正弦定理、余弦定理、解三角形.pdf

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1、暑假必刷 900 题 1 正弦定理、余弦定理、解三角形正弦定理、余弦定理、解三角形 一、单选题一、单选题 1在ABC中，已知120B =，19AC =，2AB=，则BC =（ ） A1 B2 C5 D3 2ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA=14，则bc= A6 B5 C4 D3 3若在ABC中，()()()2sinsinsinABABC+=，则此三角形的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 4已知a，c分别为 内角A，B，的对边，2 2=132，ABC的面积为162，则 =（ ） A45 B

2、60 C120 D150 5已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D，4B=，2 2AD =，2BD=，则b = A2 2 B2 C3 D6 6已知在ABC中，角, ,A B C的对边分别为2, , ,cos,2,3.3a b cAbc=则BC边上的高为（ ） A1 B2 C3 D2 7已知ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且3b =，3 3c =，30B =，则AB边上的中线的长为 A3 72 B34 C32或3 72 D34或3 72 8魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点E，H，G在水平线AC上，D

3、E和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（ ） 2022 高考 2 A+表高 表距表目距的差表高 B表高 表距表目距的差表高 C+表高 表距表目距的差表距 D表高 表距-表目距的差表距 9在ABC中，角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，已知6,22a，1,b =且coscosabCcAabc+=，则cosB的取值范围为（ ） A73,12 4 B72,12 3 C30,4 D20,3 10如图，在ABC中，1cos4BAC=，点 D在线段 BC上，且3BDDC=，

4、152AD =，则ABC的面积的最大值为（ ） A3 2 B4 C15 D2 3 11在ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()()()sinsinsinabABC bc+=+，2bc+=，则ABC的面积的最大值为（ ） A14 B34 C12 D32 二、多选题二、多选题 12在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，下列说法中正确的是（ ） A若ABC为锐角三角形且AB，则sincosAB B若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三角形 C若AB，则sinsinAB D若8a =，10c =，60B=，则符合条件的ABC有两个 13在ABC中，角, ,A B

5、 C所对的边分别为, ,a b c，则能确定B为钝角的是（ ） A0AB BC B,A C均为锐角，且sincosAC C,A C均为锐角，且tantantan0ABC+ D222acb+ 14ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a =，2b =，sinsin2BA=，则（ ） 暑假必刷 900 题 3 A4 2sin9B = B1cos3A= C3c = D2 2ABCS= 三、填空题三、填空题 15记ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，面积为3，60B=，223acac+=，则b =_ 16ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若6,2 ,3

6、bac B=，则ABC的面积为_. 17如图，在三棱锥 PABC的平面展开图中，AC=1，3ABAD=，ABAC，ABAD，CAE=30，则 cosFCB=_. 18在ABC中，60 ,2BAB=，M是BC的中点，2 3AM =，则AC =_，cosMAC=_. 19魏晋南北朝(公元220581)时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图 1)，故题为海岛算经受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园

7、奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图 2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行1DG =，表高 = = 2，后表却行3FH =，表间244DF =.则塔高AB=_米，前表去塔远近BD=_米. 2022 高考 4 四四、解答题、解答题 20在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知23cos2cos2CC =. （1）求sinC； （2）若2c =，4ab+=，求ABC的面积. 21ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150. （1）若 a=3c，b=27，求ABC的面积； （2）若 sinA+3sinC=22，求 C. 22记ABC是内角A，B

8、，C的对边分别为a，b，c.已知2bac=，点D在边AC上，sinsinBDABCaC=. （1）证明：BDb=； （2）若2ADDC=，求cosABC. 暑假必刷 900 题 5 23已知ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且()()()sinsinsin0acACB ab+=. （1）求C； （2）若2 3ABCS=，2c =，求ABC周长. 24在 = 3，sin = 3， = 3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在 ，它的内角,的对边分别为,，且sin = 3sin， =6，_?

9、注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 25在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba=+，2ca=+. （1）若2sin3sinCA=，求ABC的面积； （2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 2022 高考 6 26已知在ABC中，2 coscbB=，23C= （1）求B的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度 2cb=；周长为42 3+；面积为3 34ABCS=； 27ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知sinsin2ACabA+=

10、 （1）求B； （2）若ABC为锐角三角形，且1c =，求ABC面积的取值范围 28在ABC中，, ,a b c分别为内角, ,A B C的对边，且满足cos13sinbBaA+= （1）求B的大小； （2）从2ac=，2b =，4A=这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题 问题：已知_，_，若ABC存在，求ABC的面积，若ABC不存在，请说明理由 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分 暑假必刷 900 题 7 29ABC中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC （1）求 A； （2）若 BC=3，求ABC周长的最大值. 30已知ABC中，内角, ,A B C所

