§24隐函数与参量函数微分法1.ppt

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1、2.4 隐函数与参量函数微分法隐函数与参量函数微分法一、隐函数的导数一、隐函数的导数 定义定义: 由方程由方程F(x,y)=0所确定的函数所确定的函数y=y(x)称为称为. y=f (x)形式的函数称为形式的函数称为. 如果从如果从F(x,y)=0中解得中解得y=f (x), 称为称为. 问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?例例1 1:求由方程求由方程 xyex +ey =0所确定的隐函数所确定的隐函数y=y(x)0, xdxdydxdy的导数及其在的导数及其在x=0处的值处的值, 即即例例2 2: 设设x4xy +y4=1, 求求 y 在点在点(0,

2、 1)处的值处的值.例例3:.,lnarctan2222dxyddxdyyxxy求求设设 再证反函数的求导法则再证反函数的求导法则dxdyy )(1)(1ydxdy 设设x= (y)为直接函数为直接函数, y=f (x)为其反函数为其反函数, y=f (x)可可视为由方程视为由方程x (y)=0确定的一个隐函数确定的一个隐函数. 由隐函数求导法则由隐函数求导法则, 在方程在方程x= (y)两边对两边对x求导求导,得得即即二、对数求导法二、对数求导法 方法方法: 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求然后利用隐函数的求导方法求出导数导方法求出导数. 目的是利用对数的性质简化求

3、目的是利用对数的性质简化求导运算导运算. 对数求导法对数求导法 .例例5:.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例6:6:.,dxdyyxxy求求设设 例例4 4：的导数的导数求求)4)(3()2)(1( xxxxy2211nnaxaaxaaxayy .),0(2sinyxxyx 求求、设、设)1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx .,)()()(12121dxdyaxaxaxynanaa求求、设设 )()()()(ln)()()(1xuxuxvxuxvxfxf 一般地一般地, 对幂指函数对幂指函数 (u(x)0)的情形的情形:等式两边取对数等式两

4、边取对数, 得得 两边对两边对x求导得求导得)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数 )()(tytx若参数方程若参数方程则称则称.确定确定y与与x间的函数关系间的函数关系,消去参数消去参数, 得得:例如例如:由由 22tytx,2xt 得得参量函数参量函数y= -1(x)22)2(xty 42x xy21 问题问题: 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?连续的反函数连续的反函数 t = -1(x), 在参数方程在参数方程 )()(tytx中中, 设函数设函数x= (t)具有单调具有

5、单调则则 再设函数再设函数x= (t), y= (t)都可导都可导, 且且(t) 0, 由复合由复合函数及反函数的求导法则得函数及反函数的求导法则得:dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即dxdtttdtd)()( )(22dxdydxddxyd 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即若设函数若设函数x= (t), y= (t)都二阶可导都二阶可导, 且且(t) 0, 则则例例11: 求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax在在处的切线方程处的切线方程.例例

6、12:12:3222,11ydxydyxdxdytytx 证明证明设设例例13(书后练习书后练习) :332,arctan)1ln(dxydttytx求求设设 四、相关变化率四、相关变化率dtdydtdx与与设设x=x(t)及及y=y(t)都是可导函数都是可导函数, 而变量而变量x与与y之间之间在一定的关系在一定的关系, 这样两个相互依赖的变化率称为这样两个相互依赖的变化率称为相关相关变化率变化率.存在某种关系存在某种关系, 从而它们的变化率从而它们的变化率之间也存之间也存 相关变化率问题相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率出另一个变化率?解解:

7、 设时刻设时刻 t 水深为水深为h(t), 水库内水量为水库内水量为V(t), 则则0604000m234000)(htV dtdhhdtdV 38000上式两边对上式两边对t求导得求导得,/288003小时小时米米 dtdV,20米时米时当当 h小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率 例例14: 河水以河水以8米米3/秒的流量流入水库中秒的流量流入水库中, 水库形水库形状是长为状是长为4000米米, 顶角为顶角为120 的水槽的水槽, 问水深问水深20米时米时, 水面每小时上升几米水面每小时上升几米?y的函数的求导的函数的求导 设函数设函数y=y(x)由方程由方程e

8、 y +xy=e所确定所确定, 求求.022 xdxyd适用的范围适用的范围.,52arctan2dxdyetyytxt求求设设 ) 10(1sin 222yytttx, )(xyy .dd22xy五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: 直接对方程两边求导直接对方程两边求导; 对数求导法对数求导法: 对方程对方程(函数函数)两边取对数两边取对数, 经适当运经适当运算后算后, 按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用了复合函数的求导实质上是利用了复合函数的求导法则法则; 相关变化率相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定

9、两个相互依赖的变化率变化率; 解法解法: 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, 用链式求导用链式求导法求解法求解.思考题思考题 )()(tytx )()(ttyx )0)( t 设设, 由由可知可知:)()(ttyx 对吗？对吗？思考题解答思考题解答不对不对. xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 求 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxddxe111. 设yxdd, 求 01sin3232ytettxy.dd0txy解解： txddyetydd0ddtxy2. 设方程组两边同时对 t 求导, 得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0t3. 设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分别用对数微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx4.)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb