32独立性检验的基本思想及其应用.ppt

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1、3.2 独立性检验的基独立性检验的基本思想及其初步应用本思想及其初步应用高二数学高二数学 选修选修2-3 第三章第三章 统计案例统计案例两个相关的概念两个相关的概念 对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量，表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量，也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，其不也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，其不同的取值仅表示个体所属的不同类别，除了起分类作用外，无同的取值仅表示个体所属的不同类别，除了起分类作用外，无其他含义，有时

2、也把分类变量的不同取值用数字表示，但这些其他含义，有时也把分类变量的不同取值用数字表示，但这些数字只起区分作用，无数值意义数字只起区分作用，无数值意义. .（1 1）分类变量）分类变量 定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义含义，不同取值之间的运算也有特定的含义. .（2 2）定量变量）定量变量 例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180cm180cm，李立的，李立的身高是身高是175cm175cm，说明张明比李立高，说明张明比李立高180-175=518

3、0-175=5（cmcm）. .性别是否喜欢数学课程吸烟患肺癌在日常生活中，我们常常关心在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系2 2定定量量变变量量回回归归分分析析（画画散散点点图图、相相关关系系数数r r、变变量量 相相关关指指数数R R 、残残差差分分析析）分分类类变变量量独立性检验独立性检验本节研究的是本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题两个分类变量的独立性检验问题. .定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等. .变量变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、

4、国籍等等宗教信仰、国籍等等. .5 5月月3131日是世界无烟日，有关医学研究表日是世界无烟日，有关医学研究表明，许多疾病，如：心脏病、癌症、脑血明，许多疾病，如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手手. .这些疾病与吸烟有关的结论是怎么得这些疾病与吸烟有关的结论是怎么得出的呢？我们来看下面的问题出的呢？我们来看下面的问题. .吸烟与患肺癌列联表吸烟与患肺癌列联表列联表列联表%54. 0%100781742%28. 2%100214849吸烟是否对患肺癌有影响？思考思

5、考1)1)通过图形直观判断两个分类变量是否相关：通过图形直观判断两个分类变量是否相关：三维柱形图三维柱形图从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小.2)2)通过图形直观判断两个分类变量是否相关：通过图形直观判断两个分类变量是否相关：二维条形图二维条形图从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例不患肺癌的比例.3)3)通过图形直观判断两个分类变量是否相关：通过图形直观判断两个分类变量是否相关：等高条形图等高条形图患病患病比例比例不患病不患病比例比例等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例等高

6、条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例.通过数据和图形分析，我们得到的直观判断是通过数据和图形分析，我们得到的直观判断是“吸烟和患肺癌吸烟和患肺癌有关有关”.吸烟患肺癌吸烟与患肺癌列联表 为了回答上述问题，我们先假设为了回答上述问题，我们先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系. . 用用A表示不吸烟，表示不吸烟，B表示不患肺癌，则表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌吸烟与患肺癌没有关系没有关系”等价于等价于“吸烟与患肺癌独立吸烟与患肺癌独立”，即假设，即假设H0等价于等价于 P(AB)=P(A)P(B).把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表把表中的数字用字母代替，得

7、到如下用字母表示的列联表(a+b+c+d)a(a+b)(a+c)adbc0|ad-bc|越小吸烟与患肺癌之间的关系越弱|ad-bc|越大吸烟与患肺癌之间的关系越强在表中，在表中，a恰好为事件恰好为事件AB发生的频数；发生的频数；a+b和和a+c恰好分别为事件恰好分别为事件A和和B发生的频数发生的频数. .由于频率接近于概率，所以在由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下成立的条件下应该有应该有ncanbana(n=a+b+c+d)dbcadcbabcadnK22独立性检验其中其中n=a+b+c+d为样本容量为样本容量. .若H0成立K2应该很小632.56919874214878172099

8、4249777599652kK2的观察值 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量分析，我们构造一个随机变量-卡方统计量卡方统计量（1）根据前面表格中的数据，利用公式（根据前面表格中的数据，利用公式（1）计算得到）计算得到K2的观测值为：的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？那么这个值到底能告诉我们什么呢？ 统计学家经过研究后发现，在统计学家经过研究后发现，在H H0 0成立的情况下，成立的情况下，即在即在H H0 0成立的情况下，成立的情况下，K K2 2的值大于的值大于6.6356.635的概率非常

9、小，近似的概率非常小，近似于于0.010.01，是一个小概率事件，是一个小概率事件. .2(6.635)0.01.P K （2） 也就是说，在也就是说，在H H0 0成立的情况下，对随机变量成立的情况下，对随机变量K K2 2进行多次观测，进行多次观测，观测值超过观测值超过6.6356.635的频率约为的频率约为0.010.01思考 206.635?KH如果，就断定不成立，这种判断出错的可能性有多大 在（在（2 2）中，）中，n越大，近似程度越高，在实际应用中，通常越大，近似程度越高，在实际应用中，通常要求要求a,b,c,d都不小于都不小于5.5. .%99,%99.01. 02,635. 6

10、632.5600吸烟与肺癌有关系的把握认为即有不成立的把握认为因此我们有观测值的概率不超过式可知能够出现这样的由成立的条件下在远远大于现在观测值HHk 上面解决问题的想法类似于反证法.要判断“两个分类变量有关系” ，首先假设该结论不成立，即“两个分类变量没有关系” ，在该假设成立的条件下随机变量 k2的值应该很小，如果由观测数据计算得到的 K2的观测值 k 很大，则在一定程度上说明假设不合理，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值 k 很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝“两个分类变量没有关系”怎样判断怎样判断K2的观测值的观测值k是大还是小呢？是大还是小呢？ 这仅需要确定一个正数这

