(江苏专版)2019版高考数学一轮复习 第七章 不等式学案 文.pdf

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1、第七章第七章不不 等等 式式第一节不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括 2 个知识点:1。不等式的性质；2。一元二次不等式.突破点（一)不等式的性质基础联通1比较两个实数大小的方法(1）作差法错误错误! !(2）作商法错误错误! !2不等式的基本性质性质对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性可开方性3.不等式的一些常用性质(1）倒数的性质ab，ab0错误错误! !错误错误! !。a0b错误错误! !错误错误! !.ab0，0cd错误错误! !错误错误! !。0axb或axb0错误错误! !错误错误! !错误错误! !。抓主干知识的“源”与“流”性质内容特别提醒注意c的符号

2、abbaab，bcacabacbc错误错误! !acbc错误错误! !acbc错误错误! !acbd错误错误! !acbd0ab0anbn(nN，n1）a，b同为正ab0n，an，b(nN，n2)数(2)有关分数的性质若ab0，m0，则：错误错误! !错误错误! !；错误错误! !错误错误! !（bm0）错误错误! !错误错误! !；a错误错误! !（bm0）.b考点贯通抓高考命题的“形”与“神”比较两个数（式)的大小例 1(1)已知a1，a2（0，1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_(2）若a错误错误! !，b错误错误! !，则a_b(填“”或“”）解析（1)MNa1a2

3、（a1a21)a1a2a1a21(a11）（a21)，又a1(0,1)，a2（0,1），a110，a210.(a11)（a21)0,即MN0。MN.（2)易知a,b都是正数, 错误错误! !log891,所以ba.答案(1)MN(2)方法技巧比较两个数(式)大小的两种方法ba不等式的性质2例 2(1）(2018泰州期初测试）已知函数f(x)axbx，且 1f（1)2，2f(1)4,则f(2)的取值范围是_(2)下列命题：若ab,cd，则acbd；若acbc，则ab；若错误错误! !错误错误! !，则ab;若ab，cd，则acbd.其中正确命题的序号是_（3）(2018兴化八校联考)“x13 且

4、x23”是“x1x26 且x1x29”的_条件解析（1）由题意知f(1）ab，f(1)ab，f（2）4a2b.设m（ab）n（ab)4a2b，则错误错误! !解得错误错误! !f(2)（ab）3（ab）f(1）3f（1)1f(1）2,2f（1）4，5f（2）10，即f(2）的取值范围为5,10（2)取a2，b1，c1，d2，可知错误；当c0 时，acbcab，错误；错误错误! !错误错误! !，c0，又c0,ab，正确;取ac2，bd1,可知错误（3)x13,x23x1x26,x1x29;反之不成立，例如x1错误错误! !，x220，x1x2错误错误! !6，x1x2109,但x13.故“x1

5、3 且x23”是“x1x26 且x1x29”的充分不必要条件答案（1)5,10（2)（3）充分不必要方法技巧不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充分、必要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法2能力练通抓应用体验的“得”与“失”1。错误错误! !设a，b 0，），A错误错误! !错误错误! !,B错误错误! !,则A,B的大小关系是_解析:由题意得，BA2

6、错误错误! !0，且A0，B0，可得AB。答案：AB2。错误错误! !若m0，n0 且mn0，则下列不等式中成立的序号是_nmnm;nmmn;mnmn；mnnm.解析：法一：（特殊值法）令m3，n2 分别代入各不等式中检验即可法二:mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立答案：3。错误错误! !若a0ba，cd0，则下列结论:adbc；错误错误! !错误错误! !0;acbd；a（dc）b(dc)中，成立的个数是_解析：a0b，cd0,ad0,bc0，adbc，故不成立a0b22a，ab0，cd0，cd0，a（c）(b)(d)，acbd0,错误错误! !错误错误! !错误错误! !0，故成

