(浙江专版)2018年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式学案 新人教A版必修5.pdf

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1、3 3。4 4错误错误! !预习课本预习课本 P97P97100100，思考并完成思考并完成(1)基本不等式的形式是什么?需具备哪些条件？(2）在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面？(3）一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？错误错误! !1重要不等式当a,b是任意实数时，有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式(1）有关概念：当a，b均为正数时，把错误错误! !叫做正数a，b的算术平均数，把错误错误! !叫做正数a，b的几何平均数（2）不等式:当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即错误错误! !错误错误! !，当且仅当ab时，等号成立22（

2、3）变形：ab错误错误! !错误错误! !，ab2错误错误! !（其中a0，b0，当且仅当ab时等号成立）点睛基本不等式成立的条件：a0 且b0；其中等号成立的条件:当且仅当ab时取等号，即若ab时，则错误错误! !错误错误! !,即只能有错误错误! !错误错误! !.错误错误! !21判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)（1）对任意a，bR，ab2ab，ab2错误错误! !均成立()(2）若a0，则a错误错误! !2错误错误! !4（)（3)若a0,b0，则ab错误错误! !()解析：(1)错误任意a,bR，有ab2ab成立，当a，b都为正数时,不等式a22222b2错误错误!

3、 !成立(2)错误只有当a0 时,根据基本不等式，才有不等式a错误错误! !2错误错误! !4 成立(3）正确因为ab错误错误! !，所以ab错误错误! !。答案：(1)（2)(3）2若ab0，则下列不等式成立的是（）Aab错误错误! !错误错误! !Ba错误错误! !错误错误! !bCa2ab2b错误错误! !Da错误错误! !错误错误! !b解析：选 Baaa2错误错误! !错误错误! !错误错误! !b，因此 B 项正确3若x0，则x错误错误! !2 有（)A最小值 6B最小值 8C最大值 8 D最大值 3解析：选 B由x错误错误! !22错误错误! !28（当且仅当x错误错误! !，即

4、x3 时，取等号)，故选 B。4利用基本不等式求最值，下列运用正确的是(）Ayx| 错误错误! !2错误错误! !4错误错误! !0Bysinx错误错误! !2错误错误! !4（x为锐角）C已知ab0，错误错误! !错误错误! !2错误错误! !2Dy3 错误错误! !2错误错误! !4解析：选 D在 A 中，4错误错误! !不是常数，故 A 选项错误；在 B 中，sinx错误错误! !时无解，y取不到最小值 4，故 B 选项错误；在 C 中，错误错误! !，错误错误! !未必为正，故 C 选项错误；在 D 中，3 ，错误错误! !均为正,且 3 错误错误! !时，y取最小值 4，故 D 选项

5、正确xxx2利用基本不等式比较大小典例(1)已知ma错误错误! !（a2）,n22b（b0),则m，n之间的大小关系是（)AmnCmnBmn D不确定2(2)若ab1，P错误错误! !，Q错误错误! !(lgalgb)，Rlg错误错误! !,则P，Q，R的大小关系是_解析（1)因为a2，所以a20，又因为ma错误错误! !(a2)错误错误! !2，所以m2错误错误! !24，由b0，得b20，所以 2b22,n22b21，所以 lgalgb0，所以Q错误错误! !（lgalgb）错误错误! !P;Q错误错误! !(lgalgb）lg错误错误! !lg错误错误! !lg错误错误! !lg错误错误

6、! !R。所以PQR.答案(1)A(2）PQ0.活学活用已知a，b，c都是非负实数，试比较ab错误错误! !错误错误! !与错误错误! !(abc）的大小解：因为ab2ab,所以 2(ab）(ab) ，所以错误错误! !错误错误! !(ab),同理bc错误错误! !(bc)，错误错误! !错误错误! !（ca），所以ab错误错误! !错误错误! !错误错误! !(ab）（bc）(ca）,即abbc错误错误! !错误错误! !(abc),当且仅当abc时，等号成立。222222222222222利用基本不等式证明不等式典例已知a，b，c均为正实数, 求证:错误错误! !错误错误! !错误错误!

7、!3.证明a，b，c均为正实数，错误错误! !错误错误! !2（当且仅当a2b时等号成立），3ca错误错误! !2(当且仅当a3c时等号成立),错误错误! !错误错误! !2（当且仅当 2b3c时等号成立)，将上述三式相加得错误错误! !错误错误! !错误错误! !6(当且仅当a2b3c时等号成立)，错误错误! !错误错误! !错误错误! !3(当且仅当a2b3c时等号成立)，即错误错误! !错误错误! !错误错误! !3（当且仅当a2b3c时等号成立）利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理 ,经过逐步的逻辑推理,最后转

8、化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”（2)注意事项:多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用活学活用已知a，b，c为正实数， 且abc1，求证:错误错误! !错误错误! !错误错误! !8.证明：因为a，b，c为正实数，且abc1，所以错误错误! !1错误错误! !错误错误! !错误错误! !.同理,错误错误! !1错误错误! !,错误错误! !1错误错误! !。上述三个不等式两边均为正,相乘得错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误!

