趣味数学讲座.ppt

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1、 晏子春秋晏子春秋里有一个里有一个“二桃杀三士二桃杀三士”的故事，的故事，大意是：大意是： 齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。公孙接和古冶子。 这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。子，让他们自己评

2、功，按功劳的大小吃桃。 三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子两人正准备要吃桃子 古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实

3、在丢人，是好汉就没有脸再活下去，着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。勇士！说罢，也拔剑自杀了。 晏子采用借晏子采用借“桃桃”杀人的办法，不费吹灰之杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权力

4、，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝有人在一首诗中曾不无讽刺地写道：谋。汉朝有人在一首诗中曾不无讽刺地写道：“一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子！相国务晏子！” 在晏子的权谋之中，包含了一个重要的在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理数学原理抽屉原理抽屉原理。 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷克雷 (Dirichlet ,Peter Gustav Lejeune,1805 1859) 首先明确首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利的提出来并用

5、以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一般情形有以下几种表现形式。般情形有以下几种表现形式。形式一：形式一： 设把设把n n1 1个元素分为个元素分为n n个集合个集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个集合里相应个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个的元素个数，证明至少存在某个a ai i大于或等于大于或等于2.2.（用反证法）假设结论不成立，即对每一个（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有都有ai2，则，则

6、因为因为ai是整数，应有是整数，应有ai1，于是有：，于是有：a1a2an111nn1这与题设矛盾。这与题设矛盾。所以，至少有一个所以，至少有一个ai2，即必有一个集合中含有两个或两个以，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。上的元素。形式二：形式二： 设把设把n nm m1 1个元素分为个元素分为n n个集个集合合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个个a ai i大于或等于大于或等于m m1 1。 （用反证法）假设结论不成立，即对每一个（用反

7、证法）假设结论不成立，即对每一个ai 都有都有aim1，因为，因为ai是整数，所以是整数，所以aim，于，于是有：是有：a1a2anmmmnm nm1 n个个m这与题设相矛盾。这与题设相矛盾。 所以，至少有存在一个所以，至少有存在一个aim1. 1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。不认识的人。” ” 如果如果B、

8、C、D三人三人互不认识互不认识，那么我们就找到了，那么我们就找到了三个三个互不认识互不认识的人；如果的人；如果B、C、D三人中有两个三人中有两个互相互相认识认识，例如，例如B与与C认识，那么，认识，那么，A、B、C就是三个就是三个互相互相认识认识的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。 用用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找代表六个人，从中随便找一个，例如一个，例如A吧，把其余五个人放到吧，把其余五个人放到“与与A认识认识”和和“与与A不认识不认识”两个两个“抽屉抽屉”里去，根据抽屉原理，至里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。不妨

9、假定在少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与与A认识认识”的的抽屉里有三个人，他们是抽屉里有三个人，他们是B、C、D。(1 16) 162136 1. 1.有黑色、白色、黄有黑色、白色、黄色的筷子各色的筷子各8 8根，混杂在一起，根，混杂在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？取多少根才能保证达到要求？ 2. 2.在在1 1只箱子里面放着红、只箱子里面放着红、黑、白三种颜色的手套各黑、白三种颜色的手套各6 6副，副，如想闭着眼睛从中取出两副颜如想闭着眼睛从中取出两副颜色不同的手套，问至少要取出色不

10、同的手套，问至少要取出多少只才能达到要求？多少只才能达到要求？121212121 12525 3.在在2323的方格纸中，将的方格纸中，将19这这9个数字填入每个小方格中，并对个数字填入每个小方格中，并对所有形如所有形如“十字十字”的图形中的的图形中的5个数个数字求和，对于小方格中的数字的任意字求和，对于小方格中的数字的任意一种填法，其中和数相等的一种填法，其中和数相等的“十字十字”图形至少有多少个？图形至少有多少个？4. 400人中至少有两个人的生日相同人中至少有两个人的生日相同.分析：生日从分析：生日从1月月1日排到日排到12月月31日，共有日，共有366个不相个不相同的生日，我们把同的生