11、对的边分别为, ,a b c，3 cos2 sinsin0cBbBC+=，D是ABC边AC上一点，2BD = （1）若BDBC，2 63AB =，求AD； （2）若2CDAD=，求2ABBC+的最大值 2022 高考 8 参考答案参考答案 1D 2A 3B 4A 5A 6D 7C 8A 9A 10C 11B 12AC 13AC 14ACD 152 2 166 3 1714 182 13 2 3913 19246 122 20 全国卷普通高等学校招生全国统一考试 2021 届高三数学（理）试题（黑卷） 【解析】 （1）由23cos2cos1 cos2CCC= +知，1cos2C =，又(0, )

12、C 故3sin2C = （2）由余弦定理知，22222cos()2cababCababab=+=+， 则22243ab=，4ab = 故三角形面积为113sin43222abC = = 21 2020 年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标） 【解析】 （1）由余弦定理可得2222282cos1507bacacc=+=， 2,2 3,caABC =的面积1sin32SacB=； （2）30AC+=， sin3sinsin(30)3sinACCC+=+ 132cossinsin(30 )222CCC=+=+ =， 030 ,303060CC+， 3045 ,15CC+ =. 22 2021 年

13、全国新高考卷数学试题 【解析】 （1）由题设，sinsinaCBDABC=，由正弦定理知：sinsincbCABC=，即sinsinCcABCb=， 暑假必刷 900 题 9 acBDb=，又2bac=， BDb=，得证. （2）由题意知：2,33bbBDb ADDC=， 22222241399cos24233bbbccADBbbb+=，同理2222221099cos2233bbbaaCDBbbb+=， ADBCDB=， 2222221310994233bbcabb=，整理得2221123bac+=，又2bac=， 42221123bbaa+=，整理得422461130aa bb+=，解得22

14、13ab=或2232ab=， 由余弦定理知：222224cos232acbaABCacb+=， 当2213ab=时，7cos16ABC=不合题意；当2232ab=时，7cos12ABC=； 综上，7cos12ABC=. 23 全国 2021 届高三高考数学（文）演练试卷 【解析】 （1）因为()()()sinsinsin0acACB ab+=，所以()()()0acacb ab+=， 所以2220acabb+=，所以222222coscababababC=+=+， 所以2cos1C =且()0,C，所以3C=； （2）因为1sin2 32ABCSabC=V，所以8ab =， 又因为()2222

15、2cos34cababCabab=+=+=， 所以()23 84ab+ =，所以2 7ab+=， 所以周长为2 72abc+=+， 24 2020 年新高考全国卷数学高考试题（山东） 【解析】解法一： 由sin = 3sin可得：= 3， 不妨设 = 3, = ( 0)， 2022 高考 10 则：2= 2+ 2 2cos = 32+ 2 2 3 32= 2，即 = . 选择条件的解析： 据此可得： = 3 = 32= 3， = 1，此时 = = 1. 选择条件的解析： 据此可得：cos =2+222=2+23222= 12， 则：sin = 1 (12)2=32，此时：sin = 32= 3

16、，则： = = 23. 选择条件的解析： 可得= 1， = ， 与条件 = 3矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二： = 3, =6, = ( + ), = 3( + ) = 3( +6), = 3( + ) = 3 32+ 3 12 ， = 3, = 3, =23, = =6, 若选， = 3, = 3 = 3,32= 3,c=1; 若选， = 3,则32= 3, = 23; 若选,与条件 = 3矛盾. 25 2021 年全国新高考 II 卷数学试题 【解析】 （1）因为2sin3sinCA=，则()2223caa=+=，则4a =，故5b =，6c =， 2221cos28abcCab+

17、-=，所以，C为锐角，则23 7sin1cos8CC=， 因此，113 715 7sin4 52284ABCSabC= =； （2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角， 由余弦定理可得()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCaba aa a+=+， 解得13a ，则03a， 由三角形三边关系可得12aaa+ +，可得1a ，aZ，故2a =. 26 2021 年北京市高考数学试题 暑假必刷 900 题 11 【解析】 （1）2 coscbB=，则由正弦定理可得sin2sincosCBB=， 23sin2sin32B=，23C=，0,3B，220,3B

