概率论与数理统计教师用教案概率统计教案1章习题课一.pdf

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1、 概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 34 页页 题目题目 与与 课时课时 第一章 随机事件与概率内容习题课 课时：2 教学目的教学目的 (1) 熟练掌握概率加法公式、 概率减法公式、 对立事件的概率计算公式、概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及其应用； (2) 理解概率的统计定义和公理化定义、条件概率、事件独立性概念. 内容内容 (1) 随机事件的概念及其有关运算; (2) 概率的性质及其计算; (3) 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公

2、式及其应用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及其应用; (4) 条件概率的问题及有关运算条件概率的问题及有关运算; (5) 事件的独立性事件的独立性. 教学重点教学重点 解决办法解决办法 加强重点知识的讲解与讲评，加大例题讲解力度，安排一定量的作业. 内容内容 (1) 用集合表示样本空间和事件; (2) 概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及其应用; (3) 随机事件的独立性. 教学难点教学难点 解决办法解决办法 加大例题分析，安排一定量的作业. 教学辅助教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析 习题布置习题布置 P33：A 组：1、4、10、11、12. P33：B 组：1、3、4、7、11、1

3、2. 参考文献参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘： 概率论与数理统计教案、 作业册与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术出版社，2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第概率论与数理统计教案 第

4、一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 35 页页 教教 学学 内内 容容 教学笔记教学笔记 内容简介内容简介 我们归纳了第一章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 分三块讲解，一是“主要内容归纳”，二是“例题分类解析”， 三是“学习与研究方法”总结. 在“例题分类解析”部分， 讲解了：1. 按随机事件的运算关系求解；2. 古典概型的概率计算问题. 3. 条件概率与概率乘法公式的应用；4. 全概率公式与贝叶斯公式；5. 随机事件的独立性问题. 预备知识预备知识 第一章随机事件与概率知识. 一、一、 主要内容归纳主要内容归纳 1. 概率

5、的性质概率的性质 性质性质 1 对于两两互不相容的 n 个事件 A1, A2, , An, 有 P(A1A2An) =P(A1)+P(A2)+P(An). 性质性质 2 设 A, B 为任意的两个事件, 则 ()()( )()P BAP BAP BP AB. 若 AB, 则 P(BA)= P(B)P(A)； 若 AB, 则 P(A)P(B). 性质性质 3 设A是 A 的对立事件, 则 P(A)=1P(A). 性质性质 4 设 A, B 为任意的两个事件, 则 P(AB)= P(A)+P(B)P(AB). 推广 推广 P(A1A2A3)= P(A1)+ P(A2)+P(A3) P(A1A2)P

6、(A1A3)P(A2A3)+ P(A1A2A3). P(A1A2A3An)=111()()()niijijkiijnij knP AP A AP A A A +(-1)1nP(A1A2An). 讲评讲评 (1) 性质1与性质4的区别: 仅当A1, A2, ,An 是两两互斥事件组时才可用性质 1. (2) 巧妙地运用对立事件的性质, 即性质 3, 可收到事半功倍的效果. 一般地讲, 求事件“至多出现多少次”或 “至少出现多少次”的概率时, 用它的对立事件求解较为方便. 2. 条件概率问题条件概率问题 设 A, B 为随机试验 E 的两个事件, 且 P(A)0, 则称 P(B|A)=()( )P

7、 ABP A 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率条件概率. 概率乘法公式概率乘法公式 对于任意的事件 A, B, (1)(1) 若 P(A)0, 则 P(AB)= P(A)P(B|A)； (2)(2) 若 P(B)0, 则 P(AB)= P(B)P(A|B). 概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 36 页页 推广推广 设 A1, A2, , An是 n(n2)个事件, 且 P(A1A2An-1)0, 则有 P(A1A2An

