大学高等数学期末试卷及答案.pdf

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1、南京理工大学考试试卷（存档用）课程名称：我是课程名时长：100分钟学分：3教学大纲编号：12345678-9满分分值：100组卷教师（签字） ：张三、李四、王五组卷日期：2021年4月28日审定人（签字） ：赵六课程类别必修选修考试方式开卷闭卷试卷编号(A, B)A共4页班(级)：姓名：学号：一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1. 设常数k 0，函数f (x)=lnx xe+k在(0,+)内零点的个数为22. 设 a =(2,1,2)，b =(4,1,10)， c =b a，且 a c，则=33. 已知二阶行列式?123 x?=0，则x =64. 向量组1= (1,1,0),2= (

2、0,1,1),3= (1,0,1)，则将向量 = (4,5,3)表示为1,2,3的线性组合为 =31+22+35. 已知随机变量的期望和方差各为E=3,D=2,则E2=116. 已知和相互独立且N(1,4),N(2,5)，则2N(3,24)二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）1. 在下列等式中，正确的结果是 ( C )(A)Rf0(x)dx = f (x)(B)Rdf (x)= f (x)(C)ddx?Rf (x)dx?= f (x)(D) d?Rf (x)dx?= f (x)2. 假设F (x)是连续函数f (x)的一个原函数，则必有 ( A )(A) F (x)是偶函数 f (x)

3、是奇函数(B) F (x)是奇函数 f (x)是偶函数(C) F (x)是周期函数 f (x)是周期函数(D) F (x)是单调函数 f (x)是单调函数3. 设矩阵A =1 1 01 x00 0 1其中两个特征值为1=1和2=2，则x = ( B )(A) 2(B) 1(C) 0(D) 14. 二次型f =4x212x1x2+6x22对应的矩阵等于 ( C )(A)?4226?(B)?2223?(C)?4116?(D)?2113?5. 下列说法不正确的是 ( B )(A)大数定律说明了大量相互独立且同分布的随机变量的均值的稳定性(B)大数定律说明大量相互独立且同分布的随机变量的均值近似于正态

4、分布(C)中心极限定理说明了大量相互独立且同分布的随机变量的和的稳定性(D)中心极限定理说明大量相互独立且同分布的随机变量的和近似于正态分布6. 对总体X和样本(X1, ,Xn)的说法哪个是不正确的 ( D )(A)总体是随机变量(B)样本是n元随机变量(C) X1, ,Xn相互独立(D) X1= X2= Xn三、计算题（共6小题，每小题8分，共48分）1. 求不定积分Ze2x(tanx +1)2dx。解. 原式=Ze2xsec2x dx +2Ze2xtanx dx2分=Ze2xd(tanx)+2Ze2xtanx dx4分=e2xtanx 2Ze2xtanx dx +2Ze2xtanx dx6

5、分=e2xtanx +C8分2. 求过点A(1,2,1),B(2,3,0),C(3,3,2)的三角形4ABC的面积和它们确定的平面方程.解. 由题设AB =(1,1,1),AC =(2,1,3),2分故AB AC =?ijk1 1 12 1 3?=(2,1,1),4分三角形4ABC的面积为S4ABC=12?AB AC?=12p6.6分所求平面的方程为2(x 2)(y 3)z =0,即2x y z 1=08分第1页共4页课程名称：我是课程名学分：3试卷编号：A3. 计算四阶行列式A =?0 1 2 31 2 3 02 3 0 13 0 1 2?的值解.A =?0 1 2 31 2 3 02 3

6、0 13 0 1 2?=?012312300 1 6 10 6 8 2?=1(1)2+1?1231 6 16 8 2?4分=?1230 440420?=?44420?=(42044)=968分4. 利用配方法，将二次型f = x21+2x1x26x1x3+2x2212x2x3+9x23化为标准形f = d1y21+d2y22+d3y23解.f = x21+2x1x26x1x3+2x2212x2x3+9x23= x21+2x1(x23x3)+(x23x3)2+ x226x2x3=(x1+ x23x3)2+ x226x2x33分=(x1+ x23x3)2+ x222x23x3+(3x3)29x23

7、=(x1+ x23x3)2+(x23x3)29x236分令y1= x1+ x23x3,y2= x23x3,y3= x3,则f = y21+ y229y23为标准形8分5. 设每发炮弹命中飞机的概率是0.2且相互独立，现在发射100发炮弹(1)用切贝谢夫不等式估计命中数目在10发到30发之间的概率(2)用中心极限定理估计命中数目在10发到30发之间的概率解.E=np =1000.2=20,D=npq =1000.20.8=16.2分(1) P(1030)=P(|E|10)1D102=116100=0.84.4分(2) P(1030)0?3020p16?0?1020p16?6分=20(2.5)1=

8、20.99381=0.98768分6. 从正态总体N(,2)中抽出样本容量为16的样本，算得其平均数为3160，标准差为100试检验假设H0:=3140是否成立(=0.01)解.(1)待检假设H0:=3140.1分(2)选取统计量T =sX S/pn t(n 1).3分(3)查表得到t= t(n 1)= t0.01(15)=2.947.5分(4)计算统计值t =sx0s/pn=31603140100/4=0.8.7分(5)由于|t| t,故接受H0,即假设成立.8分四、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1. 设数列xn满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并求出极限证.(1

9、)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+A.解得A =2，即数列xn的极限为28分2. 设数列xn满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并求出极限证.(1)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+

10、A.解得A =2，即数列xn的极限为28分3. 设数列xn满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并求出极限第2页共4页课程名称：我是课程名学分：3试卷编号：A证.(1)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+A.解得A =2，即数列xn的极限为28分4. 设数列xn满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并求出极限证.(1)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp

11、2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+A.解得A =2，即数列xn的极限为28分5. 设数列xn满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并求出极限证.(1)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+A.解得A =2，即数列xn的极限为28分6. 设数列x

12、n满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并求出极限证.(1)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+A.解得A =2，即数列xn的极限为28分7. 设数列xn满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并求出极限证.(1)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定

13、收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+A.解得A =2，即数列xn的极限为28分8. 设数列xn满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并求出极限证.(1)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+A.解得A =2，即数列xn的极限为28分第3页共4页课程名称：我是课程名学分：3试卷编号：A9. 设数列xn满足x1=p2，xn+1=p2+ xn证明数列收敛，并

14、求出极限证.(1)事实上，由于x12，且xk2时xk+1=p2+ xkp2+2=2,由数学归纳法知对所有n都有xnvt222+12=1,所以数列单调增加由极限存在准则II，数列必定收敛4分(2)设数列的极限为A，对递推公式两边同时取极限得到A =p2+A.解得A =2，即数列xn的极限为28分10. 设事件A和B相互独立，证明A和sB相互独立证.P(A sB)=P(A B)=P(A AB)2分=P(A)P(AB)=P(A)P(A)P(B)4分=P(A)(1P(B)=P(A)P(sB)6分所以A和sB相互独立8分附录一些可能用到的数据0(0.5)=0.69150(1)=0.84130(2)=0.97730(2.5)=0.9938t0.01(8)=3.355t0.01(9)=3.250t0.01(15)=2.947t0.01(16)=2.92120.005(8)=22.020.005(9)=23.620.005(15)=32.820.005(16)=34.320.995(8)=1.3420.995(9)=1.7320.995(15)=4.6020.995(16)=5.14第4页共4页