概率统计教案8章第2-3节.pdf

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1、 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 278 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第二节 单个及两个正态总体均值的假设检验 第三节 单个及两个正态总体方差的假设检验 课时: 3 教学目的 教学目的 (1) 了解单个正态总体均值和方差的假设检验; (2) 了解两个正态总体均值差和方差比的假设检验. 内容 内容 单个正态总体均值与方差的假设检验 教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强重点例题讲解力度，配备相关知识的习题训练巩固

2、. 内容 内容 单个及两个正态总体均值与方差的假设检验的拒绝域. 教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 加大难点知识的分析，加大例题讲解力度. 教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析. 习题布置 习题布置 P213：1、3、5； P219：1、2、3、4. 参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社， 2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大 学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘：概率论与数理统计教案 作业册 与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工

3、大学出版社，2015 年 8 月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术 出版社， 2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 279 页页 教 学 内 容 教 学 内 容 内容简介内容简介 这两节课分别给出单个及两个正态总体均值的假设检验和单个及两个正态总体方差的假设检验，这些内容在解决实际问题中常用. 要求学生必须会用这些方法. 预备知识 预备知识 总体期望，总体

4、方差，样本均值，样本方差，抽样分布，分位点，检验统计量等. 第二节 正态总体均值的假设检验 第二节 正态总体均值的假设检验 教师教学建议： （1）分正态总体的的方差已知和未知两种情形，考虑单个正态总体的均值大小和两个正态总体均值差的大小问题. （2）教学问题引入： 1） 已知考生成绩服从正态分布， 是否可以认为该次考试平均成绩是 70分？ 2）已知两个年级的考试成绩服从正态分布，是否可以认为今年的高等数学考试平均成绩比上一高 6 分？ 我们这里仅介绍总体X的分布为正态分布时的几种显著性检验的方法. 在正态分布),(2N中含有两个未知参数和2, 这里的假设检验问题都是针对这两个未知参数. 一、

5、单个正态总体单个正态总体 N(,2)均值均值的检验的检验 1. 方差方差2已知已知, 关于均值关于均值的检验的检验(Z 检验检验) 设总体2( ,)XN ),(20NX, 其中方差2已知, 均值未知, 12,nX XX是来自总体X的一组简单随机样本. (1) 双侧检验双侧检验 要检验假设 0100:,:HH. 这类双侧假设检验问题，我们在上一节已经详细论证过(见(1.3)式). 我们确定出双侧检验的拒绝域为 /2Zz. (2.1) 这种选用检验统计量 Z=0/Xn的检验方法称为 Z 检验法检验法. 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版

6、 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 280 页页 (2) 左侧检验左侧检验 要检验假设 010:,:HH. 这类检验问题，我们在上一节也已详细论证过(见(1.8)式). 确定出左侧检验的拒绝域左侧检验的拒绝域为 Zz. (2.2) (3) 右侧检验右侧检验 要检验假设 0010:,:HH. 这类检验问题，我们在上一节已经提及过(见(1.9)式). 确定出右侧检验的拒绝域右侧检验的拒绝域为 Zz. (2.3) 例例 8.2.1 某灯管制造厂生产一种灯管, 其寿命(单位:h)200,(2NX,从过去经验看1500. 今采用新工

7、艺进行生产后, 从产品中随机抽取 25 只进行测试, 得到寿命的平均值为 1675. 取显著性水平=0.05. 问： (1) 采用新工艺后, 灯管寿命是否有显著变化? (2) 采用新工艺后, 灯管寿命是否有显著提高? 教学建议： （1）题型是：正态总体，方差已知，求解问题“是否有显著变化”和“是否有显著提高？”. （2）利用双侧假设检验和右侧假设检验方法； （3）注意问题提法和备择假设检验的对应关系. 解 解 依据题意知2=2002, 故利用 Z 法检验. (1) 要检验假设0:1500H=, H11500. 取检验统计量0/XZn, 拒绝域为|Z|/2z. 查表得临界值/20.0251.96

8、zz. 根据001500,200,25,n 1675x , 算出4.375z . 由于 z=4.3751.96=0.025z, 故拒绝0H, 即认为采用新工艺后灯管寿命有显著变化. (2) 要检验假设0:1500H, 1:H1500. 此时拒绝域变为 Zz. 临界值变为0.051.65zz. 检验统计量的观测值仍是4.375z . 由于 z=4.3751.65=0.05z, 故拒绝0H, 即认为采用新工艺后灯管寿命有显著提高. 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编