8、-1An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1). 特别地, 当 n=3 时, 对于三个事件 A, B, C, 若 P(AB)0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 讲评讲评 (1) 注意 P(AB)与 P(B|A)的区别：凡涉及到“A 与 B 同时发生”, 用P(AB); 有“包含”关系或主从条件关系的用 P(B|A). 从样本空间上讲, 计算P(B|A)的样本空间为AS, 而计算 P(AB)的样本空间为 S. (2) 何时用概率乘法公式：问题同时涉及积事件和条件概率关系. 3. 全概率公式全概率公式 设试验 E 的样本空间为

9、S, B1,B2,Bn为 S 的一个划分, 且 P(Bi)0 (i =1, 2,n), 则对 E 的任一事件 A, 有 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)=1() (|)niiiP B P A B. 特别地, ( )( ) ()( ) (|)P AP B P A BP B P A B. 讲评讲评 (1) 全概率公式是计算概率的一个很重要的公式, 通常把B1, B2, Bn看成导致 A 发生的一组原因(或情形). 如若 A 是产品是次品, 则必是 n 个车间生产了次品; 若 A 是某人患有某一种疾病, 必是几种病因导致了 A 发生; 若 A表示

10、某飞机被击中, 必有几种方式或几个人击中了该飞机. (2) 何时用全概率公式: 所论结果发生是由几种情形导致的；或所论问题一般出现先后两次试验. (3) 如何用全概率公式: 将“几种情形”构成完备事件组；将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组. 4. 逆概率公式逆概率公式(贝叶斯公式贝叶斯公式) 设试验 E 的样本空间为 S， A 为 E 的事件, B1, B2, , Bn为样本空间 S 的一个划分, 且 P(A)0, P(Bi)0 (i=1, 2, , n), 则 P(Bi |A)=() ()()( )( )iiiP B P A BP ABP AP A=1() (|)() (|)i

11、injjjP B P A BP B P A B（i=1,2,n）. 特别地, ( ) ()()()( )( ) ()( ) (|)P B P A BP ABP B AP AP B P A BP B P A B. 讲评讲评 (1) 贝叶斯公式可以这样记忆: 分母为全概率公式, 是 n 项之和； 分子是分母中的某一项. (2) 何时用、如何用贝叶斯公式：参见全概率公式“讲评”. 5. 概率的独立性概率的独立性 设 A, B 是两个事件, 若满足等式P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A 与 B 是相互独立相互独立的, 简称 A, B 独立独立. 推广推广 设 A1, A2, ,An是 n(n2

12、)个事件,如果对于任意的 k(2kn)个事件12,kiiiAAA, 都有 1212()() ()()kkiiiiiiP A AAP A P AP A, 则称这 n 个事件相互独立相互独立. 设 A1, A2, ,An是 n(n2)个事件,如果对于任意的 2 个事件12,iiAA, 都有 概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 37 页页 1212()() ()iiiiP A AP A P A, 则称这 n 个事件两两独立两两独立. 讲评讲评

13、(1) 若四对事件 A 与 B, A 与B, A与 B, A与B中有一对独立, 则另外三对也独立, 即这四对事件或者都独立, 或者都不独立. (2) A1, A2, , An相互独立A1, A2, An两两相互独立. A1, A2, An两两相互独立A1, A2, , An相互独立. 特别地, 三个随机事件 A1,A2,A3相互独立与两两独立是不同的两个概念. (3) 不要把两个事件的独立性与互不相容混为一谈. 独立与互斥之间没有必然的互推关系. 但有结论: 若 A 与 B 互斥, 且 P(A)0, P(B)0, 则 A 与 B 不独立. 用定义即可得证. (4) 若 A1, A2, , An

14、相互独立，则将 A1, A2, An中的一些事件换为它们的对立事件，所得到的事件组也是相互独立的. 二、二、 例题分类解析例题分类解析 1. 按随机事件的运算关系求解按随机事件的运算关系求解 例例 1 设 A, B, C 是三个事件, 用 A, B, C 的运算关系表示下列事件: (1) A, B 都发生, 而 C 不发生; (2) A, B, C 中至少有一个发生; (3) A, B, C 中恰有一个发生; (4) A, B, C 中恰有两个发生; (5) A, B, C 中不多于一个发生; (6) A, B, C 中不多于两个发生; (7) A, B, C 都不发生; (8) A, B,