18、， 23B=，解得6B=； （2）若选择：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB=， 与2cb=矛盾，故这样的ABC不存在； 若选择：由（1）可得6A=， 设ABC的外接圆半径为R， 则由正弦定理可得2 sin6abRR=， 22 sin33cRR=， 则周长2342 3abcRR+=+=+， 解得2R=，则2,2 3ac=， 由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： ()222 3122 3 1 cos76+ =； 若选择：由（1）可得6A=，即ab=， 则21133 3sin2224ABCSabCa=，解得3a =， 则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： 22233212

19、cos33223422aabb+ =+=. 27 2019 年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标） 【解析】(1)根据题意sinsin2ACabA+=，由正弦定理得sinsinsinsin2ACABA+=，因为0A，故sin0A ，消去sin A得sinsin2ACB+= 0 B，02AC+因为故2ACB+=或者2ACB+=，而根据题意ABC+=，故2ACB+=不成立，所以2ACB+=，又因为ABC+=，代入得3B=，所以3B=. 2022 高考 12 (2)因为ABC是锐角三角形，由（1）知3B=，ABC+=得到23AC+=， 故022032CC，解得62C. 又应用正弦定理sinsin

20、acAC=，1c =， 由三角形面积公式有： 222sin()111sin33sinsinsin222sin4sinABCCaASacBcBcBcCC=22sincoscossin3321231333(sincos)4sin43 tan38 tan8CCCCC=+. 又因3,tan623CC,故3313388 tan82C+， 故3382ABCS. 故ABCS的取值范围是33(,)82 28 山东省泰安肥城市 2021 届高三高考适应性训练数学试题（二） 【解析】 （1）因为cos13sinbBaA+=，由正弦定理可得 sincos1sin3sinBBAA+= 因为sin0A 所以3sinco

21、s1BB=即1sin()62B= 因为0B 所以5666B 因为66B=即=3B （2）若选择条件， 由余弦定理2222cosbacacB=+ 可得222442ccc+=，解得2 33c =， 故4 33a =， 暑假必刷 900 题 13 所以114 32 32 3sinsin223333ABCSacB= 若选择条件 由正弦定理可得sinsinabAB=，可得sin2 6sin3bAaB= 所以112 633sin2sin223343ABCSabC+= += 若选择条件 这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形ABC中，43AB=， 所以53412C=， 所以AC，所以ac 又因为2ac=

22、所以ac与ac矛盾 所以这样的三角形不存在 29 2020 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标） 【解析】 （1）由正弦定理可得：222BCACABAC AB=， 2221cos22ACABBCAAC AB+= ， ()0,A，23A=. （2）由余弦定理得：222222cos9BCACABAC ABAACABAC AB=+=+=， 即()29ACABAC AB+=. 22ACABAC AB+（当且仅当ACAB=时取等号） ， ()()()22223924ACABACABAC ABACABACAB+ =+=+， 解得：2 3ACAB+（当且仅当ACAB=时取等号） ， ABC周长32 3

23、LACABBC=+，ABC周长的最大值为32 3+. 30 福建省南安第一中学 2021 届高三二模数学试题 【解析】(1)3os2 sinsin0ccBbBC+=，3sincos2sinsinsin0CBBBC+=， 2022 高考 14 2sin0,3cos2sin0CBB+=，22cos3cos20BB=，1cos2B = ， 23ABC=，BDBC，16ABD=， 在ABD中，由余弦定理得，222122cos2 662 622333AD+ =， 63AD = （2）解法一：1cos2ABC= ，因为2CDAD=，所以2CDDA=，即2()BDBCBABD=， 整理得到2133BDBAB

24、C=+，两边平方后有222414999BDBABCBA BC=+， 所以224142999BABCBA BC=+即22414129992BABCBABC=+， 整理得到22184|2| |BABCBABC=+， 所以2221842(2)6caaccaac=+=+， 因为222()2caca+，所以()22222218(2)6(2)3()24cacacaacca+=+=， 218 46 2ca+=，当且仅当3 23 22ac=，时等号成立， 所以2ABBC+的最大值6 2 解法二：设ADt=，则2CDt=，3ACt=， 在ABD中，222( 2)cos2 2tcADBt+=，在BDC中，222(2 )( 2)cos2 2 2taBDCt+=， 又coscosADBBDC= ，所以222222( 2)(2 )( 2)2 22 2 2tctatt+= ， 解得222626tca=+， 在ABC中，2222(3 )2cosACtacacB=+，即222192tacac=+， 由可得221842caac=+所以2221842(2)6caaccaac=+=+， 因为2 (2+2)2，所以18 = (2 + )2 6 (2 + )2 3(2+2)2=(2+)42， 2 + 18 4 = 62，当且仅当 = 32， =322时等号成立， 所以2 + 的最大值62