x)f(x)g(x)是奇函数，所以函数F(x)f(x)g(x)在(0，)上单调递增又因为g(3)0，所以g(3)g(3)0，所以F(3)F(3)0，所以不等式f(x)g(x)0的解集是(，3)(0，3)【答案】D考点二 导数的应用方法6 已知函数单

20、调性、极值或最值求参数的值(或取值范围)(1)已知f(x)在区间D上是单调函数，求f(x)中参数的取值范围常用分离参数法：通常将f (x)0(或f (x)0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若f(x)为二次函数，可以由f(x)0(或f(x)0)恒成立求出参数的取值范围(2)已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程需注意的是，必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件(3)已知函数的最值求参数时，一般先求出最值，利用待定系数法求解考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用【解】(1

21、)f(x)x22x，xR R，令f(x)0，解得x2或x0，考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用方法7 利用导数求不等式恒成立问题考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用方法8 实际问题中的最优化问题在求有关实际问题的最优化时，要按如下原则进行：(1)设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系式；(2)确定函数关系式中自变量的定义区间； (3)所得出的结果要符合问题的实际意义.考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法例析

22、成就能力从近五年的考查情况来看，本考点一直是高考的重点和难点一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，一般出现在选择题、填空题的后两题以及解答题的第21题中，难度较大考点二 导数的应用考法1 利用导数研究函数的单调性考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法2 利用导数判断函数图像例2浙江20177函数yf(x)的导函数yf (x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是()考点二 导数的应用【解析】由导函数yf (x)的图像中函数值的正负可得函数f(x)先减后增，再减再增，结合f(x)图像的单调

23、区间可知应选D.【答案】D考法3 利用导数求函数的极值考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法4 利用导数求函数的最值考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法5 利用导数求函数的零点考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法6 利用导数证明不等式考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法7 利用导数求解恒成立问题考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用