高考数学专题-解三角形解答题训练.pdf

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1、三角函数解答题训练 利用边角关系求最值 1.(2017石家庄一模)在ABC 中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c且. sinsinsinCabABac(1)求角 B的大小； (2)点 D 满足，且 AD3，求 2ac的最大值 2BDBC 【解析】(1)，由正弦定理可得，c(ac)(ab)(ab)， sinCsinAsinBabaccababac即 a2c2b2ac.又 a2c2b22accosB，cosB .B(0，)，B . 123(2)方法 1：在ABD 中，由余弦定理得 c2(2a)222accos 32，(2ac)2932ac. 32ac()2，(2ac)29 (2ac)2，

2、2ac234即(2ac)236，2ac6，当且仅当 2ac，即 a ，c3时，2ac取得最大值，最大值为 6. 32方法 2：在ABD 中，由正弦定理知2，2a2sinBAD，c2sin2asinBADcsinADB3sin3333ADB，2ac2sinBAD2sinADB2(sinBADsinADB) 3332sinBADsin(BAD)6(sinBAD cosBAD)6sin(BAD ) 32332126BAD(0，)，BAD ( ，)， 236656当BAD ，即BAD 时，2ac取得最大值，最大值是 6. 623 2(2017乌鲁木齐三)ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，

3、c，已知(2ab)sinA(2ba)sinB2csinC. (1)求 C的大小； (2)若 c，求ABC 周长的最大值 3解析(1)由正弦定理及已知条件得(2ab)a(2ba)b2cc，即 a2b2c2ab， cosC ，0c，C. a2b2c22ab1223(2)c，a2sinA，b2sinB，设ABC 的周长为 l， 3asinAbsinB332则 labc2sinA2sinB2sinA2sin( A)2sinA2sin cosA2cos sinA 333333sinAcosA2sin(A )，0A ， A ， 33333332322sin(A )2，当且仅当 A 时，l有最大值，ABC

4、周长的最大值为 2. 333363 利用边角关系求面积 2.(2017福建质检)在四边形 ABCD 中，ADBC，AB2，AD1，A. 23(1)求 sinADB； (2)若BDC，求四边形 ABCD 的面积 23【解析】(1)如图，在ABD 中， AB2，AD1，A， 23由余弦定理，得 BD2AB2AD22ABADcosA， 即 BD241221cos，解得 BD. 237在ABD 中，由正弦定理，得，即，解得 sinADB. BDsinAABsinADB7sin232sinADB217(2)方法 1：设CBD，因为 ADBC，所以ADBCBD，所以 sin. 217因为 0 ，所以 co

5、s， 22 77因为BDC，所以 sinCsin( )sin coscos sin. 233332114在BCD 中，由正弦定理得，即，解得 BC7.所以 SBCD BDBCsin BDsinCBCsinBDC72114BCsin2312127，SABD ABADsinBAD 21sin.所以四边形 ABCD 的面积 72177 3212122332SSBCDSABD4. 7 32323方法 2：如图，由(1)知，sinDBC. 217因为DBC 为锐角，所以 cosDBC，因为BDC， 2 7723所以 sinCsin( DBC)sin cosDBCcos sinDBC. 3332114在B

6、CD 中，由正弦定理得，即，解得 BC7.过 D 作 DFBC，垂足为 F. BDsinCBCsinBDC72114BCsin23则 DFBDsinDBC. 72173所以四边形 ABCD 的面积 S (ADBC)DF (17)4. 121233 所以四边形 ABCD 的面积 S (ADBC)DF (17)4. 121233方法 3：设CBD，因为 ADBC，所以ADBCBD，所以 sin. 217因为 0 ，所以 cos.因为BDC，所以 sinCsin( )sin coscos sin. 22 77233332114如图，过点 D 作 DFBC，垂足为 F，则 DFBDsin. 72173

7、在 RtCDF 中，CD2， DFsinC321147所以 SBCD BDCDsinBDC 2sin， 121277237 32因为 SABD ABADsinA 21sin， 12122332所以四边形 ABCD 的面积 SSBCDSABD4. 7 32323 3(2017福州五校二次联考)在ABC 中，AD 是 BC 边的中线，AB2AC2ABACBC2，且ABC 的面积为. 3(1)求BAC 的大小及的值； AB AC (2)若 AB4，求 AD 的长 解析(1)在ABC 中，由 AB2AC2ABACBC2可得 cosBAC，故BACAB2AC2BC22 AB AC12120. 因为 SA