7、立cd，cd，ab，a(c)b（d)，acbd，故成立ab，dc0，a(dc）b（dc),故成立成立的个数为 3。答案：34。错误错误! !设a，b是实数，则“ab1是“a错误错误! !b错误错误! !的_条件1解析：因为a 错误错误! !错误错误! !，若ab1，显然a错误错误! !错误错误! !错误错误! !0，则充分性a成立；当a错误错误! !,b错误错误! !时，显然不等式a错误错误! !b错误错误! !成立,但ab1 不成立,所以必要性不成立答案：充分不必要突破点(二)一元二次不等式）基础联通抓主干知识的“源”与“流”1三个“二次之间的关系判别式b4ac二次函数yax22000bxc

8、（a0）的图象一元二次方程ax2bxc0(a0）的根一元二次不等式有两个相异实根有两个相等实根x1，x2(x1x2)x1x2错误错误! !没有实数根axbxc0(a0)的解集一元二次不等式2x|xx1或xx2错误错误! !Raxbxc0(a2x|x1xx20)的解集22.不等式axbxc0（0)恒成立的条件(1）不等式axbxc0 对任意实数x恒成立错误错误! !或错误错误! !（2)不等式axbxc0 对任意实数x恒成立错误错误! !或错误错误! !考点贯通22抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步骤 例 1解下列不等式：(1）3x2x80；(2）0 xx2

9、4；(3)ax(a1）x10（a0)解（1)原不等式可化为 3x2x80,即(3x4）（x2）0。解得2x错误错误! !，所以原不等式的解集为错误错误! !。(2)原不等式等价于错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !借助于数轴,如图所示,2222原不等式的解集为错误错误! !.（3)原不等式变为（ax1)(x1）0，因为a0，所以a错误错误! !（x1）0。所以当a1，即错误错误! !1 时，解为错误错误! !x1；当a1 时，解集为 ；当 0a1，即错误错误! !1 时,解为 1x错误错误! !。综上,当 0a1 时，不等式的解集为错误错误! !；当a1 时，不等式的解集为

10、 ；当a1 时，不等式的解集为错误错误! !.方法技巧解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1）二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0,还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式（2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与 0 的关系(3）确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系 ,从而确定解集形式由一元二次不等式恒成立求参数范围对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或

11、用分离参数求最值考法(一）在实数集 R 上恒成立例 2已知不等式mx2xm10，是否存在实数m使得对所有的实数x,不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解不等式mx2xm10 恒成立,即函数f（x)mx2xm1 的图象全部在x轴下方当m0 时，12x0，则x错误错误! !，不满足题意;当m0 时，函数f(x）mx2xm1 为二次函数，需满足开口向下且方程mx2xm10 无解,即错误错误! !不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立22222考法(二）在某区间上恒成立例 3设函数f(x)mxmx1（m0)，若对于x1,3，f(x)m5 恒成立，

12、求m的取值范围解要使f(x）m5 在1,3上恒成立，则mxmxm60，即m错误错误! !错误错误! !m60 在x1，3上恒成立222法一：令g（x)m错误错误! !错误错误! !m6，x1，3当m0 时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg（3）7m60.所以m错误错误! !，则 0m错误错误! !.当m0 时，g(x）在1，3上是减函数，所以g(x）maxg（1)m60。所以m6，则m0。综上所述,m的取值范围是错误错误! !。法二：因为xx1错误错误! !错误错误! !0,又因为m(xx1)60，所以m错误错误! !。因为函数y错误错误! !错误错误! !在1,3上的最小值为

13、错误错误! !,所以只需m错误错误! !即可因为m0，所以m的取值范围是mm0 或 0m错误错误! !.考法(三）在参数的某区间上恒成立时求变量范围例 4对任意m1,1,函数f（x)x（m4）x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f（x）x（m4)x42m（x2）mx4x4，令g(m）（x2)mx4x4,则原问题转化为关于m的一次函数问题由题意知在1，1上，g（m）的值恒大于零，错误错误! !解得x1 或x3.故当x的取值范围是(，1）(3,)时，对任意的m1，1,函数f(x)的值恒大于零易错提醒22222222解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元 ,谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元

14、,求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数 ,根据原变量的取值范围列式求解能力练通抓应用体验的“得”与“失21。错误错误! !（2018常州月考)已知函数f(x)错误错误! !则不等式f(x)f（32x）的解集是_解析：当x错误错误! !时，原不等式化为x32x,解得x3 或 1x错误错误! !；当x错误错误! !时，原不等式化为x(32x） ，解得错误错误! !x3. 综上，x3 或 1x3。答案：（,3）（1,3)2.错误错误! !已知不等式x2x30 的解集为A，不等式xx60 的解集为B,不等式xaxb0 的解集为AB，则ab等于_解析：由题意得，Ax|1x

