江苏省常州市2019届高三数学上学期期末考试试题(附加题).pdf

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1、江苏省常州市江苏省常州市 20192019 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试数学附加题数学附加题21. 【选做题】在A A、B B、C C 三小题中只能选做2 2 题，每小题 1010 分，共 2020 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A A。 选修 42:矩阵与变换已知点(1，2）在矩阵A A错误错误! !对应的变换作用下得到点(7，6)（1） 求矩阵A A;（2) 求矩阵A A的特征值及对应的特征向量B B。 选修 4。4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系直线l的参数方程为错误错误! !(t为参数） ，曲线C

2、的极坐标方程为2错误错误! !sin错误错误! !,求直线l被曲线C所截的弦长C C. 选修 4。5:不等式选讲已知a0，b0，求证：ab1ab错误错误! !错误错误! !.【必做题】第 2222，2323 题,每小题 1010 分, ,共 2020 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. （本小题满分 10 分)如图，在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知正四棱锥 PABCD 的高 OP2，点 B,D和 C，A 分别在 x 轴和 y 轴上，且 AB 2，点 M 是棱 PC 的中点（1) 求直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值；1(2） 求二面角 APBC 的余弦值（第 2

3、222 题）23。 (本小题满分 10 分） 是否存在实数 a，b， c 使得等式 135246n （n2)（n4)错误错误! !(an bnc）对于一切正整数 n 都成立？若存在，求出 a，b，c 的值；若不存在，请说明理由。江苏省常州市江苏省常州市 20192019 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准21. A21. A。 （1） 由题意知错误错误! !错误错误! !错误错误! !，即错误错误! !解得错误错误! !所以A A错误错误! !.(3 分）(2)f（)错误错误! !（1） （2)634，令f（)0，得340，解得22

4、211，24.(5 分)2当11 时，错误错误! !取错误错误! !所以属于11 的一个特征向量为错误错误! !,当24 时，错误错误! !取错误错误! !所以属于24 的一个特征向量为错误错误! !.(9 分)所以矩阵A A的特征值为11，24，对应的一个特征向量分别为错误错误! !，错误错误! !.(10 分)B.B. 直线l的普通方程为x 2y10,曲线C的直角坐标方程为(x1） （y1) 2， （4 分）所以曲线C是圆心为C(1，1） ，半径为r错误错误! !的圆,(6 分)所以圆心C(1，1)到直线l的距离为d错误错误! !错误错误! !,（8 分)所以直线l被曲线C所截的弦长为 2

5、错误错误! !2错误错误! !错误错误! !.(10 分）C.C. 因为a0,b0，由柯西不等式可得(ab1）(b1a）（错误错误! !错误错误! !错误错误! !） ，当且仅当错误错误! !错误错误! !错误错误! !时取等号,所以(ab1) （错误错误! !错误错误! !错误错误! !） .又因为ab10，错误错误! !错误错误! !错误错误! !0，所以ab1错误错误! !错误错误! !错误错误! !。 （10 分)2222。 （1) 记直线 AM 与平面 PAB 所成的角为 ,A（0,1，0） ，B(1，0，0） ，C（0，1，0） ，P(0，0，2)，M错误错误! !,则错误错误!

6、!（1，1，0） ，错误错误! !(0,1，2),错误错误! !错误错误! !，设平面 PAB 的法向量为n n（x,y,z)，所以错误错误! !即错误错误! !取n n(2，2，1)，所以 sin错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !，(5 分)即直线AM与平面PAB所成角的正弦值为错误错误! !.（6 分)（2) 设平面PBC的法向量为n n1 1（x，y，z)，错误错误! !（1,1，0),错误错误! !(1，0，2),由错误错误! !即错误错误! !取n n1 1（2,2，1)，所以 cosn n，n n1 1错误错误! !错误错误! !错误错误! !,（9 分）由图

7、可知二面角APBC的余弦值为错误错误! !。(10 分）2323。 在 135246n（n2)(n4）错误错误! !(an bnc)中，令 n1，得 15错误错误! !（abc） ；令 n2，得 63错误错误! !(4a2bc） ；12令 n3，得 168（9a3bc） ，4即错误错误! !解得错误错误! !（3 分)下面用数学归纳法证明：等式 135246n(n2)(n4)错误错误! !(n 9n20）对于一切正整数 n 都成立当 n1 时，等式成立；假设当 nk 时,等式成立，即32222222135246k（k2)(k4)错误错误! !(k 9k20） (4 分)当 nk1 时,135246k(k2）(k4)（k1)(k3)(k5）错误错误! !(k 9k20)(k1） （k13）（k5) k(k1)（k4)（k5)(k1） （k3）(k5）4错误错误! !(k1)(k5）(k 8k12)错误错误! !(k11)(k15）错误错误! !（k1) 9(k1)20,即等式对 nk1 也成立 （8 分）综上可得，等式 135246n（n2)(n4）错误错误! !（n 9n20)对于一切正整数 n都成立所以存在实数 a,b，c 符合题意，且错误错误! !(10 分）222224