24渐开线与摆线.ppt
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1、 渐开线与摆线渐开线与摆线20222022年年6 6月月2121日星期二日星期二1 1、渐开线的定义、渐开线的定义动点(笔尖)满足什么几何条件?动点(笔尖)满足什么几何条件?ABMO设开始时绳子外端(笔尖)位于点A,AB当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角 的一段弧,展开后成为切线,所以 切线BM的长就是AB的长,这是动点(笔尖)满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,圆的渐开线,相应的定圆叫做相应的定圆叫做渐开线的基圆。渐开线的基圆。把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与
2、圆相外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线。切而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程?这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程?ABMOxy2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程 以基圆圆心以基圆圆心O为原点,直线为原点,直线OA为为x轴,建立平面直角坐标系。轴,建立平面直角坐标系。设基圆的半径为设基圆的半径为r,绳子外端,绳子外端M的的坐标为(坐标为(x,y)。)。显然,点显然,点M由角由角 唯一确定。唯一确定。B取 为参数,则点 的坐标为(rcos ,rsin ),从而(cos ,sin ),|.BMxr
3、yrBMr 1(cos ,sin )eOB 由于向量是与同方向的单位向量,2(sin , cos )eBM 因 而 向 量是 与 向 量同 方 向 的 单 位 向 量 。2erBM所以ABMOxy2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程| (cos ,sin )(sin , cos )BMx ryrr (cossin )()(sincos )xryr解得 是参数 。这就是这就是圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程。),)sin,cosyxMrrB(,()cos,(sin2e2erBM所以渐开线的参数方程渐开线的参数方程ABMOxy(cossin )()(sincos )xryr是参数 。
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