15、3，Bx3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1,b2，则ab3。答案：33。考点二考法一（2018无锡期初测试）定义在 R 上的运算：xyx（1222222y)，若不等式（xy)（xy)1 对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_解析：（xy）*（xy)(xy)（1xy)xxyy1. yyxx1,要使该不等式对一切实数x恒成立，则需有yy(xx1)min错误错误! !，解得错误错误! !y错误错误! !。答案：错误错误! !4。错误错误! !若不等式x（a1）xa0 的解集是4，3的子集，则a的取值范围是_解析：原不等式为（xa)(x1)0，当a1 时，不等式的解集为a,1,此时

16、只要2222222a4 即可，即4a1；当a1 时，不等式的解为x1，此时符合要求;当a1 时，不等式的解集为1,a，此时只要a3 即可，即 1a3.综上可得4a3。答案：4,35。错误错误! !要使不等式x（a6）x93a0，当a|1 时恒成立，则x的取值范围为_解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax6x90.令f（a)（x3）ax6x9。因为f（a）0 在a1 时恒成立，所以若x3，则f(a222)0,不符合题意，应舍去若x3，则由一次函数的单调性，可得错误错误! !即错误错误! !解得x2 或x4.答案：（，2）(4，)课时达标检测重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过

17、高考练基础小题强化运算能力1若ab0,则下列不等式成立的序号有_错误错误! !错误错误! !;|a|b；ab2错误错误! !；错误错误! !错误错误! !。解析:ab0，错误错误! !错误错误! !，且a|b|,ab2错误错误! !,又f(x)错误错误! !是减函数，错误错误! !错误错误! !.答案：2(2018启东中学月考）若不等式 2kxkx错误错误! !0 对一切实数x都成立，则k的取值范围为_解析：当k0 时，显然成立；当k0 时，即一元二次不等式 2kxkx错误错误! !0 对一切实数x都成立，则错误错误! !解得3k0。综上,满足不等式 2kxkx错误错误! !0 对一切实数x都

18、成立的k的取值范围是(3，0答案：(3,03不等式组错误错误! !的解集是_解析：x4x30，1x3。又2x7x60，（x2)(2x3)0，x错误错误! !或x2,原不等式组的解集为错误错误! !（2,3)22222abxab答案：错误错误! !(2，3)124已知关于x的不等式ax2xc0 的解集为 ，错误错误! !，则不等式cx2xa032的解集为_解析：依题意知，错误错误! !解得a12，c2，不等式cx2xa0,即为2x2x120，即xx60，解得2x3。所以不等式的解集为（2，3）答案：(2，3）练常考题点检验高考能力222一、填空题11设集合Ax|xx60，集合B为函数y的定义域，

19、则ABx12_。解析:Axxx60 x3x2，由x10 得x1，即Bxx1,所以ABx1x2答案：x|1x22已知a,b，cR，则下列命题正确的序号是_acbcab；错误错误! !错误错误! !ab；222错误错误! !错误错误! !错误错误! !;错误错误! !错误错误! !错误错误! !.解析:当acbc时,c0，所以ab,故正确；当c0 时，错误错误! !错误错误! !ab，故错误；因为错误错误! !错误错误! !错误错误! !0错误错误! !或错误错误! !故错误，正确答案：3已知a0，且a1,maa1,na2222a1，则m,n的大小关系是_2解析：由题易知m0，n0，两式作商,得错

20、误错误! !a（a1）（a1）a1 时,a（a1)0，所以a0a（a1），当aa（a1)a(a1)a1,即mn;当 0a1 时，a（a1）0，所以a0a1，即mn.综上，对任意的a0，a1,都有mn.答案：mn4若不等式组错误错误! !的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析:不等式x2x30 的解集为1，3，假设错误错误! !的解集为空集，则不等式x4x(a1）0 的解集为集合xx1 或x3的子集，因为函数f（x）x4x(a1)的图象的对称轴方程为x2，所以必有f(1)4a0，即a4，则使错误错误! !的解集不为空集的a的取值范围是a4.答案：4，）5若不等式xax20 在区间1,5上有解

