(江苏专用)2019版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第40讲 一元二次不等式学案.pdf

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1、第第 4040 讲讲一元二次不等式一元二次不等式考试要求1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系（B 级要求);2.求解一元二次不等式（C 级要求)。诊 断 自 测1。（教材改编）不等式x3x100 的解集是_。解析解方程x3x100 得x12，x25，由于yx3x10 的图象开口向上，所以x3x100 的解集为(，2)（5，）。答案(，2)（5，）2。（扬州市 2018 届高三上学期期中)不等式错误错误! !2 的解集为_.解析错误错误! !2，即错误错误! !0 的解集是错误错误! !,则ab_.解析x1错误错误! !，x2错误错误! !

2、是方程axbx20 的两个根，错误错误! !解得错误错误! !ab14.答案144.（必修 5P78 例 3 改编）某厂生产一批产品,日销售量x(单位：件)与货价p（单位：元/件）之间的关系为p1602x，生产x件所需成本C50030 x元.若使得日获利不少于1300 元，则该厂日产量所要满足的条件是_.解析由题意得(1602x)x（50030 x)1300，解得 20 x45.答案20，455.（必修 5P80 习题 8 改编）若不等式x2xk20 对于任意的x2,)恒成立,则实数k的取值范围是_。解析由x2xk20,得kx2x2，设f(x)x2x2，f（x)(x1) 3，当x2，可求得f（

3、x)max2,则kf（x)max2，所以k错误错误! !或k错误错误! !222222222222222答案（， 2）（错误错误! !，)知 识 梳 理1.“三个二次”的关系判别式b4ac二次函数yax22000(a0)的解集)一元二次不等式b(，）2aax2bxc0)的解集2。常用结论（x1，x2）（xa）(xb)0 或(xa）(xb)0 型不等式的解法不等式(xa)（x解集abxxb或b）0（xa）(xxbx|axbaxax|bxab)0口诀：大于取两边,小于取中间。3.分式不等式的等价变形（1)错误错误! !0（0)f(x）g（x）0（0）.(2)错误错误! !0（0)f(x)g（x）0

4、(0)且g（x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.考点一一元二次不等式及分式不等式的解法【例 1】 解下列关于x的不等式.(1）6x5x10; （2)错误错误! !3。解(1）原不等式转化为 6x5x10，方程 6x5x10 的解为x1错误错误! !,x21。根据y6x5x1 的图象,可得原不等式的解集为错误错误! !。（2)原不等式变形为错误错误! !30，即错误错误! !0，所以原不等式的解集为错误错误! !。规律方法（1）可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集； (2）遇到分式不等式一般有两种方法:方法一是转化变形为错误错误! !0（

5、a0(ab）的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第(2）题，就可以转化成错误错误! !2222或者错误错误! !再分别求解。考点二含参不等式解法【例 2】 (1)解关于x的不等式：x(a1)xa0.（2)解关于x的不等式：ax（a1）x10.解（1)由x(a1）xa0,得（xa）(x1）0,x1a,x21，当a1 时，x(a1）xa0 的解集为x1xa，当a1 时，x（a1）xa0 的解集为，当a1 时，x(a1）xa0 的解集为xax1。（2）若a0，原不等式等价于x11。若a0，原不等式等价于错误错误! !（x1)0,解得x错误错误! !或x1.若a0，原不等式等价于错误错误! !（

6、x1)0。当a1 时，错误错误! !1，错误错误! !（x1)1 时,错误错误! !1，解错误错误! !（x1）0，得错误错误! !x1；当 0a1，解错误错误! !（x1）0，222222得 11;当a0 时,解集为xx1；当 0a1 时，解集为错误错误! !;当a1 时，解集为；当a1 时，解集为错误错误! !.规律方法1。利用f（x）0（f（x）0）求函数单调区间时，常转化为含参的一元一次不等式或一元二次不等式的求解问题2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论（1)若二次项系数为常数 ,首先确定二次项系数是否为正数 ,再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可

