2016-2017学年人教A版选修2-1_32立体几何中的向量方法(3)课件(30张)[1].ppt

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1、 -利用向量解决空间的角问题3.2立体几何中的向量方法(三)F1E1C1B1A1D1DABCyzxO 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D,与 的关系？CD AB 思考：,与 的关系？DC AB 结论：结论：coscos,CD AB |题型一：线线角ABCD,ABD ,C(0,2 |cos|cos| |a bab 1.两条异面直线所成的角(1)

2、定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线aa, bb,则a, b所夹的锐角或直角叫a与b所成的角.求解方法求解方法(2)范围:, a b (3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 ,其夹角 为 ,则有(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.例1:090 ,中，现将沿着Rt ABCBCAABC111平面的法向量平移到位置，已知ABCA B C1，BCCACC111111取、的中点、 ，A BA CDF11求与所成的角的余弦值.BDAFA1AB1BC1C1D1Fxzy类型1:求异面直线所成的角解：

3、以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设 则： 11CC (1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0, ),(,1)22 2FaD所以:11(,0,1),2AF 111(,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAF BD 11304105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF3010A1AB1BC1C1D1Fxzy111111111,6:0 ,90 ,2,3,如图所示,三棱柱OAB-O A B 中平面平面且求异面直线与所成角的余弦值的大练1小习OBB OOABO OBAOBOBOOOAA BAOAA1O1OBB1xzy17练习2：书P113B组第1

4、题直线与平面所成角的范围： 0,2ABO,与 的关系？n BA 思考：思考：n结论：结论：sincos, n AB |题型二：线面角直线AB与平面所成的角可看成是向量与平面的法向量所成的锐角的余角，所以有 sincos,AB nAB nABn 2.直线与平面所成的角(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.0,2 |sin|cos | | | |a uau (2)范围: a u a (3)向量求法:设直线l 的方向向量为 ,平面的法向量为 ,直线与平面所成的角为 , 与 的夹角为 ,则有 u 1111111,2如图 在正三棱柱ABC-ABC中,AB=AA ,点D是AB的中点,求直线AD和

5、平面ABC所成角的例2:正弦值.ACB1DBA1C1类型2:求直线和平面所成的角xzy510sin课堂作业：书P113第9,11题.1NAD点 在线段上，例3： 在长方体 中,1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10 2 8 4 ( 4)0AM AD 51.ADAM(0,8,0),D(5,2,4)M(1)证明:建立空间直角坐标系如图:(0,0,0),A1(0,0,4),A则类型2:求直线和平面所成的角(0,0,0),

6、A(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD (2)求与平面所成的角的正弦值.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD A D 255ADANM与平面所成角的正弦值是2 55例例3： 在长方体 中,1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1.ADAN1NAD点 在线段上，解:(2)ABCD1A1B1C1DMNxyz111(1):,ADAMADANADAMN由知又平面.成的角为所求的直线与平面所NAD552sinNAD练习： 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角 的

7、余 弦正方体ABCD1A1B1C1D以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,所在直线为z轴.易求平面AB1C的一个法向量故得B1C1与面AB1C所成得角得余弦为6311(1, 1, 1),(0,1,0)及nBC xyz分析:变式.如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。 3D BACE PxyZ解:建立空间直角坐标系，如图:设BE=m,则(0,0,0), (0,0,1), ( 3,0,0), ( ,1,0),APDE m(0,

8、0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm ( , , ),30,3 ,(3)0,( 3) ,PDEnx y znDP nDExzzxmxyym x 设平面的法向量为则解得1,(1, 3, 3),xnm令得2345sin45,4( 3)PAPDEm与平面所成角的大小为3232mm解得或（舍）,3245BEPAPDE因此，当时，与平面所成角的大小为。0, 设 是二面角 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角大小(如图(2)l , 12,n n 1n 2n lBDCA(1)l1n 2n (2)(1)范围:(2)二面角的向量求法:AB CD l 若AB、CD

9、分别是二面角 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 与 的夹角(如图(1)题型三:二面角ABCDS类型3:求平面和平面所成的角,.1,1,20如图所示，ABCD是一直角梯形， ABC=90S平面求面与面例所4成AABCD SAABBCADSCDSBA的锐二面角的余弦值.ABCDSxyz建立空直角坐系A-xyz解:如所示,A(0,0,0),11(1,0),(0, 1)22CDSD C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2nAS ADB易知面的法向量112,.,AABCD SAABBCADSCDSBA0如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=9

10、0S平面求例面面成4与所的锐二面角的余弦值设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz 22yxyz 2(1,2,1)取n 1212126cos,3|n nn nn n 63即所求二面角得余弦值是,2,2.(1):;(2)例5:如图 四棱锥S-中,底面ABCD为矩形,SD底面,AD=点在侧棱上,ABM=60证明是侧棱的中点求二面角的余弦值ABCDABCDDCSDMSCMSCSAMBASCBDMzxy36练习2(书P113)、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和

11、BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN= （1）求MN的长；（2）a为何值时？MN的长最小？（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。(02).aaABCDEFMNABCDMNExZy解:22FABCDMNEZyxG面MNA与面MNB所成二面角的余弦值为31F 例5：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd解：如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向

12、量运算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACDBCDACABCD 图3lDBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得22222dcbaDBCA 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此.cos22222dcbaab 所以.2cos2222abdcba 回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba ABCD 图3l 例5：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。

13、 labcd思考： (1)本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ 22)( DBCDACAB由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB 分析： cos2222abbca 可算出 AB 的长。ABCD 图3l思考思考: :(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析:如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。Ad， cba 21212)( AAADABACd则cos)(2222acbcabbca)(2cos 2222acbcabcbadA1B1C1D1ABCD所以,可以确定各棱之间夹角的余弦值.小结：小结：1.1.异面直线所成角：异面直线所成角： coscos,CD AB |2.2.直线与平面所成角：直线与平面所成角： sincos, n AB |3.3.二面角：二面角：cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n cos12|cos,|n n 作业:习题3.2第6,8题