专题05 几何形应用题(解析版).pdf

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1、决战决战 20202020 年中考典型压轴题大突破年中考典型压轴题大突破模块一模块一 中考压轴题应用题专题中考压轴题应用题专题考向导航考向导航新的课程标准指出:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。”为了和新的教育理念接轨，各地中考命题都加大了考查应用题的力度.近几年的数学应用题主要有以下特色:涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题枝巧，涉及的背景材料十分广泛.涉及到社会生产生活的方方面面:再就是题目文字冗长.常令学生抓不住要领，不知如何解题。解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题.将其转化为数学模型。专题专题 0505几何型应用题几何型应用题方法点拨方

2、法点拨几何应用题常常以现实生活情最为背景,考查学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想像、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法。精典例题精典例题1（2020崇明区一模）如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm的连杆 BC、CD 与 AB 始终在同一平面上（1）转动连杆 BC，CD，使BCD 成平角，ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离桌面 l 的高度 DE（2）将（1）中的连杆CD 再绕点 C 逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当BC

3、D150时台灯光线最佳求此时连杆端点D 离桌面 l 的高度比原来降低了多少厘米？【点睛】（1）如图 2 中，作 BODE 于 O解直角三角形求出 OD 即可解决问题（2）过 C 作 CGBH，CKDE，由题意得，BCCD20m，CGKH，解直角三角形即可得到结论【详解】解：（1）如图 2 中，作 BODE 于 O1 1 / 2727OEABOEBAE90，四边形 ABOE 是矩形，OBA90，DBO1509060，ODBDsin60203（cm），DEOD+OEOD+AB（203 +5）cm；（2）过 C 作 CGBH，CKDE，由题意得，BCCD20m，CGKH，在 RtCGB 中，sinC

4、BH=CG103cm，KH103cm，BCG906030，DCK150903030，在 RtDCK 中，sinDCK=20=2，DK10cm，（203 +5）（15+103）103 10，答：比原来降低了（103 10）厘米13=，202巩固突破巩固突破1（2009新华区校级一模）气象台发布的卫星云图显示，某台风在海岛A 北偏西 60方向上的点 B 处生成，某城市（设为点 C）在海岛 A 北偏东 45方向上，以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系，点 A位于 y 轴上，台风生成处 B 和城市所在处 C 都在 x 轴上，其中点 A 的坐标为（0，100）2 2 / 2727（1）请在图中表示北偏

5、东45方向的射线 AC，并标出点 C 的位置；（2）点 B 的坐标为（1003，0），点 C 的坐标为（100，0）；（结果保留根号）（3）若此台风中心从点 B 以 30km/h 的速度向正东方向移动，已知距台风中心 30km 的范围内均会受到台风的侵袭，那么台风从生成到最初侵袭C 城要经过多长时间？（本问中3取 1.7）【点睛】（1）先在图中表示北偏东45方向的射线 AC，与 x 轴的交点即为点 C 的位置；（2）在 RtAOB 中根据三角函数的知识可得点B 的坐标，根据等腰直角三角形的性质可求出点C 的坐标；（3） 先求出 BC 的长， 根据速度求台风从生成到最初侵袭C 城要经过的路程，

6、再根据时间路程速度，列式计算即可【详解】解：（1）如图所示：射线AC，与 x 轴的交点即为点 C 的位置（2）OBOAtan601003，OCOA100，点 B 的坐标为 （1003，0），点 C 的坐标为 （100，0）；（3）BCOB+OC1003 +100270km，（27030）308 小时台风从生成到最初侵袭C 城要经过 8 小时2（2019苏州一模）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过 A、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 C，经测量景点 C 位于景点 A 的北偏东 30方向 8km 处，位于景点 B 的正北方向，已知 AB5km（1）求景点 B 与景点为 C

7、的距离；（结果保留根号）3 3 / 2727（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点 C 向公路 a 修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长（结果精确到0.1km参考数据：3 =1.73，5 =2.24）【点睛】（1）过点 A 作 ADCB，交 CB 的延长线于点 D，先解 RtADC，得出 CD43，再解 RtABD，得出 BD3，则 BCCDBD；（2）过点 C 作 CEAB 于点 E在 RtCBE 中，由正弦函数的定义即可求解【详解】解：（1）如图，过点 A 作 ADCB，交 CB 的延长线于点 D在 RtADC 中，ADC90，ACD30，AD= AC=121