7、依据判别式符号进行分类讨论；（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3）对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集【训练 1】 （1）求不等式 12xaxa（aR R）的解集。（2)解关于x的不等式kx2xk0(kR R）。解(1）12xaxa，12xaxa0，即（4xa)（3xa）0，令(4xa)(3xa）0，得x1错误错误! !，x2错误错误! !.当a0 时,错误错误! !错误错误! !，解集为错误错误! !；当a0 时，x0，解集为x|xR R，且x0;当a0 时，错误错误! !错误错误

8、! !，解集为错误错误! !。综上所述，当a0 时，不等式的解集为错误错误! !；22222222当a0 时,不等式的解集为x|xR R，且x0;当a0 时，不等式的解集为错误错误! !.(2)当k0 时，不等式的解为x0。当k0 时，若44k0,即 0k1 时，不等式的解为错误错误! !x错误错误! !；若0，即k1 时，不等式无解.当k0 时，若44k0，即1k0 时，不等式的解为x错误错误! !或x错误错误! !；若0,即k1 时,不等式的解集为 R R；若0,即k1 时，不等式的解集为x|x1。综上所述，k1 时，不等式的解集为；0k1 时，不等式的解集为错误错误! !；22k0 时，

9、不等式的解集为xx0;当1k0 时,不等式的解集为错误错误! !；k1 时，不等式的解集为x|x1；k1 时，不等式的解集为 R R。考点三三个二次的关系【例 3】 已知函数f(x）2xbxc（b，cR R）的值域为0,）,若关于x的不等式2f(x)m的解集为（n，n10），求实数m的值。解因为函数f（x)2xbxc(b，cR R)的值域为0，)，所以b8c0,所以c ，8因为不等式f(x)m的解集为（n，n10），所以 2xbx错误错误! !m，即 2xbx错误错误! !m0 的解集为（n，n10)，设方程 2xbx m0 的两根为x1，x2，8则x1x2错误错误! !，x1x2错误错误!

10、!错误错误! !，所以x1x2错误错误! !错误错误! !错误错误! !10，解得m50.22222b2b2规律方法（1）一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。(2)若x1，x2为axbxc0（a0）两根，则|x1x2错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !。考点四一元二次不等式的应用【例 4】 某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低x成(1 成10%),售出商品数量就增加错误错误! !x成.要求售价不能低于成本价.(1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系

11、式yf（x)，并写出定义域；(2）若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求x的取值范围.解(1)由题意得y100错误错误! !100错误错误! !.因为售价不能低于成本价，所以 100错误错误! !800。即x2，所以yf(x）40(10 x）（254x），定义域为0,2.（2)由题意得 40(10 x）(254x)10 260，化简得 8x30 x130，解得错误错误! !x错误错误! !。所以x的取值范围是错误错误! !.规律方法求解不等式应用题的四个步骤（1）阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系。（2）引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关

12、系，建立相应的数学模型。(3）解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义。(4）回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果。【训练 2】 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1x10)，每小时可获得的利润是 100（5x1错误错误! !)元。（1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求x的取值范围；（2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润。解（1)根据题意得200（5x1错误错误! !)3 000，22整理得 5x14错误错误! !0，即 5x14x30，又 1x10，可解得 3x10

13、。即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,x的取值范围是3，10.(2)设利润为y元,则2y错误错误! !100错误错误! !910错误错误! !910错误错误! !，故当x6 时,ymax457 500 元.即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457500 元。44一、必做题1。（教材改编）不等式3x5x40 的解集为_。解析原不等式变形为 3x5x40。因为（5) 434230，所以 3x5x40 无解。由函数y3x5x4 的图象可知 3x5x40 的解集为 。答案2。（教材改编）不等式错误错误! !0 的解集为_。解

14、析原不等式等价于错误错误! !即错误错误! !即错误错误! !x1.故原不等式的解集为错误错误! !.答案错误错误! !3.若集合Axaxax10 ，则实数a的取值范围是_。解析由题意知a0 时,满足条件。当a0 时,由错误错误! !得 0a4，所以 0a4。答案0,422222224.(2017南京三模)记不等式xx60 的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB的充分条件，则实数a的取值范围为_.解析由题意得A(3，2），B（a，),AB,a3.答案（，35.若关于x的不等式x2ax8a0)的解集为 (x1,x2），且x2x115，则a_。解析由x2ax8a0，