9、著 大连理工大学出版社出版 第 第 281 页页 讲评讲评 (1) 此例给出了总体方差，要检验总体均值，应该选用 Z 检验法； (2) 问题“是否有显著提高?”提示我们，应该用右侧假设检验的拒绝域形式. (3) 要注意“显著性水平 0.05”不要对半分.由0.051.65zz，得到0.05()1 0.050.95z ，反查表(见教材附录 4)得到临界值点 1.645. 2. 方差方差2未知未知, 关于均值关于均值的检验的检验(t 检验检验) 上述关于单个正态总体均值的 Z 检验法, 要求总体方差已知, 但是在实际应用中, 总体方差往往并不知道. 我们自然想到， 用总体方差2的无偏估计量样本方差

10、2S来代替它, 这样就得到 t 检验法. 设12,nXXX为来自总体 X2( ,)N 的样本, 我们来求双侧假设检验 0100:,:HH. 由于2未知, 现在不能用检验统计量0/XZn来确定拒绝域了. 注意到2S是2的无偏估计, 所以我们选用统计量 0/XtSn. 由第六章第三节抽样分布的定理 1 知 0(1)/Xtt nSn. 我们控制犯第一类错误的概率最大为, 因此可要求 P当 H0为真时拒绝 H0/XPkSn. 再由 t 分布的概率密度曲线的对称特性, 参考图 8-4 及 t 分布上分位点的定义, 知P/2| |(1)ttn=. 查表定出临界值/2(1)tn, 进而确定出拒绝域为 0/2

11、| |(1)/XttnSn. (2.4) 上述双侧假设检验的拒绝域双侧假设检验的拒绝域见图 8-4. 图 图 8- -4 t检验法双侧假设检验的拒绝域 检验法双侧假设检验的拒绝域 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 282 页页 这种选用统计量0/XtSn的检验法称为 t 检验法检验法. 对于正态总体 X2( ,)N , 当2未知时关于均值的单侧假设检验的拒绝域可以类似求出. 类比本章第一节(1.8)式的推导过程，得到左侧检验的

12、拒绝域左侧检验的拒绝域为 0(1)/XttnSn. (2.5) 右侧检验的拒绝域右侧检验的拒绝域为 0(1)/XttnSn. (2.6) T 检验法单侧假设检验的拒绝域见图 8-5 和图 8-6. 图图 8- -5 t检验法左侧假设检验的拒绝域 检验法左侧假设检验的拒绝域 8- -6 t检验法右侧假设检验的拒绝域检验法右侧假设检验的拒绝域 例例 8.2.2 设某次考试的学生成绩服从正态分布, 现从中随机地抽取 36 位考生的成绩, 算得平均成绩为 66.5 分, 标准差为 15 分. 问在显著性水平 0.05下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程. 教学建议：

13、 （1）题型是正态总体，方差未知，求解问题“全体考生的平均成绩为 70分？ （2）利用双侧假设检验. （3）考研真题， 未给出任何数学记号. 要先建立数学模型， 即引入数学记号. 解解 设该次考试的考生成绩为X, 则XN(2, ). 依据题设，2未知. 记样本均值为X, 样本标准差为S. 提出假设 01:70,:70HH. 根据(2.4)式，拒绝域为 /270| |(1)/XttnSn. 由 n=36, 0.02566.5,15,(35)2.0301xst, 算得 66.5701.42.030115/36t. 因此不能拒绝0:70H, 即在显著性水平0.05 下, 可以认为参加这次考试的全体考

14、生的平均成绩为 70 分. 讲评 讲评 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 283 页页 (1) 此例没有给出总体方差，应该利用样本方差参与计算，要检验总体均值，应该选用 t 检验法； (2) 问题“是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？”提示我们，应该用双侧假设检验的拒绝域形式. (3) 要注意“显著性水平 0.05”对半分，查表得到临界值点. 二、 两个正态总体均值差的检验两个正态总体均值差的检验 教学建议：