15、C 至少有两个发生; (9) A, B 至少有一个发生, C 不发生. 分析分析 本题目涉及到事件运算的定义. 要正确表示事件, 首先要准确理解所要表示的事件的意义及事件运算的定义. 解解 (1) ABC; (2) ABC; (3) ABCABCABC; (4) ABCABCABC; (5) ABCABCABCABC; (6) ABC 或ABC; (7) ABC; (8) ABCABCABCABC; (9) ()AB C. 讲评讲评 对事件的文字表述与数学符号描写的对应关系的考查是考试的重点之一. 扩展扩展 此题目可以进一步考查多个事件之间的运算关系. 参见例 1. 2. 条件概率与概率乘法公

16、式的应用条件概率与概率乘法公式的应用 例例 2 设 A, B 是两个事件, 已知 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A)=0.4. 求: (1)()P AB；(2)()P AB；(3)()P AB. 分析分析 本题目涉及和事件、积事件的概率及条件概率的计算, 可用概率的性质及条件概率公式去解决. 解解 (1) 因为( )0.5,(|)0.4,P AP B A 概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 38 页页 所以 ()( )

17、(|)(10.5)0.40.2P ABP A P B A. (2) 因为,ABBAB BAB, 所以 ()()( )()0.60.20.4P ABP BABP BP AB. (3) ()( )( )()0.50.60.40.7P ABP AP BP AB 讲评讲评 该题目意在加深对概率加法公式、 概率减法公式与概率乘法公式及条件概率公式的理解与应用, 是考查读者对概率加法公式、概率减法公式与概率乘法公式及条件概率公式的综合应用能力. 扩展扩展 (1) 在用概率加法公式、概率减法公式与概率乘法公式及条件概率公式解题时, 应先将所求概率的事件用已知的事件表示, 因此必须熟练掌握“事件间的关系及其运

18、算”这部分内容. (2) 对于任意两个事件 A,B,有 ,A BABA AB BAABBAB，,ABA ABB 等重要关系. 3. 全概率公式与逆概率全概率公式与逆概率(贝叶斯贝叶斯)公式公式 例例3 有两个盒子, 第一盒中装有2个红球1个黑球, 第二盒中装有2个红球 2 个黑球. 现从这两盒中任取一球放在一起, 在从中任取一球. (1) 求这个球是红球的概率; (2) 若发现这个球是红球, 问来自第一个盒子的概率是多少？ 分析分析 第一问取得红球是分两次试验完成的，此问题是全概率类型. 参见例. 第二问是在知道试验结果是红球的前提下, 问来自第一个盒子的概率, 该问题属于逆概率类型. 解解

19、(1) 设 A 表示取到一个红球, iB表示从第 i 个盒中取出一个红球, (i=1,2), 则12,B B独立. 于是 1221()3324P B B, 12(|)1P A B B, 1221()3324P B B, 12(|)12P A B B, 2111()3624P B B, 211(|)2P A B B, 1211()3624P B B, 12(|)0P A B B. 由全概率公式有 121211222211( )(|) ()(|) ()(|) ()P AP A B B P B BP A BP BP AB PBBBBB +212127(|) ()12P APB BB B. (2) 1

20、11212122()()()(|)( )( )( )(P ABP ABP AB BP AB BP BAP AP AP ABB 12121122(|) ()(|) ()6( )7P A B B P B BP A BP BP ABB. 讲评讲评 全概率公式是概率论中一个很重要的公式, 使用全概率公式时应注意： (1) 何时用全概率公式: 通常所论问题出现先后两次试验, 或结果发生是由几种情形导致的. 此题属于后一种情况. 概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学