21、，则a的取值范围是_解析：由a80，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f（5）0,解得a错误错误! !，故a的取值范围为错误错误! !。22222答案：错误错误! !6（2018无锡中学模拟)在 R 上定义运算：错误错误! !adbc，若不等式错误错误! !1 对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_解析:由定义知，不等式错误错误! !1 等价于xx(aa2）1，xx1aa对任意实数x恒成立xx1错误错误! !错误错误! !错误错误! !,aa错误错误! !，解得错误错误! !a33，则实数a的最大值为 .22答案：错误

22、错误! !7(2018姜堰中学月考）若关于x的不等式（2x1) kx的解集中整数恰好有 2 个,则实数k的取值范围是_解析：因为原不等式等价于（k4)x4x10，从而方程(k4)x4x10 的判别式4k0，且有 4k0，故 0k4.又原不等式的解集为错误错误! !x错误错误! !，且错误错误! !错误错误! !错误错误! !，则 1，2 一定为所求的整数解，所以 2错误错误! !3，得k的取值范围为错误错误! !。答案:错误错误! !8若 0a1，则不等式(ax)错误错误! !0 的解集是_解析：原不等式为(xa）错误错误! !0，由 0a1 得a错误错误! !,ax错误错误! !。答案：错误

23、错误! !9已知函数f（x）错误错误! !为奇函数,则不等式f(x)4 的解集为_解析：若x0，则x0，则f(x)bx3x.因为f（x)为奇函数，所以f(x）222222222222f（x)，即bx23xx2ax，可得a3,b1，所以f（x)错误错误! !当x0 时,由x23x4 解得 0 x4；当x0 时，由x3x4 解得x0，所以不等式f(x）4 的解集为（,4)答案:(,4)10(2018盐城中学月考)已知函数f(x）是定义在 R 上的奇函数,且当x0 时，f(x）x3x，则不等式f(x1）x4 的解集是_解析：由题意得f(x）错误错误! !22f(x1)错误错误! !即f（x1)错误错

24、误! !所以不等式f（x1）x4 可化为错误错误! !或错误错误! !解得x4。答案：(4，)二、解答题11已知f（x)3xa（6a）x6。(1)解关于a的不等式f（1)0；（2）若不等式f(x)b的解集为（1,3），求实数a，b的值解：（1)f(x）3xa（6a)x6，f（1）3a(6a)6a6a30，即a6a30,解得 32 3a32错误错误! !。不等式的解集为a|32 3a32错误错误! !(2）f(x)b的解集为（1，3）,方程3xa（6a）x6b0 的两根为1，3，错误错误! !解得错误错误! !故a的值为 3错误错误! !或 3错误错误! !，b的值为3.12已知函数f（x)x2

25、ax1a，aR.222222fx(1)若a2，试求函数y(x0)的最小值;x（2）对于任意的x0，2，不等式f（x）a成立，试求a的取值范围解：（1）依题意得y错误错误! !错误错误! !x错误错误! !4。因为x0，所以x错误错误! !2.当且仅当x错误错误! !时，即x1 时，等号成立所以y2。所以当x1 时，y错误错误! !的最小值为2。（2)因为f(x)ax2ax1,所以要使得“对任意的x0,2，不等式f（x)a成立只要“x2ax10 在0,2恒成立”不妨设g(x）x2ax1,则只要g（x）0 在0,2上恒成立即可所以222g00g20，即错误错误! !解得a错误错误! !。则a的取值

26、范围为错误错误! !.第二节二元一次不等式(组） 与简单的线性规划问题本节主要包括 3 个知识点：1。二元一次不等式组表示的平面区域；2.简单的线性规划问题;3.线性规划的实际应用。突破点(一)二元一次不等式(组）表示的平面区域基础联通抓主干知识的“源与“流”1二元一次不等式(组）表示的平面区域不等式表示区域直线AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线包括边界直线AxByC0AxByC0不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2。确定二元一次不等式(组）表示的平面区域的方法步骤以上简称为“直线定界,特殊点定域”。考点贯通抓高考命题的“形与“神”求平面区域的面积1.求平面区域的

