(浙江专版)2018年高中数学 复习课(一)导数及其应用学案 新人教A版选修2-2.pdf

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1、复习课（一）复习课（一）导数及其应用导数及其应用( (部分）部分）导数的概念及几何意义的应用（1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容,各种题型均有可能出现(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点错误错误! !（1）已知切点A（x0，f（x0)求斜率k，即求该点处的导数值:kf(x0)；(2）已知斜率k,求切点A(x1,f(x1），即解方程f（x1)k；（3)已知过某点M（x1，f（x1）(不是切点）的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0，f(x0)），利用k错误错误! !求解典例（全国卷)已知f(x）为偶函数，当x0 时，f(x)ex1x，则曲线yf(x

2、)在点（1,2）处的切线方程是_解析设x0，则x0，f(x）ef(x）为偶函数，f（x）f(x）,f(x)ex1x1x。x.x1当x0 时，f(x）ef（1）e111，1112.曲线yf（x)在点(1，2)处的切线方程为y22（x1)，即 2xy0.答案2xy0类题通法（1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,例如，yx在（1,1）处的切线l与yx的图象还有一个交点（2,8)错误错误! !331曲线yxx2在点（1，1)处的切线方

3、程为（）Ay2x1By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选 Ay错误错误! !错误错误! !，ky|x121222，切线方程为:y12(x1），即y2x1。2已知曲线yxlnx在点(1，1）处的切线与曲线yax（a2)x1 相切，则a_.解析：yxlnx，y1错误错误! !，2y错误错误! !2。曲线yxlnx在点(1，1)处的切线方程为y12(x1），即y2x1。法一：y2x1 与曲线yax（a2)x1 相切，a0(当a0 时曲线变为y2x1 与已知直线平行）由错误错误! !消去y,得axax20。由a8a0，解得a8。法二:设y2x1 与曲线yax（a2)x1 相切于点(x0，ax错误错误

4、! !（a2）x01）y2ax（a2），y错误错误! !2ax0（a2）由错误错误! !解得错误错误! !答案：8导数与函数的单调2222性(1)题型既有选择题、填空题也有解答题,若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题.（2）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“,”隔开，绝对不能用“”连接错误错误! !函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x）在（a

5、，b)内可导，则f(x）在（a，b)任意子区间内部不恒等于 0。f(x)0函数f（x）在(a,b)上单调递增；f(x）0函数f（x)在（a，b）上单调递减反之,函数f(x）在(a，b)上单调递增f（x)0；函数f（x)在(a，b）上单调递减f(x)0.即f(x）0（f（x）0）是f（x)为增（减)函数的充分不必要条件典例已知函数f(x)x错误错误! !b(x0），其中a，bR.(1)若曲线yf(x）在点P(2，f(2)处的切线方程为y3x1，求函数f（x)的解析式;（2)讨论函数f（x）的单调性并求出单调区间解f(x)12.(1)由导数的几何意义得f（2)3，即 1 3，4a8.由切点P（2，

6、f（2)在直线y3x1 上,得f（2）3217，则2b7，解得b9，函数f（x）的解析式为f(x）x错误错误! !9(x0)（2）当a0 时,显然f(x）0(x0),这时f（x）在（,0），（0，)上是增函数当a0 时，由f（x)0，解得x错误错误! !。当x错误错误! !或x错误错误! !时,f（x)0；当错误错误! !x0 或 0 x错误错误! !时，f(x)0。f（x）在(，错误错误! !），（错误错误! !，）上是增函数,在(0，a),(错误错误! !,0）上是减函数类题通法求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f（x）的定义域（2）计算函数f(x)的导数f(x)(3）解不等式f(x

7、)0，得到函数f（x）的递增区间；解不等式f（x)0,得到函数axaf(x)的递减区间提醒求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误题组训练1设函数f（x)x3x4,则yf(x1）的单调递减区间为_解析：由f(x）x3x4，令f(x）0，即x3x40,解得4x1，所以函数f（x)的单调递减区间为(4,1)，所以yf(x1)的单调递减区间为(5，0)答案：（5，0)2已知函数f(x)错误错误! !x2xae .(1)若a1，求f（x）在x1 处的切线方程;（2）若f（x）在 R 上是增函数,求实数a的取值范围解：（1）当a1 时，f(x）错误错误! !x2xe ，则f（