8、84，2CD= 2 2=43在 RtABD 中，BD= 2 2= 52 42=3，BCCDBD43 3，答：景点 B 与景点为 C 的距离为（43 3）km；（2）过点 C 作 CEAB 于点 EsinABD=5在 RtCBE 中，sinCBE=ABDCBE，sinCBE= ，CECBsinCBE（43 3）答：这条公路长约为 3.1km416312=3.1（km）5545，44 4 / 27273（2019锡山区期末）如图1 是超市的手推车，如图2 是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线 AB 与地面平行，测得支架 ACBC60cm，AC、CD 所在直线与地面的夹角

9、分别为30、60，CD50cm（1）求扶手前端 D 到地面的距离；（2） 手推车内装有简易宝宝椅， EF 为小坐板， 打开后， 椅子的支点 H 到点 C 的距离为 10cm， DF20cm，EFAB，EHD45，求坐板 EF 的宽度（本题答案均保留根号）【点睛】（1）如图 2，过 C 作 CMAB，垂足为 M，又过 D 作 DNAB，垂足为 N，过 C 作 CGDN，构造 RtAMC 和 RtCGD 中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；（2）由平行线的性质知EFHDCG60；根据题意得到CD50cm，DF20cm，FH20cm，如图 2，过 E 作 EQFH，垂足为 Q，设 FQx，

10、通过解 RtEQF 和 RtEQH，根据等量关系 HQ+FQFH20cm 列出方程3 +x20，通过解方程求得答案【详解】（1）如图 2，过 C 作 CMAB，垂足为 M，又过 D 作 DNAB，垂足为 N，过 C 作 CGDN，垂足为 G，则DCG60ACBC60cm，AC、CD 所在直线与地面的夹角分别为30、60，AB30，则在 RtAMC 中，CM=2 =30cm5 5 / 27271在 RtCGD 中，sinDCG=，CD50cm，3DGCDsinDCG50sin60= 50 2= 253又 GNCM30cm，前后车轮半径均为 5 cm，扶手前端 D 到地面的距离为 DG+GN+5=

11、 253 +30+535+253（cm）；（2）EFCGAB，EFHDCG60，CD50cm，椅子的支点 H 到点 C 的距离为 10 cm，DF20cm，FH20cm，如图 2，过 E 作 EQFH，垂足为 Q，设 FQx，在 RtEQF 中，EFH60，EF2FQ2x，EQ= 3，在 RtEQH 中，EHD45，HQEQ= 3，HQ+FQFH20cm，3 +x20，解得 x= 103 10EF2（103 10）= 203 20答：坐板 EF 的宽度为（203 20）cm4（2019南昌模拟）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN 是装订机的底座，AB 是装订机的托板， 始终与底座平行

12、， 连接杆 DE 的 D 点固定， 点 E 从 A 向 B 处滑动， 压柄 BC 可绕着转轴 B 旋转 已知压柄 BC 的长度为 15cm，BD5cm，压柄与托板的长度相等（1）当托板与压柄夹角ABC37时，如图点 E 从 A 点滑动了 2cm，求连接杆 DE 的长度；6 6 / 2727（2）当压柄 BC 从（1）中的位置旋转到与底座 AB 的夹角ABC127，如图求这个过程中点 E滑动的距离（答案保留根号）（参考数据：sin370.6，cos370.8tan370.75）【点睛】（1）作DHBE 于 H，在RtBDH 中用三角函数算出 DH 和 BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理

13、即可求得DE；（2）作 DHAB 的延长线于点 H，在 RtDBH 和 RtDEH 中，用三角函数分别求出BH，DH，EB 的长，从而可求得 点 E 滑动的距离【详解】解：（1）如图，作 DHBE 于 H，在 RtBDH 中，DHB90，BD5，ABC37，5= 37，5=cos37，DH5sin3750.63（cm），BH5cos3750.84（cm）ABBC15cm，AE2cm，EHABAEBH15249（cm），DE= 2+ 2= 32+ 92=310（cm）答：连接杆 DE 的长度为310cm（2）如图，作 DHAB 的延长线于点 H，ABC127，7 7 / 2727DBH53，BD