27、面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积2求平面区域的面积问题,平面区域形状为三角形的居多，尤其当ABC为等腰直角三角形(A为直角）时，点B到直线AC的距离即ABC的腰长|AB|。由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出例 1不等式组错误错误! !表示的平面区域的面积为_解析不等式组错误错误! !表示的平面区域如图所示 (阴影部分)，ABC的面积即所求求出点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B(2，2)，C(3，0）,则ABC的面积为S错误错误! !(21)21。答案1方法技巧解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；（2)判断平面区域的形

28、状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长（三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解提醒求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线,此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状 ,进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势 ,确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数

29、的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解例 2若不等式组错误错误! !表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_解析不等式组错误错误! !表示的平面区域如图所示 (阴错误错误! !得影 部 分 ) 由示 的 平 面区 域或a错误错误! !.A错误错误! !,错误错误! !；由错误错误! !得B（1，0)若原不等式组表是一个三角形，则直线xya中a的取值范围是 0a1答案(0，1错误错误! !易错提醒此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑能力练通抓应用体验

30、的“得”与“失”1.错误错误! !设动点P(x，y）在区域：错误错误! !上，过点P任作直线l，设直线l与区域的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为_解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分形可知，AB长度的最大值为 4，则以AB为直径的圆的面错误错误! !4。答案:42。错误错误! !若不等式组错误错误! !表示的平面区域为三角形，且其面积等于错误错误! !，则m的值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，2所示，则根据图积为最大值S易求A，B，C，D的坐标分别为A（2，0)，B（1m，1m),C错误错误! !，错误错误! !，D(2m,0）SABCSADBSADC

31、错误错误! !|AD|yByC|错误错误! !(22m）错误错误! !(1m)错误错误! !错误错误! !，解得m1 或m3(舍去)答案：13.错误错误! !不等式组错误错误! !表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC错误错误! !2(22)4.答案：44.错误错误! !若满足条件错误错误! !的整点(x，y）恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数a的值为_解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a0 时，只有 4 个整点(1,1）,(0，0)，(1，0)，（2,0）;当a1 时,增加了（1，1),（0，1）,(1，1

32、)，（2，1),（3，1）共 5 个整点，此时,整点的个数共 9 个，故整数a1.答案:1突破点（二)简单的线性规划问题基础联通1线性规划中的基本概念名称约束条件意义由变量x,y组成的不等式（组）抓主干知识的“源”与“流”线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数线性目标函数可行解可行域最优解线性规划问题关于x，y的函数解析式，如z2x3y等关于x,y的一次函数解析式满足线性约束条件的解（x，y）所有可行解组成的集合使目标函数取得最大值或最小值的可行解在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2。简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下

33、，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答即考点贯通抓高考命题的“形”与“神线性目标函数的最值例 1（1）（2017山东高考)已知x,y满足约束条件错误错误! !则zx2y的最大值是_（2）(2017全国卷）设x，y满足约束条件错误错误! !则z2xy的最小值是_解析（1)作出满足约束条件的可行域如图中阴将直线y错误错误! !错误错误! !进行平移,显然当该直线过点A值，由错误错误! !解得错误错误! !即A（3,4),所以zmax38（2)法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部影部分所示，时z取得最大5。分所示易求得可行域的顶点A（0，1)，B(6，3），C（6，3），当直线z2xy

34、过点B（6,3)时，z取得最小值，zmin2（6）315.法二：易求可行域顶点A(0，1），B（6，3），C(6,3），分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为 1,15,9，故最小值为15。答案(1）5(2）15方法技巧求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形 ,我们可以直接解出可行域的顶点 ,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值非线性目标函数的最值例 2（1)(2018无锡期初测试）已知变量x,y满足条件错误错误!