8、1）错误错误! !1 21e错误错误! !e,222222xxf(x）x2ex，f(1)12e1e,故曲线yf（x）在x1 处的切线方程为y错误错误! !（1e）（x1)，即y（1e）x错误错误! !。(2）f（x）在 R 上是增函数，f(x）0 在 R 上恒成立，f（x)错误错误! !x2xae ,f（x)x2ae ，于是有不等式x2ae 0 在 R 上恒成立，即a错误错误! !在 R 上恒成立，令g(x)2xx，则g(x）错误错误! !，ex2xx令g（x）0,解得x3，列表如下:xg(x)g（x）(,3)减30极小值错误错误! !（3，）增故函数g（x）在x3 处取得极小值,亦即最小值，

9、1即g（x）min3，所以a错误错误! !，e即实数a的取值范围是错误错误! !.导数与函数的极值、最值从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大考点精要1导数与函数单调性、极值的关系（1）f(x)0 在(a，b）上成立，是f(x）在（a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数f（x），f(x0)0 是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f(x0)0 时，x0不一定是极值点；（3)求最值时，应注意极值点和所给

10、区间的关系，关系不确定时应分类讨论典例已知函数f(x)axbxc在点x2 处取得极值c16.（1）求a，b的值；（2）若f（x）有极大值 28，求f(x)在3,3上的最小值解(1）因为f(x)axbxc,故f(x)3axb.由于f(x)在点x2 处取得极值c16,故有错误错误! !即错误错误! !化简得错误错误! !解得错误错误! !(2）由（1）知f(x）x12xc;3233f（x）3x2123(x2）（x2)令f（x)0,得x12，x22.当x(,2)时，f(x)0,故f（x）在（，2)上为增函数;当x(2，2)时，f（x）0，故f(x)在（2,2）上为减函数；当x(2，）时，f（x)0，

11、故f（x)在(2，）上为增函数由此可知f(x)在x2 处取得极大值f（2）16c，f(x)在x2 处取得极小值f(2)c16.由题设条件知 16c28，解得c12。此时f（3）9c21，f（3)9c3，f(2)16c4，因此f（x)在3,3上的最小值为f（2)4.类题通法1求函数的极值的方法（1)确定函数的定义区间,求导数f(x）(2)求方程f(x）0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x）在这个根处取得极小值 ;如果左右不改变符号即都为正

12、或都为负 ,则f(x）在这个根处无极值2求函数的最值的方法(1)求f(x)在（a，b)内的极值(2)将f（x)的各极值与f（a），f(b）比较得出函数f（x）在a，b上的最值错误错误! !1已知函数f（x）xalnx(aR），试求函数的极值解：f(x）1错误错误! !错误错误! !，x0.（1)当a0 时，f(x)0，函数f（x)为(0，）上的增函数,函数f（x）无极值；（2）当a0 时,由f(x)0，解得xa。又当x（0,a)时，f（x）0；当x(a，)时，f（x)0，从而函数f（x）在xa处取得极小值，且极小值为f（a)aalna，无极大值综上,当a0 时，函数f（x）无极值;当a0 时，

13、函数f（x)在xa处取得极小值aalna,无极大值2已知函数f（x）错误错误! !(x1)，(1）试判断函数f（x)的单调性,并说明理由；(2）若f(x）错误错误! !恒成立,求实数k的取值范围解:(1）f（x)错误错误! !,x1，lnx0，f(x)0。故函数f（x)在1，）上单调递减（2)x1,f（x)错误错误! !错误错误! !k，令g(x）错误错误! !，g（x)x11lnxxx11lnxx2错误错误! !。再令h(x)xlnx,则h（x）1错误错误! !.x1,则h(x)0，h(x)在1，)上单调递增h（x)minh（1）10，从而g（x)0,故g(x）在1，）上单调递增，g(x）m