14、H37，在 RtDBH 中，BH3cm，DH4cm，在 RtDEH 中，EH2+DH2DE2，（EB+3）2+1690，EB（74 3）（cm），点 E 滑动的距离为：15（74 3）2（1674）（cm）答：这个过程中点 E 滑动的距离为（1674）cm5（2019灌云模拟）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（ 2）中灯座为ABC（BC 伸出部分不计），A、C、D 在同一直线上量得ACB90，A60，AB16cm，ADE135，灯杆 CD 长为40cm，灯管 DE 长为 15cm（1）求 DE 与水平桌面（AB 所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点 E 到桌面的距离，结果精确到0.1c

15、m）（参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27，sin300.5，cos300.87，tan300.58）=5=sin370.6，【点睛】（1）直接作出平行线和垂线进而得出EDF 的值；（2）利用锐角三角函数关系得出DN 以及 EF 的值，进而得出答案【详解】解：（1）如图所示：过点D 作 DFAB，过点 D 作 DNAB 于点 N，EFAB 于点 M，由题意可得，四边形 DNMF 是矩形，则NDF90，A60，AND90，8 8 / 2727ADN30，EDF135903015，即 DE 与水平桌面（AB 所在直线）所成的角为15；（2）如图所示：ACB90，A6

16、0，AB16cm，ABC30，则 AC=AB8cm，灯杆 CD 长为 40cm，AD48cm，DNADcos3041.76cm，则 FM41.76cm，灯管 DE 长为 15cm，sin15=15=0.26，解得：EF3.9，故台灯的高为：3.9+41.7645.7（cm）126（2019铁西区三模）如图，一扇窗户垂直打开，即OMOP，AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点 A 处，另一端在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向内旋转 35到达 ON 位置，此时点 A，C 的对应位置分别是点B，D，测量出ODB25，点 D 到点 O 的距离为 30cm，求滑动支架 BD 的长（结

17、果精确到 1cm，参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47，sin550.82，cos550.57，tan551.43）9 9 / 2727【点睛】根据锐角三角函数可以求得BE 的长，然后根据sinBDE 的值即可求得 BD 的长，本题得以解决【详解】解：在 RtBOE 中，BOE55，tan55=，OE=55，在 RtBDE 中，BDE25，tan25=DE=，25DO30，DODE+OE=25+55=30，解得，BE10.6，在 RtBDE 中，BDE25，sin25=，BD=2525，答：滑动支架 BD 的长大约为 25cm1010 / 27277（2019青

18、岛模拟）在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中 AB 表示窗户，且AB2 米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线 CD 的最小夹角PDN18.6，最大夹角MDN64.5请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD 的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）【点睛】解直角三角求出BC0.34x 米，AC2.1x 米，得出方程，求出方程的解即可【详解】解：设 CDx 米，在 RtBCD 中，BCD90，CDBPDN18.6，

19、CBCDtan18.60.34x 米，在 RtACD 中，ACD90，CDAMDN64.5，ACCDtan64.52.1x 米，AB2 米，ABACBC，1111 / 27272.1x0.34x2，解得：x1.1，即遮阳篷中 CD 的长约为 1.1 米8（2019鼓楼区校级一模）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高 AD80cm， 宽 AB48cm， 小强身高 166cm， 下半身 FG100cm， 洗漱时下半身与地面成80 （FGK80） ，身体前倾成 125（EFG125），脚与洗漱台距离GC15cm（点 D，C，G，K 在同一直线上）（1）此时小强头部 E 点

20、与地面 DK 相距多少厘米？（2）此时小强头部E 点是否恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方？若是，请说明理由；若不是，他应向前还是向后移动多少厘米， 使头部 E 点恰好是在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方？ （sin800.98， cos800.17，2 1.41，结果精确到 1cm）【点睛】（1）过点 F 作 FNDK 于 N，过点 E 作 EMFN 于 M求出 MF、FN 的值即可解决问题；（2）求出 OH、PH 的值即可判断；【详解】解：（1）过点 F 作 FNDK 于 N，过点 E 作 EMFN 于 MEF+FG166，FG100，EF66，FGK80，FN100sin8098