15、（1）受学时少的限制，这部分内容可不讲. （2）要求学生自看， 完成一、 二道练习题即可.就是参考教材的例题解法，达到会用的学习目的. 1. 方差相同且未知时, 两总体均值差的检验 . 方差相同且未知时, 两总体均值差的检验 设112,nXXX是来自总体XN (21, )的样本, 212,nY YY是来自总体YN (22, )的样本, 且这两个样本相互独立,12, 2均未知. 考虑双侧假设检验双侧假设检验 012112:,:HH. 记这两个样本的样本均值分别为,X Y, 样本方差分别为2212,SS, 根据第六章第三节定理 2 的结论(2), 选用检验统计量 1212(2)11wXYtt nn

16、Snn, 其中 2222112212(1)(1),2wwwnSnSSSSnn. 又因为要求 P当 H0为真时拒绝 H01211wXYPkSnn. 于是得到双侧假设检验的拒绝域为 /21212(2)11wXYttnnSnn. (2.7) 同理, 若提出左侧假设检验左侧假设检验 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 284 页页 012112:,:HH, 此时可得拒绝域为 12(2)ttnn. (2.8) 若提出右侧假设检验右侧假设检

17、验 012112:,:HH， 此时可得拒绝域为 12(2)ttnn. (2.9) 常用的是0的情形, 即推断两个总体均值是否相等的情况. 2. 总体方差已知时, 总体均值差的检验 . 总体方差已知时, 总体均值差的检验 若两个正态总体的方差不相等, 则不能用前面叙述的 t 检验法来检验均值差问题. 假设两个正态总体211(,)XN 与222(,)YN 相互独立, 分别从总体 X 和总体 Y 中取得样本112,nXXX和212,nY YY, 各自的样本均值分别为,X Y, 且设两个总体方差21,22均已知, 而总体均值1,2均未知. 此时选用检验统计量 221212(0,1)XYZNnn 来进行

18、假设检验. 其中12. 若提出双侧假设检验双侧假设检验 012112:,:HH, 可得拒绝域为 /2Zz. (2.10) 同理, 若提出左侧假设检验左侧假设检验 012112:,:HH, 此时可得拒绝域为 Zz. (2.11) 若提出右侧假设检验右侧假设检验 012112:,:HH, 此时可得拒绝域为 Zz. (2.12) 常用的是0的情形, 即推断两个总体均值是否相等的情况. 在实际应用中, 如果遇到两个相互独立的容量都较大(均超过 50) 的样本, 这时不论这两个样本的分布是否为正态分布, 依据中心极限定理, 都可以用 Z 检验法作“近似”检验. 在总体方差2212,已知条件下，此时选用检

19、验统计量 221212(0,1)XYZNnn (2.13) 来进行假设检验. 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 285 页页 思考题思考题 1. 解读例 8.2.2：其它条件不变, (1) 能否认为平均成绩为 72 分？(2) 若36 位考生改为 49 位考生，是否还是可以认为平均成绩为 70 分？ 2. 举例说明，哪些实际问题需要进行总体均值的假设检验？ 解题参考解题参考 1. 例 8.2.2 的其它条件不变, 对于问题(1

20、) 此时有 66.5722.22.030115/36t， 可见拒绝原假设，就是不能认为平均成绩为 72 分. (2) 若 36 位考生改为 49 位考生，还是可以认为平均成绩为 70 分. 此时 66.5701.642.030115/49t， 可见不能拒绝原假设，也就是可以认为平均成绩为 70 分. 2. 需要进行总体均值的假设检验的问题， 是推断总体均值是否等于、 大于或小于某一个数. 例如，问采用新工艺后灯管寿命是否有显著提高? 能否认为这次考试全体考生的平均成绩不低于 70 分？等等. 第三节 正态总体方差的假设检验第三节 正态总体方差的假设检验 教师教学建议： （1）只考虑正态总体的均

21、值未知的实用情形，考虑单个正态总体的方差大小和两个正态总体方差比的大小问题. （2）教学问题引入： 1）已知学生考试成绩服从正态分布，是否可以认为该次学生成绩的标准差是 15 分？就是看看考生的学习稳定程度怎样？ 2） 已知两个年级的考生成绩服从正态分布， 是否可以认为今年的 高等数学考试成绩与上一年级同样稳定？考察两台机器工作的稳定性，分析两射手射击水平的稳定性等等. 下面我们分单个正态总体和两个正态总体来分别讨论. 一、 单个正态总体方差的检验一、 单个正态总体方差的检验(2检验检验) 设12,nXXX是来自正态总体 N(2, )的样本, 2, 均未知. 我们这里讨论真正实用的总体均值未知