14、ing(1）2,k2.故实数k的取值范围为（，2生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一 ,高考中有所体现，既可以以小题形式考查 ,也可以解答题形式考查，难度中低档错误错误! !（1）解决优化问题的策略要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域要通过研究相应函数的性质 ,如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中,导数是一个有力的工具(2）求实际问题的最大（小）值时,一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去(3)在实际问题中，由f(x)0 常常仅得到一个根,若能判断函数的最大(小）值在x的变化区间内部得到,则这个根处的

15、函数值就是所求的最大(小)值典例某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度 )设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米,体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000 元（ 为圆周率）(1)将V表示成r的函数V（r)，并求该函数的定义域（2)讨论函数V（r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解（1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r)元又据题意知 200rh160r12 000，所以h错误错

16、误! !（3004r），从而V(r）r h错误错误! !（300r4r)因为r0，又由h0 可得r5错误错误! !,故函数V（r）的定义域为（0,5错误错误! !)（2)因为V（r)3(300r4r），52232222所以V（r)错误错误! !(30012r)令V(r)0，解得r15，r25(因r25 不在定义域内,舍去）当r（0,5)时，V（r)0，故V（r）在（0,5)上为增函数；当r（5,5 3）时，V(r）0，故V(r)在(5，5错误错误! !）上为减函数由此可知，V(r）在r5 处取得最大值,此时h8.即当r5，h8 时，该蓄水池的体积最大类题通法利用导数求实际问题的最大（小)值的一

17、般方法（1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf（x)，根据实际问题确定yf（x)的定义域（2）求方程f(x)0 的所有实数根（3）比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值错误错误! !1书店预计一年内要销售某种书 15 万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费 30元,每千册书存放一年要耗库存费 40 元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分_次进货、每次进_册，可使所付的手续费与库存费之和最少解析:设每次进书x千册(0 x150)，手续费与库存费之和为y元，由

18、于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即错误错误! !，故有y错误错误! !30错误错误! !40,y错误错误! !20错误错误! !，当 0 x15 时，y0，当 15x150 时，y0.故当x15 时，y取得最小值，此时进货次数为错误错误! !10(次）即该书店分 10 次进货,每次进 15 000 册书，所付手续费与库存费之和最少答案：1015 0002一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10 千米时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小？解:设轮船速度为x(x0）千米/

19、时的燃料费用为Q元，则Qkx，由 6k10 ，可得k333。Qx。500500总费用y错误错误! !错误错误! !错误错误! !x错误错误! !.y错误错误! !错误错误! !。令y0，得x20。当x（0，20)时，y0，此时函数单调递减，当x（20，)时，y0，此时函数单调递增当x20 时，y取得最小值，此轮船以 20 千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小2331函数f(x)e cosx的图象在点（0,f（0）)处的切线的倾斜角为(）xA。错误错误! !B0C。错误错误! !x D1解析：选 A由f(x）e (cosxsinx),则在点(0，f(0）)处的切线的斜率kf(0）1，故倾斜角为

20、错误错误! !，选 A。2已知函数f（x）错误错误! !x错误错误! !xcxd有极值，则c的取值范围为（）Ac错误错误! !1Cc4 Bc错误错误! ! Dc错误错误! !232解析：选 A由题意得f（x)xxc，若函数f（x)有极值，则14c0，解得c错误错误! !.3函数ylnxx在x（0,e上的最大值为(）AeC1 B1 De解析:选 C函数ylnxx的定义域为（0,)，又y错误错误! !1错误错误! !,令y0得x1，当x(0，1)时,y0，函数单调递增；当x（1，e)时，y0，函数单调递减当x1 时,函数取得最大值1，故选 C。4函数f(x)x2mlnx(m0)的单调递减区间为（)