11、日，我们把366个不同的生日看作个不同的生日看作366个抽屉，个抽屉，400人视为人视为400个苹果，由表现形式个苹果，由表现形式1可知，至少有两可知，至少有两人在同一个抽屉里，所以这人在同一个抽屉里，所以这400人中有两人的生日相人中有两人的生日相同同.解：将一年中的解：将一年中的366366天视为天视为366366个抽屉，个抽屉，400400个人看作个人看作400400个苹果，由抽屉原理的表个苹果，由抽屉原理的表现形式现形式1 1可以得知：至少有两人的生日相可以得知：至少有两人的生日相同同. . 5. 边长为边长为1的正方形中，任意放入的正方形中，任意放入9个点，求证这个点，求证这9个点中

12、任取个点中任取3个个点组成的三角形点组成的三角形中，至少有一中，至少有一个的面积不超个的面积不超过过1/8.EDFG解：将边长为解：将边长为1的正方形等分成边长为的正方形等分成边长为 的四个小正方形，视这四个正方形为的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，个点任意放入这四个正方形中，据形式据形式2，必有三点落入同一个正方形，必有三点落入同一个正方形内内.现特别取出这个正方形来加以讨论现特别取出这个正方形来加以讨论.12 把落在这个正方形中的三点记为把落在这个正方形中的三点记为D D、E E、F.F.通过这三点中的任意一点（如通过这三点中的任意一点（如E E）作

13、平行）作平行 线，线，如图可知：如图可知：2121 )h21(2121 4h814h 81hSDEFSDEGSEFG EDFG6. 6. 任取任取5 5个整数，必然能够从中选出三个，个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被使它们的和能够被3 3整除整除. .证明：任意给一个整数，它被证明：任意给一个整数，它被3除，余数可能为除，余数可能为0，1，2，我，我们把被们把被3除余数为除余数为0，1，2的整数各归入类的整数各归入类r，r1，r2.至少有至少有一类包含所给个数中的至少两个一类包含所给个数中的至少两个.因此可能出现两种情况：因此可能出现两种情况：.某一类至少包含三个数；某一类至少包含

14、三个数；.某两类各含两个数，第三类包含一个数某两类各含两个数，第三类包含一个数. 若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定能被数，其和一定能被3整除；整除； 若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被3整整除除.综上所述，原命题正确综上所述，原命题正确. 7. 7. 某校派出学生某校派出学生204204人上山植树人上山植树1530115301株，株，其中最少一人植树其中最少一人植树5050株，最多一人植树株，最多一人植树100100株，株，则至少有则至少有5 5人植树的株数

15、相同人植树的株数相同. .证明：按植树的多少，从证明：按植树的多少，从50到到100株可以构造株可以构造51个抽个抽屉，则个问题就转化为至少有屉，则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一人植树的株数在同一个抽屉里个抽屉里. (用反证法用反证法)假设无人或人以上植树的株数假设无人或人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有人以下植树的株数在同在同一个抽屉里，那只有人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，所以，人，所以，每个抽屉最多有每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：人，故植树的总株数最多有：4(504(5051519999100)100)4

16、 4251)10050( 1530015301得出矛盾得出矛盾.所以，至少有所以，至少有5 5人植树的株数相同人植树的株数相同. . 形式一：形式一： 设把设把n n1 1个元素分为个元素分为n n个集合个集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个集合个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个里相应的元素个数，证明至少存在某个a ai i大于大于或等于或等于2.2.形式二：形式二： 设把设把n nm m1 1个元素分为个元素分为n n个集合个集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个a ai i大于或等于大于或等于m m1 1。抽屉原理的两种常见形式抽屉原理的两种常见形式: 抽屉原理不仅在数学中有用，在抽屉原理不仅在数学中有用，在现实生活中也到处在起作用，如招生现实生活中也到处在起作用，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。定等等，都不难看到抽屉原理的作用。