(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.5 二次函数与幂函数(讲).pdf

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1、第第 0505 节节二次函数与幂函数二次函数与幂函数【考纲解读】【考纲解读】考 点考纲内容5 年统计分析预测1.1.与二次函数相关的单调性、最值问题。1。了解幂函数的概念掌握幂函数二次函数与幂函数y x, y x2y x3, y x1，11y , y x2的图象x除单独考查外，多在2014 浙江文 15；理 15；2015 浙江文 20;理 18；2016 浙江理 18；2017 浙江 5；2018 浙江 7，8，17。题目中应用函数的图象和性质;2.2.幂函数的图象与性质的应用。3 3。备考重点：。备考重点：（1）“三个二次”的结合问题；（2）幂函数图象和性质.【知识清单】【知识清单】和性质

2、。2。了解幂函数的变化特征.1.1.幂函数幂函数（1)幂函数的定义一般地,形如yx的函数称为幂函数,其中x是自变量，为常数.（2)常见的 5 种幂函数的图象(3）常见的 5 种幂函数的性质函数特征性质定义域yxyx2yx3yx错误错误! !yx1x|xR R，且x0y|yR R,且y0奇R RR R0，）偶R R0,)值域奇偶性2.2.二次函数二次函数R R奇R R奇0, ）非奇非偶（1）二次函数解析式的三种形式:一般式：f(x)axbxc(a0).顶点式：f（x)a（xm) n（a0），顶点坐标为（m，n）.零点式:f（x）a（xx1)(xx2）（a0），x1，x2为f（x）的零点.(2)二

3、次函数的图象和性质解析式图象22f(x)ax2bxc(a0)f（x)ax2bxc（a0。a=2,b=1,c=-3【领悟技法】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;（2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解【触类旁通】【变式一】【2017 湖南岳阳县第一中学模拟】若,函数与的值至少有一个为正数,则实数 的取值范围为(）A. (0，4 B。 （0,8) C。 （2，5) D.【答案】B【解析】当当若时，若=时,显然不成立=0

4、，即时结论显然成立;即可,即则0，时只要，选 B【变式二】【浙江省东阳中学高一 6 月月考】已知 为实数，要使函数f（x）=x24x+92m+2m在区间0，4上的最大值是 9，则m的取值范围是_。【答案】【解析】分析:利用二次函数的对称轴判定函数的最值,再讨论何时取到最大值和最小值，进而得到答案详解：，其对称轴为且,若即解得此时，且若则由综上所述,，即,，得，也成立；,，,，,，考点 3 二次函数的综合应用【31】【2017 湖南衡阳三次联考】数学统综有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”。意思是说“在凹（或凸)函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大

5、的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形。现已知凹函数fx x22x2，在12上取三个不同的点a, fa,b, fb，c, fc，均存在fa, fb, fc为,m m23三边长的三角形，则实数m的取值范围为(）222A.0,1 B.0, C。0,2 D.2,22【答案】A0 m 1,故选【解析】由题意可知，fx x22x2，x 0或2，m2m 2 2，A。【3-2】【浙江省嘉兴市第一中学 20172018 学年 10 月月考】二次函数的值域为，且,则的最大值是_【答案】【解析】二次函数的值域为，且，又，即，由函数当在上是增函数可得，对于函数，时,函数 有最大值为 ，故答案为 。【33】

6、【2018 届浙江省杭州市第二中学 6 月热身】已知函数，若存在实数的取值范围是_【答案】.中在的符号容易判断,当有解；当时，在时,当有解，故，使得且同时成立，则实数【解析】分析：从函数形式上看，,因此当，可求出 的取值范围详解：当时，所以在有解，则或,也即是当所以或,，所以（无解）,故在)有解，此不等式组无解综上， 的取值范围为【领悟技法】二次函数求最值问题，一般先用配方法化为ya(xm) n的形式，得顶点(m，n）和对称轴方程xm，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型:(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之