22、的情形. 要求假设检验 2200:H, 2210:H. 选用检验统计量为 2220(1)nS. 由第六章第三节抽样分布的定理 1 知, 当0H为真时, 有 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 286 页页 220(1)nS2(1)n. 参见图 8-8, 得到未知时的关于2的双侧假设检验的拒绝域双侧假设检验的拒绝域为 22221/2/2(1)(1)nn或. (3.1) 图图 8-8 -8 未知时未知时 2检验法双侧假设检验的拒绝域

23、检验法双侧假设检验的拒绝域 同样地, 我们重点分析右侧假设检验 22220010:,:HH. 当 H0为真时, 样本方差的观察值 s2偏大才能拒绝 H0，由此拒绝域的形式为 2Sk. 因为 200222002220(1)(1)(1)(1),PHHP SknSnkPnSnkP当为真时拒绝 所以，要使 P当 H0为真时拒绝 H0, 只要使上式右端概率满足 2220(1)(1)nSnkP. 又因为222(1)nS2(1)n, 参考图 8-9, 我们得到 220(1)(1)nkn, 则有220(1)1knn, 将220(1)1knn代入拒绝域2Sk中，得到拒绝域为 2220(1)(1)nSn. 所以,

24、 我们得到右侧检验的拒绝域右侧检验的拒绝域为 22220(1)(1)nSn. (3.2) 类似地, 可以得到左侧假设检验左侧假设检验 22220010:,:HH 的拒绝域的拒绝域为 222120(1)(1)nSn. (3.3) 上述单侧假设检验的拒绝域分别参见图 8-9 和图 8-10. 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 287 页页 上述选用2220(1)nS检验统计量的检验法称为 2检验法. 检验法. 图图 8- -9 未

25、知时未知时 2检验法左侧假设 图检验法左侧假设 图 8- -10 未知时未知时 2检验法右侧假设 检验的拒绝域 检验的拒绝域检验法右侧假设 检验的拒绝域 检验的拒绝域 例例 8.3.1 在生产条件稳定的情况下，一自动机床所加工零件的尺寸服从正态分布. 标准差是衡量机床加工精度的重要特征，假设设计要求 0.5mm. 为控制生产过程，定时对产品进行抽验：每次抽验 5 件，测定其尺寸的标准差S. 试制定一种规则，以便根据 S 的值判断机床的精度是否降低了(取显著性水平05. 0). 教学建议： （1）题型是：正态总体，均值未知，求解问题“S 的值判断机床的精度是否降低？”； （2）利用右侧假设检验；

26、 （3）注意分析问题“精度是否降低”，如何写出假设检验？ （4）此题是生产实际问题，应引起学生的的注意力. 解解 这里要求为样本标准差确定一个上限 S0：当 SS0时认为机床加工精度符合设计要求，当 SS0时则认为机床加工精度比设计要求降低了. 临界值S0的确定可以通过构造假设检验的方法解决. 设零件的尺寸 XN(,2). 考虑假设 00:H,01:H 的检验，其中00.5mm. 检验基于来自总体 X 的容量为5n的简单随机样本，检验统计量 22222014=0.5nSS（ - ） 服从自由度为41n的2分布. 对于05. 0和自由度 4，查表得到20.05(4)9.488. 从而得假设00:

27、H的显著性水平05. 0的拒绝域 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 288 页页 22224(1)9.4880.770.5SVnS. 由此可见，为控制机床的加工精度，需要制定如下规则：定时抽样，每次抽验 5 件，测定其尺寸的标准差S，当样本标准差的观测值 s0.77 时认为机床的精度降低了(此时的显著性水平为 0.05). 讲评 讲评 (1) 此例没有给出总体均值，要检验总体方差，应该选用 2检验法； (2) 问题“根据 S

