参数不等式恒成立问题.ppt

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1、一、基础知识点：一、基础知识点：、f(x)=ax+b,x ,，则：则： f(x)0恒成立恒成立 f(x)0f( )0f( )0f( )0在在R上恒成立的充要条件是上恒成立的充要条件是： _。a=b=0C0或或a0=b2-4ac0 ax2+bx+c0在在R上恒成立的充要条件是：上恒成立的充要条件是： _。a=b=0C0或或a0=b2-4ac0 . ( (* *) ) （1）当）当| x | 2，( (* *) )式恒成立，求实数式恒成立，求实数m m的取值范围的取值范围 ；（2）当）当| m | 2，( (* *) )式恒成立，求实数式恒成立，求实数x x的取值范围的取值范围 . 当当1-m1,

2、 ( (* *) )式在式在x x -2,2-2,2时恒成立的时恒成立的充充 要条件为：要条件为：解：解：(1)当当1-m=0即即m=1时，时， ( (* *) )式恒成立，式恒成立， 故故m=1适合适合( (* *) ) ； (1-m)(-2)2+(m-1)(-2)+ 3 0 当当1-m0时，即时，即m1 ,( (* *) )式在式在x x -2,2-2,2时恒成立的时恒成立的充充 要条件为：要条件为： =(m-1)2-12(I-m)0 ， 解得解得: -11m1；解得解得: 1m23综上可知综上可知: 适合条件的适合条件的m的范围是的范围是: -11m 0恒成立恒成立g(-2)=3x2-3

3、x+30g(2)=-x2+x+30解解(2) : 设设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m -2,2）即即x R21312131 x 0 . ( (* *) ) （1）当）当| x | 2，( (* *) )式恒成立，求实数式恒成立，求实数m m的取值范围的取值范围 ；（2）当）当| m | 2，( (* *) )式恒成立，求实数式恒成立，求实数x x的取值范围的取值范围 .练习练习1: 对于一切对于一切 |p| 2，pR，不等式，不等式x2+px+12x+p恒成立，则实数恒成立，则实数x的取值范围是：的取值范围是： 。x3小结：小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求

4、解。、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。题，分类讨论。y=x2+22-2-211y=kxy=2 x2y= - 2 x2解：原不等式可化为：解：原不等式可化为：x x2 2+2+2kxkx例例2、若不等式若不等式x x2 2 log0,-kx+20,对对x x -3,3 -3,3恒成立，则实数恒成立，则实数k k的的取值范围是取值范围是 。21设设 y1= x x2 2+2 (x +2 (x -3,3-3,3) ) y2= kxkx 在同一坐标系下作它们的图在同一坐标系下作它们

5、的图象如右图象如右图:由图易得由图易得: -2 k222 -2 k 0）txy解解: 分离参数得分离参数得: a yxxy2x又又 令令1+2t=m（m 1），则，则 f(m)=2)21m(1m2)m5m(4 a f (x) max= 即即a 215215(当且仅当当且仅当m= 时等号成立时等号成立)521525245m22mm4xy1xy21恒成立恒成立2t1t 21, 则则 a （t t 0） 恒成立恒成立小结：小结： 4、 通过分离参数，将问题转化为通过分离参数，将问题转化为f(x)（或（或f(x)）恒）恒成立，再运用不等式知识或求成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使函数最值的

6、方法，使 问题获解。问题获解。例、已知例、已知a0，函数，函数f (x)=ax-bx2，（1）当）当b1，证明对任意的，证明对任意的x 0,1，|f(x)|1充要条件是充要条件是: b-1a2 ；（2）当）当01 bx+ 2 (x= 时取等号时取等号 )bb1x1bx - a +bxx1x1解解:(1) b1时时,对对x (0,1,|f(x)|1 -1ax-bx21bx2-1 ax 1+bx2 故故 x (0,1时原式恒成立的充要条件为时原式恒成立的充要条件为: b-1a2b ( bx- )max=b-1 (x=1时取得时取得 )x1 又又 bx - 在在(0,1上递增上递增 x1又又 x=0

7、时，时，|f(x)|1恒成立恒成立 x 0,1时原式恒成立的充要条件为时原式恒成立的充要条件为: b-1a2b故故 ( bx+ )min =b+1 (x=1时取得时取得) x1(2) 00三、课时小结：三、课时小结：2、二次函数型二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，题，分类讨论分类讨论。3、对于、对于f(x)f(x)g(x)g(x)型型问题，利用问题，利用数形结合数形结合思想转化为函数图思想转化为函数图 象的关系再处理。象的关系再处理。 4、通过、通过分离参数分离参数，将问题转化为，将问题转化为f(x)（或（或f(x)）恒恒 成立，再运用不等式知

8、识或求函数最值的方法，使成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。问题获解。1、一次函数型一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。问题，利用一次函数的图像特征求解。4 、已知已知f(x)= (x R) 在区间在区间 -1，1上是增函数。上是增函数。（1）求实数）求实数 a 的值所组成的集合的值所组成的集合A；（2）设关于）设关于x 的方程的方程f(x)= 的两根为的两根为x1、x2，试问：是否存试问：是否存在实数在实数m，使得不等式，使得不等式 m2 + t m + 1| x1 - x2| 对任意对任意a A及及t -1，1 恒成立？若存在，求出恒成立？若存在，求出m的取值范

9、围；若不存在，的取值范围；若不存在，请说明理由。请说明理由。1、当当x (0,1)时，不等式时，不等式x20 对对x (1,4)恒成立，求实数恒成立，求实数a的取的取值范围。值范围。2、若不等式、若不等式|x-a|+|x-1|2 对对x R恒成立，恒成立，则实数则实数a的取值的取值范围是范围是_。2xax22四、课后练习：四、课后练习：x12.作y=x-1的图像，把y0的部分以x轴为对称轴翻上去，可以得到一个v字，最低点是(1,0)，y=x-a图像最低点就是(a，0)，画最低点在x轴上的V字，让两个函数叠加后大于2可得当最低点在(1,0)右边时，得到a3时成立当最低点在(1,0)左边时，a-1

10、成立 2. 把a,1看作是数轴上的两点|x-a|则是数轴上任一点X到点a的距离同理|x-1|则是数轴上任一点X到点1的距离从数轴图形中可以看出，只有当x位于a和1两点之间时，|x-a|+|x-1|有最小值a-1若不等式|x-a|+|x-1|2对xR恒成立则只要a-12成立故a3或a1,且x=1时也成立，所以，12.故最后结果为a2 3.用分离参数的方法 要先讨论a当a=0时， -2x+20 在(1,4)不恒成立 舍去当a0时， ax22x-2 ，即a 2/x-2/x2 要使ax2-2x+20在（1,4）上恒成立 则a要大于右边式子在（1,4）的最大值 令t=2/x， t的范围则为（1/2，2）

11、则 2/x-2/x2 = 2t-t2/2 = -1/2(t-2)2 + 2 这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t2 的最大值为 2(但取不到)所以a的范围是 2, 正无穷 4.（1）求导得f(x)=-2x+2ax+4/(x+2）由题意f（x）0在x-1,1上恒成立即不等式x-ax-20恒成立.因此-a-10且a-10因此a-1,1，所以集合A=-1,1（2）由题意x1,x2是方程f（x)=1/x及方程x-ax-2=0两个非零实根.由韦达定理得x1+x2=a,x1x2=-2.所以|x1x2|=根号下a+83因此不等式式m+tm+1|x1x2|恒成立等价于m+tm+13又因为t-1,1.因此m+m-20且m-m-20解得m2或m-2