7、外;（3)顶点固定，区间变动,这时要讨论区间中的参数讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值【触类旁通】【变式一】【2017 湖北九江模拟】已知fxx22(a2)x4，如果对x31 ， ，fx0恒成立，则实数a的取值范围为_.【答案】(,4)【解析】因为fxx22(a2)x4，对称轴x(a2)，对x31 ， ，fx0恒成立，所以讨论对称轴与区间3，1的位置关系得：(a2) 33 (a2) 1(a2) 1或或f (3) 0 0f (1) 0122解得a或1 a4或 a1,所以a的取值范围为(,4)。【变式二】已知二次函数f(x）axbx1(a,bR R)，xR

8、R.(1)若函数f（x)的最小值为f(1）0,求f（x)的解析式，并写出单调区间；21212（2)在(1)的条件下,f(x)xk在区间3,1上恒成立，试求k的取值范围.【答案】（，1)。【解析】（1）由题意知b 1a 1解得 2ab 2f (1) ab1 0所以fxx22x1，由fx(x1)2知,函数fx的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1。1 xk在区间3,1上恒成立,即k x2x1在区间3,1上（2）由题意知,x22x恒成立,令gxx2x1，x3，1,gx在区间3，1上是减函数，则gxming(1) 1,所以k 1，故k的取值范围是(，1）.考点 4二次函数根的分布【4-1】【福建

9、省南平市 2017-2018 学年高一下学期期末】不等式，则函数的图象大致为（）的解集为A。 B.C。【答案】A D.【解析】分析：由条件可得 a0，x x+ 0 的解集为x2x1,利用根与系数的关系求得 a=1，c=2，从而得到函数 y=ax -x+c=x x+2=（x1)（x+2），由此得到函数 y=ax x+c 的图象详解：不等式 ax x+c0 的解集为x|2x1，a0,故 x x+ 0 的解集为x|2x12 和 1 是方程 x x+ =0 的两个根,故2+1= ，21= ，解得 a=1，c=2故函数 y=ax x+c=x故选:A【4-2】若方程x2mx1 0的两实根分别为,，且0 1

10、 2，则m的取值范围是。【答案】(2,)【解析】因为关于x的方程x2 mx 1 0的两个根为,，且0 1 2 f (1) 02m 05则满足，这样可以解得m的范围(2,).2f (2) 052m 05222 2222222x+2=（x-1）（x+2），其图象为 A，【43】已知关于x的方程a( )x( )x2 0在区间1,0上有实数根,则实数a的取值范围是。【答案】1,0【解析】当a 0时,方程为( )x2 0，解得x 1,符合；当a 0时,记f (m) am2m2，其中m ( )x.当x1,0时，m ( )x1,2，所以题目条件等价于函数f (m) am2m2在区间1,2内有零点。当a 0时

11、有函数对称轴x 111 0，若 18a 0，即a ,此时f (m) m2m2的零点为2a8811m 4，不符合。因为f (2) 4a 0， 18a 0,即a ,所以可知对称轴x 482a1214121212，画图可知此时f (m)在区间1,2内无零点.当a 0时有函数对称轴x 1 0，此时 18a 0恒成立.因为f (2) 4a 0，所以有2af (1) a 1 0，解得a 1。所以此时1 a 0综上可得，1 a 0。【领悟技法】【领悟技法】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与 x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式 ，相应区间端点函数值来考虑【触类旁通】【触类旁

12、通】【变式一】【2018 届浙江省台州中学高三模拟】程（），若方程无实根，则方A。 有四个相异实根 B. 有两个相异实根C。 有一个实根 D。 无实数根【答案】D【解析】分析：将函数上，由方程有实根。详解:因为抛物线由方程即对任意的所以方程开口向上,必在直线，没有实根，故选 D。上方，看成抛物线的方程，由于抛物线,从而得出的开口向没无实数根可知,对任意的无实数根可知，抛物线,【变式二】【2017 贵州遵义第四中学模拟】已知关于x的方程x2a1xab10的两个根分别为,其中0,1,1,则b1的取值范围是（）a 1A。2,0 B.0,2 C.1,0 D.0,1【答案】A【解析】设函数fx x2a1