28、的值判断机床的精度是否降低”提示我们：要检验总体方差, 应该选用 2检验法右侧假设检验的拒绝域形式. (3) 要特别注意“精度是否降低”的假设是01:H，这与“均值是否降低”的假设10:H不等号方向相反！ 二、 两个正态总体方差比的检验二、 两个正态总体方差比的检验(F 检验检验) 教学建议： （1）受学时少的的限制，这部分内容可不讲. （2）要求学生自看，完成一、二道练习题即可.就是参考教材的例题解法，达到会用的学习目的. 前面介绍两个相互独立的正态总体均值差的 t 检验时, 要求两个总体方差应相等. 而要检验这两个方差是否相等, 需用下面介绍的 F 检验法检验法. 假设两个正态总体211(

29、,)XN 与222(,)YN 相互独立, 分别从总体 X 和总体 Y 中取得样本112,nXXX和212,nY YY, 它们的样本方差分别为2212,SS, 且设211, 222, 均未知. 现在要检验假设 22012:H, 22112:H. 我们选取检验统计量 2122SFS. 当 H0为真时, 观察值2122ss出现偏小或偏大才能拒绝 H0, 故拒绝域形式为 2221211222122/SSSkS 或 21222SkS. 由控制犯第一类错误的概率来确定12,k k的值： 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案

30、第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 289 页页 P当 H0为真时拒绝 H02211122222PSSkkSS. 为了求临界值, 使得计算简单、实用, 参见图 8-11, 我们常取 221212212/2SSPk和221222212/2SSPk. 图图 8- -10 总体均值未知时 总体均值未知时 F 检验法双侧检验的拒绝域检验法双侧检验的拒绝域 由第六章第三节抽样分布的定理 2 知 22122212/SS12(1,1)F nn, 参见图 8-11, 由F分布的上 分位点的定义可取 11/212(1,1)kFnn, 2/212(1,1)kFnn,

31、 从而确定出双侧假设检验的拒绝域双侧假设检验的拒绝域为 1/212/212(1,1)(1,1)FFnnFFnn或. (3.4) 类似地, 可以得到右侧假设检验右侧假设检验 2222012112:,:HH 的拒绝域的拒绝域为 211222(1,1)SFF nnS. (3.5) 同样地, 可以得到左侧假设检验左侧假设检验 2222012112:,:HH 的拒绝域的拒绝域为 2111222(1,1)SFFnnS. (3.6) 上述单侧假设检验的拒绝域分别参见图 8-12, 图 8-13. 图图 8- -12 总体均值未知时 总体均值未知时 F 检验法 检验法 8- -13 总体均值未知时 总体均值未

32、知时 F 检验法 左侧检验的拒绝域 右侧检验的拒绝域检验法 左侧检验的拒绝域 右侧检验的拒绝域 上述选用2122SFS检验统计量的检验法称为 F 检验法检验法. 例例8.3.2 某校从2014级选定两个班, 用两种不同的教学方法学习相同的内容. 学习一段时间后, 测得 n1=31 人的班级平均成绩1x=88 分, 均方差1s=15分; 测得n2=30人的班级平均成绩2x=82分, 均方差2s=12分. 假设这两个班级的学习成绩均服从正态分布, 且相互独立. 取显著性水平 =0.1, 问：用这两种不同的教学方法教学, 其效果是否出现显著差异? 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松

33、，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 290 页页 教学建议 （1）题型是： 二正态总体， 各方差未知， 求解“效果是否出现显著差异？” （2）联系实际的综合问题，值得重视.若利用实际问题的的数据，根据这里的处理问题的的解法，可写公开发表的论文，建议学生到网上查找数据，按照这里的假设检验思路，再结合区间估计方法等写写论文. （3）类似的，在区间估计方法中，也有此题型，见例 7.4.4.要求学生利用此题数据，借助于区间估计方法，考虑同样的问题“问其效果是否出现显著差异？” 解解 (1

34、) 首先进行方差相等的假设检验 提出假设 0H:2212, 1H: 2212. 当0H为真时, 选取检验统计量 2122(30,29)SFFS. 查表得 /20.05(30,29)1.8543(30,29)FF, 1/20.0511(30,29)0.54(29,30)1.8474FF. 于是, 根据(3.4)式，拒绝域为 F1.8543 或 F0.54. 计算F值221222151.5612sFs. 可见F值没有落入拒绝域, 故只好接受H0, 即可以认为两样本来自方差没有显著差异的正态总体. (2) 检验均值是否有显著差异 由(1)结论可知, 两个正态总体的方差可以认为相等, 现在应进一步检验