21、，EFG125，EFM1801251045，FM66cos45332 46.5，MNFN+FM145，此时小强头部 E 点与地面 DK 相距约为 145cm1212 / 2727（2）过点 E 作 EPAB 于点 P，延长 OB 交 MN 于 HAB48，O 为 AB 中点，AOBO24，EM66sin4546.5，PH46.5，GN100cos8017，CG15，OH24+15+1756，OPOHPH5646.510，他应向前 10cm9（2019休宁一模）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图 2 所示，已知箱体长 AB50cm，拉杆 BC 的伸长距离最大时可达35cm，点 A、B、

22、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A，A 与水平地面切于点 D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点 B 距离水平地面 38cm 时，点 C 到水平面的距离 CE 为 59cm设 AFMN（1）求A 的半径长；（2） 当人的手自然下垂拉旅行箱时， 人感觉较为舒服， 某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时， CE 为 80cm，CAF64求此时拉杆 BC 的伸长距离（精确到 1cm，参考数据：sin640.90，cos640.39，tan642.1）1313 / 2727【点睛】 （1） 作 BHAF 于点 K， 交 MN 于点 H， 则ABKACG， 设圆形滚轮的半径AD 的长是 xcm，根据

23、相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）求得 CG 的长，然后在直角ACG 中，求得 AC 即可解决问题；【详解】解：（1）作 BHAF 于点 K，交 MN 于点 H则 BKCG，ABKACG设圆形滚轮的半径 AD 的长是 xcm则=，即3859=505035，解得：x8则圆形滚轮的半径 AD 的长是 8cm；（2）在 RtACG 中，CG80872（cm）则 sinCAF=，AC80，（cm）BCACAB805030（cm）10（2019锡山区一模）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在

24、公路旁边选取一点 C，再在笔直的车道l 上确定点 D， 使 CD 与 l 垂直， 测得 CD 的长等于 24 米， 在 l 上点 D 的同侧取点 A、 B， 使CAD30，CBD60（1）求 AB 的长（结果保留根号）；（2）已知本路段对校车限速为45 千米/小时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说明理由（参考数据：3 1.7，2 1.4）1414 / 2727【点睛】（1）分别在RtADC 与 RtBDC 中，利用正切函数，即可求得AD 与 BD 的长，继而求得AB的长；（2）由从A 到 B 用时 2 秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40 千米/小时的大小，即

25、可确定这辆校车是否超速【详解】解：（1）由题意得，在 RtADC 中，tan30=解得 AD243在RtBDC 中，tan60=，解得 BD83所以 ABADBD243 83 =163（米）（2）汽车从 A 到 B 用时 2 秒，所以速度为 163 283 13.6（米/秒），因为 13.6（米/秒）48.96 千米/小时45 千米/小时所以此校车在 AB 路段超速11（2019盘锦模拟）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（ 1），已测出树AB 的影长 AC 为 123米，并测出此时太阳光线与地面成30夹角（1）求出树高 AB；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中

26、，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变求树与地面成45角时的影长（用图（2）解答）（结果保留根号）2424=，【点睛】（1）在直角ABC 中，已知ACB30，AC123米利用三角函数即可求得AB 的长；（2）在AB1C1中，已知 AB1的长，即 AB 的长，B1AC145，B1C1A30过 B1作 AC1的垂线，在直角AB1N 中根据三角函数求得AN，BN；再在直角B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长，1515 / 2727再根据当树与地面成 60角时影长最大，根据三角函数即可求解【详解】解：（1）ABACtan30123 答：树高约为 12 米33=12（米）（2）如图（2

27、），B1NANAB1sin45122=62（米）NC1NB1tan6062 3 =66（米）AC1AN+NC162 +662当树与地面成 60角时影长最大 AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为 AB 的A 相切时影长最大）AC22AB224；12（2019衢州一模）小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C 处且与地面成 60角，小明拿起绳子末端，后退至E 处，拉直绳子，此时绳子末端 D 距离地面 1.6m 且绳子与水平方向成 45角（1）填空：ADAC（填“”，“”，“”）（2）求旗杆 AB 的高度（参考数据：2 1.41，