11、仅需要确定一个正数 ，当，当 时就认为时就认为K2的观测的观测值值 k大大.此时相应于此时相应于 的判断规则为：的判断规则为：0k0kk0k 如果如果 ，就认为，就认为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”；否则；否则就认为就认为“两个分类变量之间没有关系两个分类变量之间没有关系”.我们称这样的我们称这样的 为一为一个判断规则的临界值个判断规则的临界值.0kk0k 按照上述规则，把按照上述规则，把“两个分类变量之间没关系两个分类变量之间没关系”错误的判错误的判断为断为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”的概率为的概率为P( ).20Kk 上面这种利用随机变量上面这种利用随

12、机变量K2来确定在多大程度来确定在多大程度上可以认为上可以认为“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”的方法称为的方法称为两个分类变量的两个分类变量的. .反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理：在假设反证法原理：在假设H0下，如果推出一个矛盾，就下，如果推出一个矛盾，就证明了证明了H0不成立不成立独立性检验原理：在假设独立性检验原理：在假设H H0 0下，如果出现一个与下，如果出现一个与H H0 0相矛盾的小概率事件，就推断相矛盾的小概率事件，就推断H H0 0不成立，且该推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率犯错误的概率不超过这个小概率 你能从

13、上述探究过程中总结出一种直观判断两个分类变你能从上述探究过程中总结出一种直观判断两个分类变量有关系的思路吗？直观判断有何不足？量有关系的思路吗？直观判断有何不足？一般地，假设有两个分类变量一般地，假设有两个分类变量X和和Y，它们的取值分别为，它们的取值分别为x1，x2和和y1，y2，其样本频数列联表，其样本频数列联表(即即22列联表列联表)为为P(K2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828临界值表临界值表例如：例如：若若 k k10.82

14、810.828，则有，则有99.9%99.9%的把握认为的把握认为“X与与Y有关系有关系”；若若 k k6 6635635，则有，则有99%99%的把握认为的把握认为“X与与Y有关系有关系”；若若 k k3 3841841，则有，则有95%95%的把握认为的把握认为“X与与Y有关系有关系”；若若 k k2 2706706，则有，则有90%90%的把握认为的把握认为“X与与Y有关系有关系”；若若 k k22706706，则认为没有充分证据显示，则认为没有充分证据显示“X与与Y有关系有关系”在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（的

15、是（ ）A、若、若K的观测值为的观测值为k=6.635,我们有我们有99%的把握认为吸烟与患的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有个吸烟的人中必有99个患肺病个患肺病B、从独立性检验可知有、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病的可能患肺病C、若从统计量中求出有、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有系，是指有5%的可能性使得推理出现错误的可能性使得推理出现错误D、以上三种说法都不对、以上三种说

16、法都不对c解：根据数据得到如下列联表解：根据数据得到如下列联表患心脏病患其他病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437 根据列联表中的数据，得到根据列联表中的数据，得到635. 6373.167726651048389451175597214143722K所以有所以有99%的把握认为的把握认为“秃顶与患心脏病有关秃顶与患心脏病有关”. 研究人员表示，掉头发在研究人员表示，掉头发在很大程度上是由日渐增大的工很大程度上是由日渐增大的工作压力、不能充分休息、不正作压力、不能充分休息、不正确饮食和睡眠不足等因素引起确饮食和睡眠不足等因素引起的。在接受调查的人群中，有

17、的。在接受调查的人群中，有41%41%的受秃头威胁的人表示，他的受秃头威胁的人表示，他们一日睡觉时间不足们一日睡觉时间不足4 4小时小时. .秃顶心脏病秃顶心脏病？这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论适合住院的病人群体.喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300P(K2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828所以我们有所以我们有95%的把握认为的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系性别与是

18、否喜欢数学课程之间有关系”.例3 为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查得到如下数据：成绩优秀成绩较差总计兴趣浓厚的643094 兴趣不浓厚的227395总计86103189判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？解列出22列联表理文总计有兴趣13873211无兴趣9852150总计236125361例例4 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有人，无

19、兴趣的有98人，人，文科对外语有兴趣的有文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有人，无兴趣的有52人试分析学生选报文、理科与对人试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？外语的兴趣是否有关？例例5、某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优、某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？较大？物理物理化学化学总分总分数学优秀数学优秀228225267数学非优秀数学非

20、优秀14315699注：该年级此次考试中，数学成绩优秀的有注：该年级此次考试中，数学成绩优秀的有360人，非优人，非优秀的有秀的有880人人.物理优秀物理优秀物理非优秀物理非优秀合计合计数学优秀数学优秀数学非优秀数学非优秀合计合计（1）列出数学与物理优秀的）列出数学与物理优秀的2x2列联表如下列联表如下2281323601437378803718691240代入公式可得代入公式可得 2270.1143.K 注：该年级此次考试中，数学成绩优秀的有注：该年级此次考试中，数学成绩优秀的有360人，非优秀的有人，非优秀的有880人。人。物理物理化学化学总分总分数学优秀数学优秀228225267数学非优

21、秀数学非优秀14315699（2）列出数学与化学优秀的）列出数学与化学优秀的2x2列联表如下列联表如下化学优秀化学优秀化学非优秀化学非优秀合计合计数学优秀数学优秀数学非优秀数学非优秀合计合计2251353601567248803818591240（3）列出数学与总分优秀的）列出数学与总分优秀的2x2列联表如下列联表如下总分优秀总分优秀总分非优秀总分非优秀合计合计数学优秀数学优秀数学非优秀数学非优秀合计合计26793360997818803668741240代入公式可得代入公式可得2240.6112.K 代入公式可得代入公式可得22486.1225.K 由上面分析可知，数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算K2的值都大于10.828说明都有99.9%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀有关系，但与总分关系最大，与物理其次.