35、假设 012112:,:HH. 选用检验统计量 1212 (2)11wXYtt nnSnn， 其中 2222112212(1)(1),2wwwnSnSSSSnn. 由于 n1+ n2-2=59 大于 50，可以认为是大样本. 利用第六章第三节(3.10)式知/2/2(59)tz. 题设=0.10, 得到 t0.05(59)z0.05=1.645. 所以，拒绝域为 |t|/2/2(59)tz， 也就是 1.645t. 计算得 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著

36、大连理工大学出版社出版 第 第 291 页页 222112212(1)(1)2wnsnssnn2230 1529 12185.231302. 所以t的值为 1211wxytsnn8882185.20.0320.03361.733.47. 因为样本观察值t1.731.6450.05z, 因此应拒绝 H0, 即认为两种不同的教学方法的教学效果产生了显著差异. 讲评讲评 (1) 此例没有给出这两个正态总体各自的均值和方差， 问题“教学效果是否出现显著差异?”提示我们：首先要检验两个总体方差是否相等，即检验“教学效果稳定性”怎样； 在“方差可以认为相等” 时， 才可以用“正态总体方差未知但相等”的假设

37、检验条件，即接着要检验两个总体均值是否相等，也就是检验“教学效果的平均成绩”是否不同或有较大差别. 所以，应该首先选用 F 检验法检验“正态总体方差未知但相等”的结论，再选用 t 检验法. 此检验过程可以抽象为“先 F 后 t 检验”. (2) 要特别注意“显著性水平 0.1”对半分，查表分别得到 F 检验法和 t 检验法的临界值点. (3) 此例特别实用，提示读者一定给以足够重视. 思考题思考题 1. 解读例 8.3.2：要推断“教学效果是否出现显著差异” ，为什么要先进行F 检验再用 t 检验？能否直接利用 t 检验？ 2. 深入解读例 8.3.2：能否认为“教学效果是否出现了显著提高”？

38、 3. 举例说明，哪些实际问题需要进行方差的假设检验？ 解题参考解题参考 1. 问题“教学效果是否出现显著差异?”提示我们：首先要检验两个总体方差是否相等， 即检验 “教学效果稳定性” 怎样； 在 “方差可以认为相等” 时，才可以用“正态总体方差未知但相等”的假设检验条件，即接着要检验两个总体均值是否相等，也就是检验“教学效果的平均成绩”是否不同或有较大差别. 所以， 应该首先选用 F 检验法检验 “正态总体方差未知但相等” 的结论成立后，再选用 t 检验法. 此检验过程可以抽象为“先 F 后 t 检验”. 不可以直接利用 t 检验法. 因为“t 检验法”成立的条件是“两个正态总体方差未知但相

39、等” ，或者是“两个正态总体方差已知” ，所以应首先通过 F 检验法检验“正态总体方差未知但相等”成立. 实际上，既要平均成绩高，又要学习成绩稳定，才是优良效果的教法. 2. 还不能认为“教学效果是否出现了显著提高”. 此时关于均值检验假设变为012112:,:HH.拒绝域变为|t| 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 概率论与数理统计教案 第八章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 第 292 页页 (59)tz=1.96. 样本观测值满足 t=1.7671.96=(59)t，只好接受原假设01

40、2:H，认为教学效果还没有出现显著地提高. 3. 需要进行总体方差的假设检验的问题， 是推断总体方差是否等于、 大于或小于某一个数，如推断机器工作的精度如何，学生的学习成绩是否稳定. 再如， 问某台机床是否保持原来的加工精度， 射手张三的射击水平是否更加稳定，等等. 小 结 与 思 考小 结 与 思 考 思考题 思考题 怎样选择原假设与备择假设? 在假设检验中,原假设与备择假设的确定没有硬性标准,在实际问题中，我们一般根据具体问题的检验目的与心理需求而定.当我们希望利用样本观察值取得对某一检验目的具有强有力的支持时, 通常把这一检验目的的否定作为原假设0H. 例如我们希望得到总体均值显著增大(0)的论断,这时我们提出的假设为0010:,:HH.这是我们提出假设检验的主要原则.