28、3 1.73，结果精确到 0.1m）【点睛】设绳子 AC 的长为 x 米；由三角函数得出AB，过D 作 DFAB 于 F，根据ADF 是等腰直角三角形，得出方程，解方程即可【详解】解：（1）由图形可得：ADAC；（2）设绳子 AC 的长为 x 米；在ABC 中，ABACsin60，过 D 作 DFAB 于 F，如图：1616 / 2727ADF45，ADF 是等腰直角三角形，AFDFxsin45，ABAFBF1.6，则 xsin60 xsin451.6，解得：x10，AB10sin608.7（m），答：旗杆 AB 的高度为 8.7m故答案为：13（2009滦县校级模拟）气象台发布的卫星云图显示

29、，代号为W 的台风在某海岛（设为点P）的南偏东45方向的 B 点生成，测得 PB1006km台风中心从点 B 以 40km/h 的速度向正北方向移动，经 5h后到达海面上的点 C因受气旋影响，台风中心从点 C 开始以 30km/h 的速度向北偏西 60方向继续移动某城市（设为点 A）位于海岛 P 的正北方向且处于台风中心的移动路线上（1）求台风中心大约经过多长时间移动到海岛P 的正东方向？（3 1.7，结果取整数）（2）求台风中心从生成到A 城市所经过的路线长是多少km？（3）如果距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？【点睛】（1）先根据

30、PB1006km，EBF45求出 BE 的长，再根据台风中心从点 B 到点 C 的速1717 / 2727度是 40km/h 求出台风到达 E 点所需要的时间即可；（2）过点 A 作 ADBC，则 ADPE，在 RtACD 中由 AC=求出 AC 的长，再根据台风中心从60点 B 以 40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点 C 得出 BC 的长，进而可得出结论；（3）由 （2）中所求的AC 的长减去 20km 即为台风中心从 C 点开始到刚侵袭该城市的路线长度， 再根据台风中心移动的速度即可求出时间【详解】解：（1）在 RtPBE 中，PB1006km，EBF45，PEB

31、EPBcos451006 2=1003，台风中心从点 B 到点 C 的速度是 40km/h，台风中心从点 B 到点 E 所用的时间=100353=4（小时）；404022（2）过点 A 作 ADBC，则 ADPE1003，在 RtACD 中，AC=1003=3=200km，602台风中心从点 B 以 40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点 C，BC405200km，BC+AC200+200400km，即台风中心从生成到A 城市所经过的路线长是400km；（3）距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵袭，从点 C 开始到 A 城市受到袭击的时间=2020020=30=

32、6（小时），30台风中心从点 B 到点 C 移动的时间是 5 小时，台风从生成到最初侵袭该城要经过6+511（小时）14（2019简阳市模拟）在一平直河岸l 同侧有 A，B 两个村庄，A，B 到 l 的距离分别是 3km 和 2km，AB1818 / 2727akm（a1）现计划在河岸 l 上建一抽水站 P，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1 是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1PB+BA （km） （其中 BPl 于点 P） ； 图 2 是方案二的示意图， 设该方案中管道长度为d2， 且 d2PA+PB（km）（其中点 A与点 A 关于

33、l 对称，AB 与 l 交于点 P）观察计算（1）在方案一中，d1km（用含 a 的式子表示）（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3 所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2km（用含 a 的式子表示）探索归纳（1）当 a4 时，比较大小：d1d2（填“”、“”或“”）；当 a6 时，比较大小：d1d2（填“”、“”或“”）；（2）请你参考方框中的方法指导，就 a（当 a1 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？【点睛】观察计算：（1）由题意可以得知管道长度为d1PB+BA（km），根据BPl 于点 P 得出 PB2，故可以得出 d1的

34、值为 a+2（2）由条件根据勾股定理可以求出KB 的值，由轴对称可以求出AK 的值，在 RtKBA由勾股定理可以求出 AB 的值2+ 24就是管道长度1919 / 2727探索归纳：（1）把 a4 代入 d1a+2 和 d2= 2+ 24就可以比较其大小；把 a6 代入 d1a+2 和 d2= 2+ 24就可以比较其大小；（2）分类进行讨论当 d1d2，d1d2，d1d2时就可以分别求出 a 的范围，从而确定选择方案【详解】解：（1）如图 1，作 A 关于执行 l 的对称点 A，连接 PA，A 和 A关于直线 l 对称，PAPA，d1PB+BAPB+PAa+2；故答案为：a+2；（2）因为 B