35、!则错误错误! !的取值范围是_(2）若变量x，y满足错误错误! !则xy的最大值是_解析（1）画出可行域如图所示，错误错误! !等价于点（2,0）连线的斜率，又kAB2,kBO0，从而错误错误! !22（x，y) 到 点2,0(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所平面区域内点到原点距离的平方，由错误错误! !得A(3,1),由图|OA 3 (1） 10。答案（1）2,0(2)10方法技巧非线性目标函数最值问题的常见类型及求法222示xy表示易得(xy)max2222(1）距离平方型：目标函数为z（xa) （yb) 时，可转化为可行域内的点（x，22y)与点（a，b）之间的距离的平

36、方求解(2）斜率型：对形如z错误错误! !(ac0）型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z错误错误! !错误错误! !的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）与点错误错误! !连线的斜率的错误错误! !倍的取值范围、最值等（3）点到直线距离型：对形如zAxByC型的目标函数 ,可先变形为z错误错误! !错误错误! !的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）到直线错误错误! !倍的最值.AxByC0 的距离的线性规划中的参数问题 例3已 知x，y满 足 约 束 条 件错误错误! !若zaxy的最大值为 4,则a_。解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分y的最大值为 4,

37、则最优解为x1,y1 或x2，y2，y0 符合题意，2a04，此时a2。答案2方法技巧求解线性规划中含参问题的两种基本方法（1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件 ,确定最优解的位置，从而求出参数能力练通抓应用体验的“得”与“失”所示，若zax0，经检验知x1。考点一(2017全国卷 )设x，y满足约束条件错误错误! !则z3x2y的最小值为_解析：画出不等式组错误错误! !所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y错误错误! !x

38、错误错误! !过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由错误错误! !解得错误错误! !zmin5.答案：52。错误错误! !已知(x,y）满足错误错误! !则k错误错误! !的最大值为_解析：如图,不等式组错误错误! !表示的平面区域为AOB的边界及其内部区域，k错误错误! !错误错误! !表示平面区域内的点 (x，y)和点(1，0）连线的斜率由图知，平面区域内的点（ 0，1）和点(1,0）连线的斜率最大,所以kmax错误错误! !1.答案：13。错误错误! !（2018银川模拟）设zxy，其中实数x，y满足错误错误! !若z的最大值为 6,则z的最小值为_解析：作出实数x,y满足的平面区

39、域,如图中阴影部分所示,由图知，当目标函数zxy经过点C(k，k）时，取得最大值，且zmaxkk6，得k3.当目标函数zxy经过点B(6，3)时，取得最小值,且zmin633.答案：34。错误错误! !（2018苏州月考）设x，y满足条件错误错误! !若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为 2，则错误错误! !错误错误! !的最小值为_解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线axbyz(a0，b0）过直线xy20 与直线 3xy60 的交点（4，6）时,目标函数zaxby（a0，b0）取得最大值 2，即 2a3b1，而错误错误! !错误错误! !(2a3b）136错误错误! !

40、25。答案：255。错误错误! !设x，y满足约束条件错误错误! !则z(x1) y的最大值为_22解析：作出不等式组错误错误! !表示的平面区域，如图中阴影部分所示(x1） y可看作点（x,y）到点P（1，0）的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(1，0)的距离最大解方程组错误错误! !得A点的坐标为(3，8），代入z(x1） y，得zmax(31) 8 80.答案：80突破点(三）线性规划的实际应用基础联通222222抓主干知识的“源”与“流”解线性规划应用题的一般步骤考点贯通抓高考命题的“形”与“神线性规划的实际应用典例某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产

41、品A需要甲材料 1。5 kg,乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品B需要甲材料 0.5 kg,乙材料0。3 kg，用 3 个工时生产一件产品A的利润为 2 100 元，生产一件产品B的利润为 900元该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为错误错误! !即错误错误! !目标函数为z2 100 x900y,由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分作直线 2 100 x900y0，即 7x3y0 并上下平移,易知当直线经过点M时，z取得最

42、大值，联立错误错误! !解得B(60，100)则zmax2 10060900100216 000（元)答案216 000方法技巧求解线性规划应用题的三个注意点（1）明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x,y是否为整数、是否为非负数等(3）正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式能力练通抓应用体验的“得”与“失”1某校今年计划招聘女教师a名,男教师b名，若a，b满足不等式组错误错误! !设这所学校今年计划招聘教师最多x名,则x_。解析：如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作