15、得（x2a)（x4a)0,因为a0，所以不等式的解集为(2a，4a)，即x24a,x12a，由x2x115，得 4a（2a）15,解得a错误错误! !.答案5222222226。已知不等式axbx10 的解集是错误错误! !，则不等式xbxa0 的解集是_。解析由题意知错误错误! !,错误错误! !是方程axbx10 的根，所以由根与系数的关系得错误错误! !错误错误! !错误错误! !，错误错误! !错误错误! !错误错误! !。解得a6，b5，不等式xbxa0 即为x5x60,解集为（2,3)。答案(2，3）7。某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500

16、 万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元，则x的最小值是_.解析由题意得,3 860500500（1x)500(1x) 27 000,化简得(x） 3x0.640，解得x0。2，若x3。2(舍去）。x20，即x的最小值为 20。答案208.若不等式2x2axa1 有唯一解，则a的值为_解析若不等式2x2axa1 有唯一解，则x2axa1 有两个相等的实根，22222222所以4a4（a1）0,解得a错误错误! !.答案错误错误! !9。已知f（x）错误错误! !则不等式f(x

17、x1）12 的解集是_.解析由题意得当x0 时，f（x)0，且f(x)单调递增；当x0 时,f(x）0，且f（x)单调递增，因为 0 00 0，所以f(x）在 R R 上单调递增，又f（3）12，所以2222f（x2x1)12f(x2x1）f(3)x2x131x2。答案（1,2）10。已知关于x的不等式错误错误! !1。(1)当a1 时，解该不等式;（2）当a为任意实数时,解该不等式。解(1）当a1 时,不等式化为错误错误! !1，化为错误错误! !0,所以 1x2,解集为x|1x2。（2）由错误错误! !1,得错误错误! !0,即（ax2)(x1）0。当错误错误! !1,即a2 时，解集为

18、；当错误错误! !1，即 0a2 时,解集为错误错误! !；当错误错误! !2 时，解集为错误错误! !；当a0 时，解集为xx1；当a0 时，解集为错误错误! !。二、选做题11.解关于x的不等式ax（2a1）x20（aR R）。解原不等式可化为(ax1)(x2）0。(1)当a0 时，原不等式可以化为a(x2)错误错误! !0，根据不等式的性质，这个不等式等价于（x2）错误错误! !0.因为方程(x2)错误错误! !0 的两个根分别是 2，错误错误! !，所以当 0a错误错误! !时，2错误错误! !，则原不等式的解集是错误错误! !;当a错误错误! !时，原不等式的解集是 ；1当a 时,错

19、误错误! !2，则原不等式的解集是错误错误! !.2（2)当a0 时,原不等式为（x2)0，解得x2，即原不等式的解集是xx2.2（3)当a0 时,原不等式可以化为a(x2）错误错误! !0,根据不等式的性质，这个不等式等价于（x2）错误错误! !0，由于错误错误! !2，故原不等式的解集是错误错误! !。综上所述，当a0 时，不等式的解集为错误错误! !；1当a0 时，不等式的解集为x|x2；当 0a 时，不等式的解集为错误错误! !；当a错误错误! !2时，不等式的解集为；当a错误错误! !时，不等式的解集为错误错误! !.12.(扬州市 2018 届高三上学期期中）函数f(x）log3（

20、x2x8）的定义域为A，函数g（x)x（m1)xm.(1)若m4 时,g(x）0 的解集为B，求AB；（2)若存在x错误错误! !使得不等式g（x)1 成立，求实数m的取值范围。解（1）由x2x80，解得x4 或x2,则A(，4）（2，)，若m4，g（x)x3x4,由x3x40,解得1x4，则B1，4，所以AB(2，4.（2)存在x错误错误! !使得不等式x（m1）xm1 成立,即存在x错误错误! !，使得不等式222222m错误错误! !成立，所以m错误错误! !错误错误! !，x2x1因为x错误错误! !x1错误错误! !11，当且仅当x11，即x0 时取得等号，所以x1m1，解得m1。即

21、实数m的取值范围是（，1.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in ourbusy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. Ihope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Partof the text by the users care and support, thank you here! I hope tomake progress and grow with you in the future.