35、K2a21，AB2BK2+AK2a21+52a2+24所以 d2= 2+ 24；故答案为：2+ 24；探索归纳：（1）当 a4 时，d16，d2= 40，d1d2；当 a6 时，d18，d2= 60，d1d2；故答案为：，；（2）d12d22（a+2）2（2+ 24）24a20当 4a200，即 a5 时，d12d220，d1d20，d1d2；当 4a200，即 a5 时，d12d220，d1d20，d1d2当 4a200，即 a5 时，d12d220，d1d20，d1d2综上可知：当 a5 时，选方案二；当 a5 时，选方案一或方案二；当 1a5 时，选方案一2020 / 272715（20

36、19皇姑区校级模拟）著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB50km，A、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向 A、B 两景区运送游客小民设计了两种方案，图1 是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直，垂足为 P），P 到 A、B 的距离之和 S1PA+PB，图 2 是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是A，连接 BA交直线 X 于点 P），P 到 A、B 的距离之和 S2PA+PB（1）S1kmS2km（2）PA+PB 的最小值为km（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速

37、公路垂直，建立如图3 所示的直角坐标系，B 到直线的距为 30km，请你在 X 旁和 P 旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小，（用尺画出点 P 和点 Q 的位置）这个最小值为km【点睛】（1）根据勾股定理分别求得S1、S2的值即可；（2） 在公路上任找一点 M， 连接 MA， MB， MA， 由轴对称知 MAMA， 由三角形的三边关系得出MB+MAMB+MAAB，得出 S2BA为最小；（3）过 A 作关于 x 轴的对称点 A，过 B 作关于 y 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于点 P，交 y 轴于点Q，求出AB的值即可在公路上任找一点M，连接MA，MB

38、，MA，由轴对称知MAMA，由三角形三边关系得出 MB+MAMB+MAAB，S2BA为最小；即可得出答案【详解】解：（1）如图 1 中，过 B 作 BCX 于 C，ADBC 于 D，则 CPAD，则 BC40km，又AP10，2121 / 2727BDBCCD401030km在ABD 中，AD= 502 302=40（km），CP40km，在 RtPBC 中，BP= 2+ 2= 402+ 402=402（km），S1402+10（km）如图 21 中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC50km，又BC40km，BA= 402+ 502=1041（km），由轴对称知：PAPA，S2BA10

39、41km，故答案为：（402+10），1041；（2）在公路上任找一点 M，连接 MA，MB，MA，如图 22 所示：由轴对称知 MAMA，MB+MAMB+MAAB，S2BA1041km 为最小，即 PA+PB 的最小值为 1041km；故答案为：1041；（3）过 A 作关于 x 轴的对称点 A，过 B 作关 y 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 Q，如图 3 所示：则 P，Q 即为所求过 A、B分别作 x 轴、y 轴的平行线交于点 G，BG40+1050km，AG30+30+40100km，AB= 1002+ 502=505（km），AB+AP+BQ+QPAB

40、+AP+PQ+BQ50+505km，所求四边形的周长为（50+505）km；故答案为：（50+505）2222 / 272716（2019温岭市一模）每年的 6 至 8 月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干 AB（假定树干 AB 垂直于地面）被刮倾斜 15后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为BAC15，大树被折断部分和地面所成的角ADC60，AD4 米，求这棵大树AB 原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：2 1.4，3 1.7，6 2.4）【点睛】 过点A作AECD于点E， 由BAC15可求出DAC的度数， 在RtAED中由ADE60

41、，AD4 可求出 DE 及 AE 的长度， 在 RtAEC 中由直角三角形的性质可得出AECE，故可得出 CE 的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC 的长，进而可得出结论【详解】解：过点 A 作 AECD 于点 E，BAC15，DAC901575，ADC60，在 RtAED 中，cos60=4=2，12323 / 2727DE2，sin60=3=，42AE23，EAD90ADE906030，在 RtAEC 中，CAECADDAE753045，C90CAE904545，AECE23，sin45=232=，2AC26，AB26 +23 +222.4+21.7+210.210 米答：这棵大树

