概率论与数理统计教师用教案概率统计教案3章第1节.pdf

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1、 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 89 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第一节 二维随机变量课时：2教学目的 教学目的 (1) 了解多维随机变量的概念； (2) 了解二维随机变量的分布函数； (3) 理解二维离散型随机变量的分布律的概念；理解二维离散型随机变量的分布律的概念； (4) 理解二维离散型随机变量的边缘分布律；理解二维离散型随机变量的边缘分布律； (5) 理解二维连续型随机变量的概率密度的概念；理解二维连续型随机变量的概率密度的概念；(6) 理解二

2、维连续型随机变量的边缘概率密度。理解二维连续型随机变量的边缘概率密度。 内容 内容 (1) 离散型二维随机变量的分布律及其边缘分布律； (2) 连续型二维随机变量的概率密度及其边缘概率密度。 教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强二维随机变量分布函数、边缘分布率、边缘概率密度和它们之间的关系的讲评，加大例题讲解力度，布置作业训练巩固。内容 内容 二维随机变量及其分布函数、边缘分布律、边缘概率密度的关系。教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 讲情概念“边缘”的意思，加大例题讲解力度。教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析。习题布置 习题布置 P79：1、4、8、9. 参考文献

3、参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘： 概率论与数理统计教案、 作业册与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术出版社，2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈

4、倩华，陈健 编著 大连理工版第 90 页页 教 学 内 容 教学笔记 教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介在很多随机现象中, 进行一次随机试验通常需要同时考察几个随机变量. 一般来说, 这些随机变量之间存在着某种联系, 因而既需要单独研究每个随机变量, 又需要把它们作为一个整体来研究. 作为整体研究，我们提出了二维随机变量和分布函数的概念，作为单独研究，我们提出了联合分布函数(联合分布率)、边缘分布率和边缘概率密度等概念，综合分析了它们之间的关系. 预备知识 预备知识 差事件概率计算，二元函数，反常二重积分, 二重积分及其几何意义，二重积分计算，分段函数的二重积分计算. 第三章 多维随机

5、变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 在第二章中, 我们研究了一维离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布的理论与方法. 在本章，我们将一维的概率分布的理论与方法推广到以二维随机变量为主要内容的多维随机变量的概率分布的情形， 并研究多维情形才具有的边缘分布、条件分布及随机变量独立性的理论与方法，深入研究两个随机变量函数的概率分布问题. 第一节第一节 二维随机变量及其边缘分布 二维随机变量及其边缘分布 在很多随机现象中, 进行一次随机试验通常需要同时考察几个随机变量. 例如, 发射一枚炮弹, 需要同时研究弹着点的横坐标和纵坐标; 考察某地区学龄前儿童的发育情况时，要同时考察身高和体重等多个

6、因素. 一般来说, 这些随机变量之间存在着某种联系, 因而既需要单独研究每个随机变量, 又需要把它们作为一个整体来研究. 定义定义 1 设设 E 是一个随机试验,它的样本空间是是一个随机试验,它的样本空间是 ,X1=X1(), X2=X2(), Xn = Xn () 是定义在是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个上的随机变量,由它们构成的一个 n 维向量维向量12(,)nXXX称为 n维随机向维随机向量(random vector),或,或 n 维随机变量维随机变量.例例 3.1.1 同时抛一枚 5 分硬币和一枚 2 分硬币, 设 1, 5,0, 5,X 分硬币正面朝上分硬币反面朝上 1,

7、2,0, 2,Y 分硬币正面朝上分硬币反面朝上则(X, Y)是一个二维随机变量，描述了掷 5 分硬币和 2 分硬币的各种可能结果. 例例 3.1.2 设靶心为平面直角坐标系原点, 弹着点坐标为(X,Y). 弹着点离靶 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 91 页页 心距离不超过 1 个单位长的随机事件可表示为 (X, Y) | X 2+Y 21. 我们着重研究二维情形, 其中大部分结果可以推广到 n 维情形. 一、二维随机变量的分布函数及其边缘分布函数 一、二维随机

