生活中的优化问题举例上课.ppt

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1、生活中的优化生活中的优化问题举例问题举例高二数学高二数学 选修选修2-2 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数 设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根 （4）列表）列表 （5）判断）判断求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2) 将将y=f(x)的

2、各极值与的各极值与f(a)、f(b）比较比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。 生活中经常遇到求利润最大、用生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通常称为优化问题. .通过前面的学习，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的解决一些生活中的 优化问题优化问题. .例例1:1:海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计cmx128128)2128)(4()( xxxs 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报学

3、校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各上下边各空空2cm,左右各空左右各空1cm,如何设计海报的尺寸，才如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？能使四周空白面积最小？解：设版心的高为解：设版心的高为xcmxcm, ,则宽为则宽为此时四周空白面积为此时四周空白面积为512512=2x+8,=2x+8,x xx 0 x 0类型一：求面积、容积的最大问题类型一：求面积、容积的最大问题分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，你能否设计出积，你能否设计出版

4、心的高，求出版版心的高，求出版心的宽，从而列出心的宽，从而列出海报四周的面积来？海报四周的面积来？因此，因此，x=16是函数是函数s(x)的的极小值点极小值点，也，也是最小值点。是最小值点。 所以，当版心高为所以，当版心高为16cm,宽宽为为8cm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为答：当版心高为16cm,宽为宽为8cm时，海报时，海报四周空白面积最小。四周空白面积最小。求导数，有求导数，有2512( )2,S xx816128128 x于是宽为于是宽为, 05122)( 2 xxs令令; 0)( ,)16, 0( xsx时时当当解得，解得，x=16 (x=-16

5、舍去舍去); 0)( ,),16( xsx时时当当解法二解法二：由解法由解法( (一一) )得得512512( )282 28S xxxxx2 328725122,16(0)xxxx 当当且且仅仅当当时时S S取取最最小小值值即即16 1 12 28 8此此y y = =8 8时时816dmdm答答：应应使使用用版版心心宽宽为为，长长为为，四四周周空空白白面面积积最最小小例例2、在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱一个无盖的方底箱子，箱底边长为

6、多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？子容积最大？最大容积是多少？(P37 T2改编改编)60 xx60 xx解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.2 23 3V V( (x x) )= =6 60 0 x x- - x x = =0 02 2由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子箱子的容积很小的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时

7、时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.练习练习P37 T1一条长为一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为则两个正方形面积和为l22221212x-xx-xS = s +s =( ) +()S = s +s =( ) +()4444ll22221 1=(2x -2 x+)=(2x -2 x+)1616解：设两段铁丝的长度分别为解：设两段铁丝的长度分别为x x, ,l l- -x x, ,其中其中0

8、0 x x 0它表示它表示 f(r) 单调递增，单调递增， 即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f (r)0 它表示它表示 f(r) 单调递减单调递减， 即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大ryo)3(8 . 0)(23rrrfp231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什

9、么吗？ 练习：练习：某商品生产成本与产量某商品生产成本与产量q q的函数关系式为的函数关系式为100 4Cq , , 价格价格p p与产量与产量q q的函数关系式为的函数关系式为1258pq 求产量求产量 q q 为何值时，利润为何值时，利润 L L 最大？最大？练习练习P37 T61(25)(1004 )8LpqCq qq解解：利利润润21211008qq 121,0,4LqL 令令84q 求求得得0L 当当时时, q84, q84,0L 当当时时, q84, q84,84qL当当产产量量 为为时时，利利润润 最最大大21211008qq 1(25)(1004 )8LpqCq qq另另解解：

10、利利润润2184124bqLa 当当时时， 的的值值最最大大例例4 4：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省所用的材料最省？P37 T32 2V Vh h = = R RS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得，得 ，则，则2 22 22 2V V2 2V VS S( (R R) )= = 2 2 R R+ +2 2 R R = =+ +2 2 R R R RR R2 22V2VS(R)=-+4S(R)=-+4 R =0R =0R R令令3 3V VR =R

11、 =2 2 解得，解得， ，解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为h h，底半径为，底半径为R R，则表面积则表面积Rh类型三：用料最省、费用最低问题类型三：用料最省、费用最低问题答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省3 33 32 22 23 3V VV V4 4V VV Vh h = = = = = 2 2 R R 2 2 V V ( () )2 2 即即h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值3 3V VR =R =2 2 当当 时，时， 练习：练习：如图如图, ,铁路线上铁路线上ABAB段长段长

12、100km100km, 工厂工厂C C到铁路的距离到铁路的距离CA=20km.CA=20km. 现在要在现在要在ABAB上某一处上某一处D,D,向向C C修修一条公路一条公路. .已知铁路每吨千米与已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为公路每吨千米的运费之比为3:5.3:5.为了使原料为了使原料从供应站从供应站B B运到工厂运到工厂C C的运费最省的运费最省,D,D应修在何处应修在何处? ?B D AC解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD= km.2 22 22 20 0 + +x x = =2400 x 又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3 3

13、t t元元, ,则公路上每吨千则公路上每吨千米的运费为米的运费为5 5t t元元. .这样这样, ,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B B运到工厂运到工厂C C的总运费为的总运费为25354003 (100)(0100).yt CDt BDtxtxx 25354003 (100)(0100).yt CDt BDtxtxx 令令 在在 的范围内有唯一解的范围内有唯一解x=15.25(3) 0400 xytx 0100 x 所以所以,当当x=15(km),(km),即即D D点选在距点选在距A A点点1515千米时千米时, ,总运费最省总运费最省. .B D AC类型四类型四 磁盘的最大存储量问题

14、磁盘的最大存储量问题(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2) 你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？Rr例5：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存 储量越大？(2) r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：存储量解：存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量,mrR.2nrp .22rRrmnrnrmrRrfpp（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求 的最大值，计算 xf , 0rf ,2rRmnrfp令 0rf解得2Rr , 02; 02rfRrrfRr时，当时，当因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为2Rr .22mnRp 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。