概率统计教案2章第3节.pdf

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1、 概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 52 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第三节 随机变量的分布函数 课时：1 教学目的 教学目的 (1) 理解随机变量分布函数的概念和性质；(2) 掌握离散型随机变量分布函数及其计算。 内容 内容 离散型随机变量分布函数及其求解。教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强离散型随机变量概念和分布函数的讲评，加大例题讲解力度，布置作业巩固训练。内容 内容 分布函数及其公式形式的求解。教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 加大

2、例题讲解与分析力度。教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析。习题布置 习题布置 P49：1、2、4、5。 参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘： 概率论与数理统计教案、 作业册与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术出版社，2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与

3、数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 53 页页 教 学 内 容 教学笔记教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介给出了随机变量的分布函数定义、性质及其求法. 考虑了离散型随机变量 X 的概率分布问题. 预备知识 预备知识 单调函数，左右极限，左右连续函数，级数求和，随机事件和与差关系等式. 第二章 随机变量及其分布 第二章 随机变量及其分布 第三节 随机变量的分布函数 第三节 随机变量的分布函数 一、 分布函数的概念 一、 分布函数的概念 定义定义 设设 X 是一个随机变

4、量(包括离散型及非离散型)是一个随机变量(包括离散型及非离散型), x 是任意实数是任意实数, 称实值函数称实值函数 F(x)= PXx(- x +), (3.1) 为随机变量为随机变量 X 的分布函数的分布函数( distribution function), 有时也记为有时也记为 FX (x).由这个定义知, 若 F(x)是 X 的分布函数, 注意到差事件概率关系 PaXb=PXb-PXa, 则有 PaXb=F(b)F(a). (3.2) 这个式子对(-, + )内的任何实数 a, b(ab)都是成立的, 常用来求 X 落入区间(a, b内的概率. 分布函数与随机变量不同, 它是一个普通的

5、实函数, 正是通过它, 我们才能用数学分析的方法来研究随机变量. 几何意义： 如果将 X 看成是数轴上的随机点的坐标, 那么, 分布函数 F(x) 在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(-, x上的概率. 概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 54 页页 lim(t)txF二、 分布函数的性质 二、 分布函数的性质 定理 设定理 设 F(x)是随机变量是随机变量 X 的分布函数, 则的分布函数, 则(1) 0F(x)1. .(2) F(x)单调不减, 即当单调不减,

6、 即当 x1x2时, 时, F( x1)F(x2). .(3) F(- -)=lim( )0 xF x, , F(+)=lim( )1xF x. .(4) F(x)右连续, 即对任意实数右连续, 即对任意实数 x, 有, 有 F(x+0)= =F(x). .性质(1), (2), (3)用分布函数的定义和(3.2)式易于证明, 性质(4)证明1从略. 概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 55 页页 可以证明2, 若某一函数 F(x)满足上面的性质(1), (2),

7、(3)和(4), 则必存在一个随机变量 X 以 F(x)为其分布函数. 三、 离散型随机变量的分布函数 三、 离散型随机变量的分布函数 我们通过例题来建立离散型随机变量的分布函数的求法. 例例 2.3.1 设随机变量 X 的分布律为 X -1 2 3 P 412141(1) 计算概率 PX1, P2X1|X 2； (2) 求 X 的分布函数. 解解 (1) 上述概率可以直接通过 X 的分布律求出： PX1= PX =-1=14；P2X1|X 2=1,11/221/4 1/23P XXPXP XP X2222. (2) 根据分布函数的定义 F(x)=PXx及 X 的分布律, 将-x+分解为区间(

8、-, -1), -1, 2), 2, 3)和3, +). 所以, 当 x-1 时, F(x)=()P =0; 当-1x2 时, F(x)=PX=-1 =14;当 2x3 时, F(x)=PX=-1 + PX=2=113424; 当 x3 时, F(x)=P() =1. 概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 56 页页 即0,1,1,12,4( )3,23,41,3.xxF xxx F(x)的图形如图2-5所示, 它是一条阶梯形的曲线, 在x = -1,2,3处的跳跃值

9、分别等于概率41,21,41.图 图 2-5 离散型随机变量分布函数图形和特性 离散型随机变量分布函数图形和特性我们也可以借助于分布函数来计算有关随机变量 X 的关系式的概率： 2()( 2)0332.52.5.44PXFF 一般地, 设离散型随机变量 X 的分布律为 pk=PX=xk, k=1,2, 则由概率公理化定义的可列可加性(3.1)式得到 X 的分布函数为 F(x)=PXx=()kkkkxxxxPXxP Xx. 所以( )kkkkxxxxF xP Xxp. (3.3) F(x)是一个右连续的函数, 在 X= xk (k =1, 2, )处的跳跃值等于概率 pk=PX= xk. 嘱咐学

10、生写明：(3.3)揭示分布函数与随机变量的关系，或者说，分布函数也是研究随机变量概率的另外一种方法. 思考题思考题1. 随机变量的分布函数有哪些性质？2. 随机变量的分布函数与普通函数之间有哪些联系与区别？解答参考 解答参考 概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 57 页页 1. 见本章第 45 页. 2. 分布函数与随机变量不同, 分布函数是一个普通的实函数；是有界函数，满足 0F(x)1；是单调不减函数；是右连续函数. 区别： 随机变量的自变量是样本点， 它的取值有一定的概率(不唯一确定)；分布函数自变量是实数，因变量取值确定. 小 结 与 思 考小 结 与 思 考 本次课我们介绍了分布函数及其性质,对于利用分布函数的性质确定其中的待定参数的方法要掌握. 通过例 1 讲解了离散型随机变量分布函数及其概率计算的问题， 这里的例 1 在学习方法上应熟练掌握.