8、变量的分布函数及其边缘分布函数 类似于一维随机变量的分布函数, 可以定义二维随机变量的分布函数. 定义定义 2 设设(X, Y)是二维随机变量, 对任意实数是二维随机变量, 对任意实数 x, y, 二元函数二元函数( , )()(),F x yPXxYyP Xx Yy(1.1)称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)的分布函数的分布函数( (distribution function), 或称为随机变量), 或称为随机变量X 和和 Y 的联合分布函的联合分布函数( (joint distribution function）.如果将二维随机变量(X, Y)看成是平面上随机点的坐标, 那么分布

9、函数 F(x, y)=PXx, Yy 表示随机点(X, Y)落在以点(x, y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率, 其中(x, y)R2, 见图 3-1. 图图 3- -1 ,P Xx Yy的几何意义的几何意义依照上述几何解释和概率减法公式及概率的有限可加性, 对随机点(X, Y)落入矩形区域I = (X, Y)|x1Xx2, y1x1时, F(x2, y)F(x1, y); 对于任意固定的 x, 当 y2 y1时, F(x, y2)F(x, y1). (2) F(x, y)对每个自变量右连续对每个自变量右连续. 即 F(x, y)= F(x+0, y), F(x, y)= F(x,

10、 y+0). 也就是 F(x, y)关于 x 右连续, 关于 y 也右连续. (3) 0F(x, y)1; 并且, 对于任意固定的并且, 对于任意固定的 y, F(-, y)=0; 对于任意固定的对于任意固定的 x, F(x, -)=0; F(-, -)=0, F(+, +)=1. (4) 对于任意的对于任意的 x1 y1, x2 y2, 有有 F(x2, y2)-F(x1, y2)-F(x2, y1)+F(x1, y1)0. 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 9

11、3 页页 我们再来探讨随机变量 X, Y 各自的分布函数与联合分布函数之间的关系. 定义定义 3 设 设 F(x, y)为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的联合分布函数的联合分布函数. 我们称我们称 FX (x)=PXx= PXx, -Y +=F(x, +) (xR) (1.3) 为关于随机变量为关于随机变量 X 的边缘分布函数的边缘分布函数( (marginal distribution function) ). 同理, 称称 FY (y)= F(+, y) (yR) (1.4) 为关于随机变量为关于随机变量 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数( (marginal distribution

12、 function）.）. 因此, 如果已知二维联合分布函数 F(x, y), 则边缘分布函数 FX (x)和 FY (y)就被唯一确定. 二、 二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 二、 二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 定义 4 若二维随机变量定义 4 若二维随机变量(X,Y)所有可能的取值是有限对或可列无限对所有可能的取值是有限对或可列无限对, 则称则称(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量. 设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其所有可能取值为(xi, yj), i, j=1, 2, 令pij=PX=xi, Y=yj, i, j=1, 2, (1.5) 则

13、称上式为(X, Y)的分布律分布律, 或称为 X 和 Y 的联合分布律联合分布律. (X, Y)的分布律也可用表格形式给出,见表 3-1. 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 94 页页 表表 3- -1 离散型随机变量 离散型随机变量(X, Y)的概率分布的概率分布X Y x1x2 xi y1p11p21 pi1 y2p12p22 pi2 yjp1jp2j pij 例例3.1.3 设随机变量X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值, 另一个随机变量 Y

14、在 1, 2, ,X 中等可能取一整数值. 求： (1) PY=2； (2)二维随机变量(X,Y)的分布律. 解解 (1) 本题涉及两次随机试验, 可用全概率公式去解决： PY=2=PX=1PY=2|X=1+PX=2PY=2|X=2 +PX=3PY=2|X=3+PX=4PY=2|X=4 =41(0+21+31+41)=4813.(2) 由概率乘法公式求得(X,Y)的分布律： 由题意知X=i,Y=j的取值情况是: i=1,2,3,4, j 取不大于 i 的正整数. 于是得到 PX=i, Y=j= PX=iPY=j|X=i =114i , i=1,2,3,4, ji. 于是(X, Y)的分布律为

