3平均值不等式.ppt

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1、平均值不等式主备：冯宗明 喻浩 徐洪燕 审核：牟必继海到无边天作岸，山登绝顶我为峰海到无边天作岸，山登绝顶我为峰复习：复习：定理定理1：对任意实数：对任意实数a,b， 有有a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）定理定理2：对任意正数：对任意正数a,b， 有有 （当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）2abab例例1、设、设a，b，c为任意实数，求证：为任意实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca（当且仅当（当且仅当a=b=c时取时取“=”）,?,3,?思考1基本不等式 给出了两个实 数的平均关系 这个不等式能否推广呢例如 对于个实数 会有怎样的不等式成立333,3,

2、, ,:, ,3,.a b ca bcRabcabcabc类比 基 本 不等式的形式 我 们猜想对于个实数可能有 如果那么当且仅当时 等号成立,?,3,?思考2基本不等式 给出了两个正数的算数平均与几何平均的关系 这个不等式能否推广呢例如 对于个正数 会有怎样的不等式成立.,:,等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当那么那么如果如果可能有可能有个正数个正数对于对于们猜想们猜想我我式式形形的的等式等式不不本本基基比比类类cbaabccbaRcbacba 333:,?我们先证明我们先证明不等式的推出过程不等式的推出过程仍然类比基本仍然类比基本如何证明这个猜想呢如何证明这个猜想呢.,等号成立等号成立时

3、时当且仅当当且仅当那么那么已知已知cbaabccbaRcba 3333 abccabbabaabccba33333223333 因为证明 abcabbacba3332233 .;2233322333331yxyxyxyxyxyyxxyx cabcabcbacba 222 . 021222 accbbacba.,等号成立时当且仅当所以cbaabcba 3333 cbaabccbabacba 322 abcbcacbabacba32222 就可以得到就可以得到等变形等变形对上述结果作简单的恒对上述结果作简单的恒,.,等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当那么那么如果如果定理定理cbaabccbaRc

4、ba 333:这这个个不不等等式式可可以以表表述述为为.小小于于它它们们的的几几何何平平均均三三个个正正数数的的算算术术平平均均不不:,一般的情形一般的情形基本不等式可以推广到基本不等式可以推广到事实上事实上.,等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当即即于于它它们们的的几几何何平平均均它它们们的的算算术术平平均均不不小小个个正正数数对对于于nnnnnaaaaaanaaaaaan 21212121例例2、已知、已知a，b，c都是正数，都是正数， 求证：求证：(a+b+c)(ab+bc+ca)9abc（当且仅当（当且仅当a=b=c时取时取“=”）例例3、（、（1）已知）已知x2,求函数求函数 的最小

5、值；的最小值；（2）已知）已知x,y都是正数且都是正数且xy=3，求，求2x+y的最小值。的最小值。12yxx .,xyzzyxRzyx2753 求求证证已已知知例例, 033 xyzzyx因为证明 .,xyzzyxxyzzyx272733 即所以例例4、已知、已知0 x4.5，当，当x取什么值时，取什么值时， x2(9- -2x)的值最大？最大值是多少？的值最大？最大值是多少？例例5、一农户计划围造鸭场，采用了以下两、一农户计划围造鸭场，采用了以下两种围造方案：种围造方案：（1）该农户用长为）该农户用长为100m的篱笆围成一个矩的篱笆围成一个矩形养鸭场，问：怎样围法才能使养鸭场的面形养鸭场，

6、问：怎样围法才能使养鸭场的面积最大？最大面积是多少？积最大？最大面积是多少？（2）若该农户利用一面院墙围出）若该农户利用一面院墙围出6间面积均间面积均为为100m2的养鸭场，怎样围才能使所用篱笆的养鸭场，怎样围才能使所用篱笆的长度最短（精确到时的长度最短（精确到时0.1m）。）。ax511 .图图?,.子的容积最大子的容积最大才能使盒才能使盒是多少时是多少时边长边长方形方形的正的正去去问切问切的盒子的盒子作成一个无盖方底作成一个无盖方底转转折折再将它的边沿虚线再将它的边沿虚线方形方形正正小小同的同的大小相大小相去去角切角切的正方形铁片的各的正方形铁片的各长是长是把一块把一块如图如图例例a5116 则的容积为无盖方底盒子设切去的正方形边长为解,Vx xxaV22 xxaxa42241 ax511 .图图 ,27234224133axxaxa .,.,积最大容子的盒时长是原来正方形边长的即当切去的小正方形边取最大值此时号不等式取等时当即当且仅当612726423aVaxxxa .算算的的结结果果用用函函数数方方法法实实验验印印证证计计