21、A(0,)B(0,错误错误! !）C(错误错误! !，)D(0, m)（ m，）解析：选 B由条件知函数f(x)的定义域为(0，)因为m0,则f(x）错误错误! !.当x变化时，f(x），f（x)的变化情况如下表：2xf(x)f（x)(0,错误错误! !)m0极小值(错误错误! !，)由上表可知 ,函数f（x）的单调递减区间是（ 0,m)，单调递增区间是（错误错误! !，）5已知函数f(x）错误错误! !x2x2x，若存在满足 0 x03 的实数x0,使得曲线y32f(x）在点 (x0,f（x0）处的切线与直线xmy100 垂直，则实数m的取值范围是（）A6,）C2，62 B(，2 D5,62

22、解析:选 Cf(x）x4x2（x2） 6，因为x00，3，所以f（x0）2，6，又因为切线与直线xmy100 垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是2，66已知a为函数f(x）x12x的极小值点,则a（）A4C4 B2 D223解析：选 D由题意得f（x）3x12，令f（x)0 得x2，当x2 或x2 时，f（x)0；当2x2 时，f（x）0，f(x)在(,2）上为增函数，在(2，2）上为减函数，在(2，）上为增函数f（x)在x2 处取得极小值，a2。7已知函数f（x)(2x1)e ，f（x)为f（x)的导函 数，则f(0）的值 为_解析：因为f(x)(2x1）e ，所以f（x）2e (

23、2x1）e （2x3)e ,所以f(0)3e 3。答案：38若函数yxax4 在（0，2)内单调递减，则实数a的取值范围是_解析：y3x2ax，由题意知 3x2ax0 在区间（0,2）内恒成立，即a错误错误! !x在区间(0，2)上恒成立,a3.答案：3，）9已知函数f(x)xax4 在x2 处取得极值,若m，n1，1，则f(m)3222320 xxxxxf(n）的最小值是_解析：f(x）3x2ax，根据已知f（2)0，得a3，即f（x)x3x4。根据函数f(x)的极值点,可得函数f（m)在1，1上的最小值为f(0）4，f（n）3n6n在1，1上单调递增，所以f(n)的最小值为f(1）9. f

24、(m)f（n）minf（m)minf（n)min4913.答案：1310请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为 60 cm2232的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm ）最大，试问x应取何值？（2)某厂商要求包装盒的容积V（cm ）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得a错误错误! !

25、x，h错误错误! !错误错误! !(30 x），00；当x(20,30)时，V0.所以当x20 时，V取得极大值,也是最大值此时错误错误! !错误错误! !，即包装盒的高与底面边长的比值为错误错误! !。11已知函数f（x）错误错误! !xalnx（aR）(1）若函数f(x)的图象在x2 处的切线方程为yxb,求a，b的值；（2)若函数f(x)在(1，）为增函数,求a的取值范围解:（1)因为f（x)x错误错误! !(x0），又f(x)在x2 处的切线方程为yxb，所以错误错误! !解得错误错误! !(2）若函数f（x)在（1,)上恒成立则f(x）x错误错误! !0 在（1，)上恒成立,即ax在

26、（1，）上恒成立所以有a1,故a的取值范围为（，12223223212设函数f（x)lnxx1.(1)讨论f（x)的单调性；x1(2)证明当x(1，)时,1x；lnx(3）设c1，证明当x（0，1）时，1(c1)xc。解：（1）由题设，f（x）的定义域为（ 0，）,f（x）错误错误! !1,令f（x)0，解得x1.当 0 x1 时,f（x）0，f(x)单调递增；当x1 时,f（x）0，f（x)单调递减（2）证明：由(1)知，f(x)在x1 处取得最大值,最大值为f(1）0。所以当x1 时,lnxx1.故当x(1，)时,lnxx1，ln错误错误! !错误错误! !1,即 1错误错误! !x。（3

27、)证明：由题设c1,设g（x）1(c1）xc,则g（x）c1clnc。令g(x)0，解得x0错误错误! !。当xx0时，g(x）0，g(x）单调递增；当xx0时,g(x)0,g（x)单调递减xxxc1由（2)知 1c,故 0 x01.lnc又g（0)g（1)0，故当 0 x1 时，g（x）0.所以当x（0,1)时，1(c1)xc。x尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。Thi

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