15、X Y 12341 4181121161208112116130012116140 00161 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 95 页页 二维离散型随机变量(X, Y)的分布函数 F(x, y)与分布律的关系是： F(x,y)=PXx,Yy =, , ,1,2,.ijijijijxx yyxx yyP Xx Yypi j (1.6)二维离散型随机变量的分布律具有下列性质性质：(1) 0pij1, i, j=1, 2,. (2) 1ijijp .(3) ,iij

16、ijijjP XxP Xx Yypp, (1.7) PY=yj=,ijijjiiP Xx Yypp. (1.8)分别称ip, i=1,2,和jp, j =1,2,为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律边缘分布律. 这里ip表示对ijp的第二个足标 j 求和, jp表示对ijp的第一个足标 i 求和.二维离散型随机变量(X, Y)的分布律及其边缘分布律可用表格表示如下： 表表 3- -2 离散型随机变量 离散型随机变量(X, Y)的分布律与边缘分布律的分布律与边缘分布律X Y x1 x2 xi jpy1 p11 p21 pi1 1py2 p12 p22 pi2 2p yj p1j p2j pij j

17、p ip1p2p ip 1 表中最后一行表示(X,Y)关于X的边缘分布律, 最后一列表示(X,Y)关于Y的边缘分布律. 通常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上, 如表 3-2 所示, 这就是“边缘分布律”这个名词的来源. 例例 3.1.4 继续求例 3.1.3 问题的关于 X 和 Y 边缘分布律. 解解 依上述定义， 得到二维随机变量 (X, Y)的关于X和Y的边缘分布律, 如下表所示. 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 96 页页 X Y 1 2 3 4 P

18、Y=j=jp1 418112116125482081121161134830 012116174840 0 0161116PX=i=ip414141411 讲评 讲评 通过上述边缘分布，可以验证：(1) 这里PX=i=ip=41, i=1,2,3,4, 说明“随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地取一个值”. (2) 这里PY=2=2p=1348,与例 3.1.3 利用全概率公式计算得到的相符.三、 二维连续型随机变量的概率密度及其边缘概率密度 三、 二维连续型随机变量的概率密度及其边缘概率密度 与一维连续型随机变量的定义类似, 我们给出二维连续型随机变量的定义： 定义定义

19、 5 对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y)的分布函数的分布函数 F(x, y), 如果存在非负可积的函数如果存在非负可积的函数 f (x, y), 使得对于任意实数使得对于任意实数 x 和和 y, 有有 ( , )( , )d dxyF x yf s ts t , (1.9) 则称则称(X, Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量( continuous random variable), , 函数函数f (x, y)称为称为(X, Y)的概率密度的概率密度, 或称为随机变量或称为随机变量 X 和和 Y 的联合概率密度(的联合概率密度(joint probability dens

20、ity) ). 按定义, 概率密度 f (x, y)具有以下性质性质： (1) f (x, y)0. (2) ( , )d d1f x yx y. (1.10) (3) 设 G 是 xOy 平面上的区域, 点(X, Y)落在 G 内的概率为 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 97 页页 (, )( , )d dGPX YGf x yx y. (1.11) (4) 若 f (x, y)在点(x, y)处连续, 则有 ),(),(2yxfyxyxF. (1.12) 在

21、几何上, Z= f (x, y)的图像表示空间曲面 . 由性质(2), (3)可知, 介于曲面 和 xOy 平面的空间区域的体积为 1; P(X, Y)G的值等于以 G 为底, 以曲面 z = f (x, y)为顶面的曲顶柱体体积. 见图 3-3. 图 3-3 概率密度图 3-3 概率密度 f(x, y)及概率及概率 P(X, Y)G的几何意义与二维离散型随机变量相似, 二维连续型随机变量也有边缘概率密度的概念. 对于连续型随机变量(X,Y), 设它的概率密度为 f(x, y). 由于 ( )( ,)( , )d d( , )d dxxXFxF xf x yx yf x yyx , 从而可知,

22、 X 是连续型随机变量, 且其相应的概率密度为 ( )( , )dXfxf x yy. (1.13) 同理, Y 也是连续型随机变量, 其相应的概率密度为 ( )( , )dYfyf x yx. (1.14) 分别称 f X (x), f Y (y)为二维随机变量(X, Y)关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度(边缘概率密度(marginal probability density) ). 例例 3.1.5 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 2()e,0,0,( , )0,.x yAxyf x y其它(1) 确定常数 A; (2) 求(X, Y)的分布函数; (3) 求关于 X 和 Y