42、AB 原来的高度是 10 米17（2019潮南区模拟）如图所示，巨型广告牌AB 背后有一看台 CD，台阶每层高0.3 米，且AC17 米，现有一只小狗睡在台阶的FG 这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为，当60时，测得广告牌 AB 在地面上的影长 AE10 米，过了一会，当 45，问小狗在 FG 这层是否还能晒到太阳？请说明理由（3取 1.73）【点睛】假设没有台阶，当45时，从点B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 H，与FC 的交点为点2424 / 2727M由BFA45，可得AHAB17.3 米，那么CHAHAC0.3 米，CMCH0.3 米，所以大楼的影子落在台阶 FC 这个

43、侧面上，故小狗可以晒到太阳【详解】解：当 45时，小狗仍可以晒到太阳理由如下：假设没有台阶，当 45时，从点 B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 H，与 FC 的交点为点 M当 60时，在 RtABE 中，tan60=，10AB10tan60103 101.7317.3（米）BHA45，tan45=1，此时的影长 AHAB17.3 米，CHAHAC17.3170.3 米，CMCH0.3 米，大楼的影子落在台阶FC 这个侧面上，小狗能晒到太阳故答案为：能晒到太阳；18（2019沈阳）阅读材料：（1）等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线，例如，如图 1，把海

44、拔高度是 50 米，100 米，150 米的点分别连接起来，就分别形成 50 米，100 米，150 米三条等高线（2）利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图2）步骤一：根据两点 A，B 所在的等高线地形图，分别读出点A，B 的高度；A，B 两点的铅直距离点 A，B 的高度差；步骤二：量出 AB 在等高线地形图上的距离为d 个单位，若等高线地形图的比例尺为1：m，则 A，B 两点的水平距离dn；2525 / 2727步骤三：AB 的坡度=铅直距离点，的高度差=；1水平距离请按照下列求解过程完成填空某中学学生小明和小丁生活在山城，如图 3，小明每天上学从家 A 经过 B 沿着公路 AB，BP

45、到学校 P，小丁每天上学从家 C 沿着公路 CP 到学校 P该山城等高线地形图的比例尺为：1：50000，在等高线地形图上量得 AB1.8 厘米，BP3.6 厘米，CP4.2 厘米（1）分别求出 AB，BP，CP 的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）；（2）若他们早晨 7 点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？（假设当坡度在1816110到 之间时，小81明和小丁步行的平均速度均约为 1.3 米/秒；当坡度在 到 之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为 1米/秒）解：（1）AB 的水平距离1.85000090000（厘米）900（米），AB 的坡度=BP 的水平距离3.65000

46、0180000（厘米）1800（米），BP 的坡度=2001001=9；9004002001= ；18009CP 的水平距离4.250000210000（厘米）2100（米），CP 的坡度（2）因为110，所以小明在路段AB，BP 上步行的平均速度均约为1.3 米/秒，因为，所以小9811丁在路段 CP 上步行的平均速度约为米/秒，斜坡 AB 的距离= 9002+ 1002=906（米），斜坡 BP的距离= 18002+ 2002=1811（米），斜坡 CP 的距离= 21002+ 3002=2121（米），所以小明从家道学校的时间=906+1811=2090（秒）小丁从家到学校的时间约为秒因

47、此，先到学校1.3【点睛】（1）欲求 CP 的坡度，在题目中已经告诉了CP 的水平距离，由图知：C、P 的高度差为（400100）米，根据公式进行计算即可；（2）根据（1）题计算出的CP 坡度，然后判断出此坡度在什么范围内，进而得到小丁的步行平均速度；计算小明所用的时间，已知了路程为 2121 米，在上面求出了小明的步行速度，根据时间路程速度即可求得，进而可判断出哪个同学先到学校2626 / 2727【详解】解：由题意知：CP 的坡度为：因为：，8761114001002100=，71所用小丁的速度为 1 米/秒，小丁所用的时间为：212112121（秒），由于 20902121，所用小明先到学校2727 / 2727