43、直线ba0,并平移，结合a,bN，可知当a6,b7 时，ab取最大值,故x6713。答案:132A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A产品需要在甲机器上加工 3 小时，在乙机器上加工 1 小时;B产品需要在甲机器上加工 1 小时，在乙机器上加工 3 小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用 11 小时,乙机器至多只能使用 9 小时A产品每件利润 300 元，B产品每件利润 400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件错误错误! !生产利润为z300 x400y。画出可行域，如图中阴影部分(包

44、含边界）内的整点，显然z300 x400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，由方程组错误错误! !解得错误错误! !则zmax300340021 700。故最大利润是 1 700 元答案：1 7003某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为_万元。甲31乙原料限额22128A（吨)B（吨）解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有错误错误! !z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示,由图形可知，当直线z3x4y

45、经过点A(2,3)时，z取最大值,最大值为 324318。答案:184制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100和50，可能的最大亏损率分别为 30和 10，投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1。8 万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x万元，y万元，由题意知错误错误! !目标函数zx0。5y,作出可行域如图所示，作直线l0：x0。5y0，并作平行于直线l0的一组直线x0。5yz，zR，与可行域

46、相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x0.5y0 的距离最大,这里M点是直线xy10 和 0。3x0。1y1。8 的交点,解方程组错误错误! !解得x4，y6，此时z140。567（万元) 70，当x4，y6 时z取得最大值投资人用 4 万元投资甲项目，6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1。8 万元的前提下，使可能的盈利最大课时达标检测重点保分课时一练小题夯双基,二练题点过高考练基础小题强化运算能力1不等式组错误错误! !所表示的平面区域的面积等于_解析：平面区域如图中阴影部分所示解错误错误! !得A(1，1)，易得B（0，4)，C错误错误! !，BC|4错误错误! !错误

47、错误! !.SABC错误错误! !错误错误! !1错误错误! !.答案：错误错误! !2若x，y满足错误错误! !则zx2y的最大值为_解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示作直线x2y0 并上下平移,易知当直线过点A（0,1）时，zx2y取最大值，即zmax0212.答案：23若x,y满足约束条件错误错误! !则（x2) （y3) 的最小值为_解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P(2，3)到直线xy20 的距离为错误错误! !错误错误! !，所以(x2) （y3)错误错误! !错误错误! !.22222的 最 小 值 为答案：错误错误! !4设变量x，y满足约束条

48、件错误错误! !则目标函数z值为_解析:根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，z3xy，y3xz,当该直线经过点A（2,2)时，z取得最大值，即zmax322答案：45（2018常州月考）已知实数x，y满足条件x3xy的最大4。错误错误! !则y错误错误! !的最大值为_解析：令zy错误错误! !，作出不等式组对应的区域，作出x指数函数y错误错误! !，平移函数y错误错误! !的图象，可知当函数y错误错误! !过点A时z取最大值由错误错误! !得A（1，1)，所以xy1取最大值错误错误! !。答案：错误错误! !练常考题点检验高考能力一、填空题xxxz的图象经时,y错误错误! !x1(20

49、18东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组错误错误! !（a为常数)所表示的平面区域的面积等于 2，则a_。解析：不等式组错误错误! !所围成的区域如图所示则A(1,0)，B(0，1)，C(1,1a）,且a1，SABC2，错误错误! !（1a）12，解得a3。答案：32(2018江苏八市高三质检)已知x,y满足约束条件错误错误! !目标函数z6x2y的最小值是 10，则z的最大值是_解析：由z6x2y，得y3x错误错误! !,作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y3x错误错误! !经过点C时，直线的纵截距最小，即z6x2y取得最小值 10，由错误错误! !

50、解得错误错误! !即C(2，1），将其代入直线方程2xyc0，得c5,即直线方程为2xy50，平移直线 3xy0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大,此时z取最大值,由错误错误! !得错误错误! !即D(3，1)，将点D的坐标代入目标函数z6x2y，得zmax63220。答案:203(2017浙江高考)若x，y满足约束条件错误错误! !则zx2y的取值范围是_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由zx2y,得y错误错误! !x错误错误! !，错误错误! !是直线y错误错误! !x错误错误! !在y轴上的截当直线y错误错误! !x错误错误! !过A点时，错误错误! !取得最小距