23、的边缘概率密度 f X (x), f Y (y); (4) 计算概率 PX1, Y2; (5) 计算概率 PX +Y 0 且 y 0 时, 2()00( , )4ed dxyx yF x yyx =22(1 e)(1 e).xy 所以22(1 e)(1 e),0,0,( , )0,.xyxyF x y其它(3) 上面已经求得 F(x, y), 故可先由(1.3)式和(1.4)式求得边缘分布函数, 再对边缘分布函数求导计算出边缘概率密度. 也可以直接利用(1.13)式和(1.14)式通过对 f(x,y)求积分, 求得边缘概率密度. X 的边缘分布函数为 21 e,0,( )( ,)0,0.xXx

24、FxF xx 所以，关于 X 的边缘概率密度为 22e,0,( )( )0,0.xXXxfxFxx同理，关于 Y 的边缘概率密度为 22e,0,( )0,0.yYyfyy(4) PX 1, Y 2=F(1, 2)=(1-e-2) (1-e-4). (5) 由(1.11)式, 2()110,01( , )d d4ed dxyxyxyxyP XYf x yx yx y 112()2004ed d13exxyyx . 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 99 页页 例例

25、3.1.6 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 2122211221222122()11( , )exp2(1)21()()()2,xf x y xyy - x +, - y 0, 2 0, -1 1. 我们称(X, Y)服从参数为服从参数为 1, 2,21,22, 的二维正态分布二维正态分布, 记为记为 (X, Y)N (1, 2;21,22; ). 参见图 3-4. 试求它的边缘概率密度. 图 3-4图 3-4 二维正态分布概率密度图像 二维正态分布概率密度图像 建议：1、告诉学生自看；2、教师讲清楚二维正态分布与边缘正态分布的关系；3、得到的下列定理常用. 解解 因为( )( , )

26、d ,Xfxf x yy注意到22122212()()()2yxy 2222112211(),yxx 于是 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 100 页页 2122212122211()122(1)121( ).eedXxyxfxy 令2122111,yxt则有22121()2211( )eed ,2xtXfxt 得到2121()211( )e,.2x Xfxx 同理2222()221( )e,.2y Yfyy 分析上面的推理，我们得到如下常用的定理：定理：若定理

27、：若(X, Y)N (1, 2;21,22; )，则则 XN (1,21)，YN (2,22). 可见, 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 并且都不依赖于参数 , 亦即对于给定的 1, 2, 1, 2, 不同的 对应不同的二维正态分布, 但它们的边缘分布却都是一样的. 这一事实表明: 仅由关于 X 和关于 Y 的边缘分布, 一般来说是不能确定随机变量 X 和 Y 的联合分布的. 思考题思考题1. 随机变量 X 和 Y 的联合概率分布与关于各自的边缘分布的关系有哪些？2. 如果(X, Y)N (1, 2;21,22; ), 问 X 和 Y 服从什么分布呢？ 解题参考解题参考1. 由随

28、机变量X 和 Y 的联合分布F(x,y)可以确定关于 X 和关于 Y 的边缘分布 FX (x)和 FY (y). 反之未必，仅由关于 X 和关于 Y 的边缘分布, 一般来说是不 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 101 页页 能确定随机变量 X 和 Y 的联合分布的. 但是当 X，Y 独立时是可以确定的. 2. 如果(X, Y)N (1, 2;21,22; ), 则 XN (1, 21)和 YN ( 2,22). 小 结 与 思 考小 结 与 思 考 本次课主要介绍了：(1) 二维随机变量的概念和联合分布函数的定义和性质； (2) 离散型二维随机变量的分布律及其边缘分布律； (3) 连续型二维随机变量的概率密度及其边缘概率密度. 思考题 思考题 (1) 二维随机变量与一维随机变量有何联系？ (2) 联合分布函数与边缘分布函数有何联系？ (3) 联合概率密度与边缘概率密度有何联系? (4) 边缘分布函数与边缘概率密度有何联系？