8、BC ABACsinBAC ABACsin120， 12123所以 ABAC，解得 ABAC4. 12323所以|cos120|( )4( )2. AB AC AB AC AB AC 1212(2)方法 1：由 AB4，ABAC4 得 AC1. 在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcosBAC161241( )21， 12故 BC，由正弦定理，得 sinABC. 21BCsinBACACsinABCACsinBACBC1 32217140ABC60，故 cosABC. 3 2114在ABD 中，AD2AB2BD22ABBDcosABD1624，得 AD. 2142123 2

9、114134132方法 2：由 AB4，ABAC4得 AC1. 在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcosBAC161241( )21， 12得 BC，cosABC， 21AB2BC2AC22AB BC162112 4 213 2114在ABD 中，AD2AB2BD22ABBDcosABD1624，得 AD. 2142123 2114134132 4(2017石家庄质检一)已知ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且(ac)2b2 ac. 34(1)求 cosB的值； (2)若 b，且 sinA，sinB，sinC成等差数列，求ABC 的面积 13解析(1)由

10、(ac)2b2 ac，可得 a2c2b2 ac. ，即 cosB . 3454a2c2b22ac5858(2)b，cosB ，b213a2c2 ac(ac)2ac， 135854134又 sinA，sinB，sinC 成等差数列，由正弦定理，得 ac2b2， 131352ac，ac12.由 cosB ，得 sinB，SABC acsinB 12. 1345839812123983 394 证明、求角 5.(2017课标全国，理)ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为. a23sinA(1)求 sinBsinC； (2)若 6cosBcosC1，a3，求ABC

11、的周长 【解析】(1)由题设得 acsinB，即 csinB.由正弦定理得 sinCsinB.故 sinBsinC12a23sinA12a3sinA12sinA3sinA. 23(2)由题设及(1)得 cosBcosCsinBsinC ，即 cos(BC) . 1212所以 BC，故 A .由题设得 bcsinA，即 bc8. 23312a23sinA由余弦定理得 b2c2bc9，即(bc)23bc9，得 bc.故ABC 的周长为 3. 3333 6(2017长沙二模)已知ABC 中，AC2，A120，cosBsinC. 3(1)求边 AB 的长； (2)设 D 是 BC边上一点，且ACD 的

12、面积为，求ADC 的正弦值 3 34解析(1)因为 A120，所以 C60B，由 cosBsinC，得 cosBsin(60B) 33(cosB sinB) cosBsinB，即 cosBsinB，从而 tanB， 332123232333又 0B60，所以 B30，C60B30，所以 ABAC2. (2)由已知得 ACCDsin30，所以 CD. 123 343 32在ACD 中，由余弦定理得 AD2AC2CD22ACCDcosC ，即 AD， 7472再由正弦定理得，故 sinADC. ADsinCACsinADCACsinCAD2 77 利用边角关系求范围 7.(2017云梳一检测二)已

13、知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 对的边，b. 3(1)若 C，ABC 的面积为，求 c； 5632(2)若 B ，求 2ac 的取值范围 3【解析】(1)C，ABC 的面积为，b， absinC a . 56323121231232a2.由余弦定理得 c2a2b22abcosC4322()13.c. 33213(2)由正弦定理得.a2sinA，c2sinC. asinAbsinBcsinCbsinAsinBbsinCsinB2ac4sinA2sinC4sin(C)2sinC4(sincosCcossinC)2sinC2cosC. 2323233B ，0C. cosC1.2co

14、sC2.2ac的取值范围为(，2) 3231233333 8(2017兰州实战模拟)在ABC 中，A，B，C的对边分别为 a，b，c若 tanAtanC(tanAtanC1) 3(1)求 B； (2)如果 b2，求ABC 面积的最大值 解析(1)tanAtanC(tanAtanC1)，即，tan(AC)， 3tanAtanC1tanAtanC33又 ABC，tanB，B为三角形的内角，B . 33(2)在ABC 中，由余弦定理得 cosB ，a2c2ac4， a2c2b22ac12a2c22ac，ac4，当且仅当 ac2时等号成立 ABC 的面积 S acsinB 4，ABC 面积的最大值为. 12123233