13、xab1，则问题转化为函数fx的零点在0,1,1,内,由二次函数fx x a1xab1的根的分布得出不等式组2f1 0f0 02ab3 0ab1 0,在平面直角坐标系aOb中画出不等式组2ab3 0表示的平面区域如图，则问题转化为求动点ab1 0b1的取值范围问题，因为kMB 0，所以a1Pa,b与定点M1,1连线的斜率kMP2 kMP 0，应填答案 A。考点 5幂函数的图象与性质【5-1】【2018 届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上期中】若幂函数y x1, y xm与y xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为 （）A。1 m 0 n 1 B.1 n 0 m C。1

14、 m 0 n D。1 n 0 m 1【答案】D【5-2】【2018 届安徽省合肥市三模】已知上单调递增，则实数 的值是（）A。 -1，3 B.,3 C. 1, ，3 D.， ,3【答案】B，若为奇函数,且在【解析】分析：分别研究五个幂函数的奇偶性与单调性，从而可得结果。详解：因为当时，在上单调递增,所以，排除选项；为非奇非偶函数，不满足条件，排除 ,故选 B.点睛:特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法,这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性,这种方法主要适合下列题型：(1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2)求范围问题（可在选项中取特殊值

15、，逐一排除)；（3）图象问题(可以用函数性质及特殊点排除）；（4)解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.【53】【2018 届上海市上海师范大学附属中学高三上期中】已知a 31 2a，则实数a的取值范围是_.331【答案】,4,32【解析】因为y x3是 R 上的增函数，所以111，解得a 4或 a 3，故填a 31 2a2,41,3.2【领悟技法】【领悟技法】1幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴（简记为“指大图低”)，在(1，）上,幂函数中指

16、数越大，函数图象越远离 x 轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【触类旁通】【触类旁通】【变式一】已知幂函数fxx(m2m)1(mN*)，经过点(2，2）,试确定m的值，并求满足条件f (2a) f (a1)的实数a的取值范围 3【答案】1,2【解析】幂函数fx经过点(2,2)，22(m2m)1，即2 2(m2m)1。m2m 2。解得m1或m2.又mN*，m1.fxx,则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数2a 031)，得

17、a1 0由f (2a) f (a，解得1 a .22a a11212 3a的取值范围为1,.2【变式二】【2018 届贵州省遵义市第四中学高三上学期第一次月考】若偶函数22551y fx在,0上单调递减，且a f2,b f3，c f23，则下列不等式成立的是（ )A。a b c B.b a c C.c a b D。c b a【答案】C【易错试题常警惕】【易错试题常警惕】易错典例易错典例 1:1:若函数ymxx5 在2，)上是增函数，则m的取值范围是_易错分析：易错分析：忽视m 0正确解析正确解析: :m 0时，函数在给定区间上是增函数；m 0时，函数是二次函数,对称轴为x 1 2,2m11，综

18、上0 m 442由题意知m 0，00 尤其是易丢0 时的情况温馨提示：温馨提示：幂函数yx(R)当指数在不同范围内时其图象也会随着变化,注意分类讨论思想的运用【学科素养提升之思想方法篇】【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好,隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:”数形结合百般好,隔裂分家万事休。”数”与”形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过”以形助数”或”以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解

19、题途径的目的。向量的几何表示，三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果。【典例】【河北省衡水中学 2017-2018 学年高一下期末】设集合若A. B。 C.中恰含有一个整数 ，则实数 的取值范围是（） D。，集合【答案】A【解析】详解：利用函数与的图像分析如下：,所以对称轴位于 轴的右侧，零点 在之间，由恰含有一个整数,零点 在成立，由此解之间，由零点存在性

20、定理可得，得,且当时，满足题意，故尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in ourbusy schedule. We proofread the content carefully before the release ofthis article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. Ihope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Partof the text by the users care and support, thank you here! I hope tomake progress and grow with you in the future.