21、出版社出版 第 39 页页 (2) 如何用全概率公式: 将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组, 或者将“几种情形”处理成完备事件组. 此题属于后一种情况. 参见例8. 扩展扩展 可以得出用全概率公式解题的一般程序: (1) 判断求解的问题是否是全概率类型; (2) 若是全概率类型, 正确假设事件 A 及完备事件组12,nB BB; (3) 计算出()iP B及(|)iP A B; (4) 代入全概率公式求得概率( )P A. 4. 事件的独立性问题事件的独立性问题 例例 4 一工人看管三台机床, 在一小时内甲、乙、丙三台机床需该工人照看的概率分别为 0.9, 0.8 和 0.85.

22、 求：在一小时中， (1) 没有机床需要照看的概率; (2) 至少有一台机床不需要照看的概率; (3) 至多有一台机床需要照看的概率. 分析分析 事实上，三台机床需不需要照看是相互独立的, 因此应按照事件的独立性去考虑. 注意此题没有明确指出独立性条件. 解解 设iA表示第 i 台机床需要照看(1,2,3)i, A 表示没有一台机床需要照看, B 表示至少有一台机床不需要照看, C 表示至多有一台机床需要照看.于是，由于123,A A A相互独立，利用教材第 24 页定理 3，得到123,A A A也相互独立. (1) 123123( )()() () ()P AP A A AP A P A

23、P A (10.9)(10.8)(10.85)0.003. (2) 123123( )1( )1()1() () ()P BP BP A A AP A P A P A 10.90.8 0.850.388. (3) 123123231312( )()()()()P CP A A AP A A AP A A AP A A A 0.0030.90.20.150.1 0.8 0.150.1 0.20.850.059. 讲评讲评 (1) 本题考查事件相互独立与对立事件的知识点. (2) 处理有关“至少”或“至多”的问题时, 常常考虑它的对立事件, 用公式( ) 1( )P AP A 去解决. 扩展扩展

24、(1) 在实际应用中, 判断事件是否相互独立, 一是审查题目是否已经给出独立条件, 二是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断. 此题属于后者. (2) 事件的和与独立性结合的关系, 可以推广到多个事件的情形. 如， 12341234( )1( )1()1()P BPP AAAAP A A A AB 12341() () () ()PPPPAAAA 当然可以推广到 n 个事件情形. 概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第概率论与数理统计教案 第一章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 40 页页 小

25、小 结结 与与 思思 考考 二、释疑解惑二、释疑解惑 (1) 事件互不相容与事件对立的关系事件互不相容与事件对立的关系 若两个事件对立, 则这两个事件一定互不相容. 但是, 若两个事件互不相容, 这两个事件未必对立. (2) 事件互不相容与事件独立的关系事件互不相容与事件独立的关系 二者之间没有确定的逻辑关系. 事件互不相容表示两个事件不能同时发生, 事件相互独立表示事件的发生互不影响. (3) 事件两两独立与事件相互独立的关系事件两两独立与事件相互独立的关系 若多个事件相互独立, 则这些事件一定两两独立. 若多个事件不两两独立, 则这些事件一定不相互独立. 但是，事件两两独立推不出这些事件相互独立. (4) 不可能事件和必然事件的概率问题不可能事件和必然事件的概率问题 若已知 A 为不可能事件, 则必有 P(A)=0. 但是, 由 P(A)=0, 推不出来 A 为不可能事件. 若已知 A 为必然事件, 则必有 P(A)=1. 但是, 由 P(A)=1, 推不出来A 为必然事件. (5) 理论概率与试验频率理论概率与试验频率 概率是描述随机事件在一次试验中发生的可能性大小的一个常数，它不随试验次数增大而变动. 而频率是随试验次数而变动的. 在试验次数比较大时，人们常用频率来近似代替概率. 章教学体会记录章教学体会记录 章教学问题记录章教学问题记录