9、 !错误错误! !错误错误! !8,当且仅当abc错误错误! !时，取等号.利用基本不等式求最值典例(1)已知 lgalgb2,求ab的最小值（2)已知x0，y0，且 2x3y6，求xy的最大值(3)已知x0，y0，错误错误! !错误错误! !1，求xy的最小值解(1)由 lgalgb2 可得 lgab2,即ab100，且a0,b0，因此由基本不等式可得ab2错误错误! !2错误错误! !20,当且仅当ab10 时，ab取到最小值 20。(2）x0，y0，2x3y6，xy错误错误! !（2x3y)错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !，当且仅当 2x3y,即x错

10、误错误! !，y1 时,xy取到最大值错误错误! !。(3）错误错误! !错误错误! !1，xy(xy）错误错误! !1错误错误! !错误错误! !9错误错误! !错误错误! !10,又x0，y0，错误错误! !错误错误! !102错误错误! !1016，当且仅当错误错误! !错误错误! !,即y3x时，等号成立由错误错误! !得错误错误! !即当x4，y12 时，xy取得最小值 16。22(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧

11、因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性,这是解题成败的关键（2)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换;统一变元；平方后利用基本不等式（3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用活学活用21已知a0,b0， 错误错误! !错误错误! !，若不等式 2ab9m恒成立，则m的最大值为a（）A8C6 B7 D5解析：选 C由已知，可得 6错误错误! !1，2ab6错误错误! !(2ab）6错误错误! !6(54）54，当且仅当2ab错误错误! !时等号成立，9m54,即m6，故选 C.22设ab0，则a错误错误! !错误错误! !的最小值是（)A1C3 B2 D4解析:选 D因为a

12、b0，所以ab0，所以a错误错误! !错误错误! !a(ab)错误错误! !ab错误错误! !2错误错误! !2错误错误! !4，当且仅当a（ab）错误错误! !且ab错误错误! !，即a错误错误! !，b错误错误! !时等号成立。利用基本不等式解应用题典例某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20元，求：（1)仓库面积S的最大允许值是多少?(2）为使S达到最大,而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解(1）设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米，而顶部面

13、积为Sxy，依题意得，40 x245y20 xy3 200,2由基本不等式得3 2002错误错误! !20 xy120 xy20 xy,120错误错误! !20S.所以S6错误错误! !1600，即（错误错误! !10）(错误错误! !16）0，故错误错误! !10,从而S100，所以S的最大允许值是 100 平方米，（2）取得最大值的条件是 40 x90y且xy100，求得x15,即铁栅的长是 15 米求实际问题中最值的解题 4 步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式（2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题（3）在定义域内,求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等

14、式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性(4)正确写出答案活学活用某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元）与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*），求当每台机器运转多少年时,年平均利润最大，最大值是多少解：每台机器运转x年的年平均利润为 18错误错误! !，而x0，故错误错误! !182错误错误! !8，当且仅当x5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万元故当每台机器运转 5 年时，年平均利润最大,最大值为 8 万元yx层级一学业水平达标1下列结论正确的是()A当x0 且x1 时,lgx错误错误!

15、 !2B当x0 时，x错误错误! !2C当x2 时，x错误错误! !的最小值为 2D当 0 x2 时，x错误错误! !无最大值解析：选 BA 中，当 0 x1 时，lgx0,lgx错误错误! !2 不成立；由基本不等式知 B正确；C 中,由对勾函数的单调性 ,知x错误错误! !的最小值为错误错误! !；D 中,由函数f（x）x错误错误! !在区间（0,2上单调递增，知x错误错误! !的最大值为错误错误! !，故选 B.2下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（）Alg(x1)lg（2x）Bx12xC.错误错误! !1 Dx错误错误! !2222解析：选 C对于 A，当x0 时，无意义，故

16、A 不恒成立；对于 B，当x1 时，x12x，故 B 不成立；对于 D，当x0 时,不成立对于 C，x11,错误错误! !1 成立故选 C。3设a,b为正数，且ab4,则下列各式中正确的一个是（)A. 错误错误! !错误错误! !B。错误错误! !错误错误! !.5若x0,y0，且错误错误! !错误错误! !1，则xy有(）A最大值 64C最小值错误错误! ! B最小值错误错误! ! D最小值 64解析:选 D由题意xy错误错误! !xy2y8x2错误错误! !8错误错误! !，错误错误! !8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x4，y16。6若a0,b0，且错误错误! !错误错误! !错

17、误错误! !，则ab的最小值为_33解析：a0,b0，错误错误! !错误错误! !错误错误! !2错误错误! !，即ab2,当且仅当ab错误错误! !时取等号，ab2错误错误! !2错误错误! !4错误错误! !，当且仅当ab错误错误! !时取等号，则ab的最小值为4错误错误! !.答案：4错误错误! !7已知正数x，y满足x2xy30，则 2xy的最小值是_3x解析：由题意得，y，2x3x2xy2x错误错误! !错误错误! !错误错误! !3,2x当且仅当xy1 时,等号成立答案:38若对任意x0,错误错误! !a恒成立，则a的取值范围是_解析：因为x0，所以x错误错误! !2。当且仅当x1

18、 时取等号,所以有错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !，即错误错误! !的最大值为错误错误! !，故a错误错误! !.答案：错误错误! !9(1）已知x0，b0，c0，所以错误错误! !错误错误! !2，错误错误! !错误错误! !2，错误错误! !错误错误! !2,所以错误错误! !错误错误! !错误错误! !6，当且仅当错误错误! !错误错误! !，错误错误! !错误错误! !，错误错误! !错误错误! !,即abc时,等号成立所以错误错误! !错误错误! !错误错误! !6.层级二应试能力达标1a，bR，则ab与 2|ab的大小关系是（)Aab2|abCab2|ab|

19、22222222Bab2|ab| Dab2|ab|2222222解析：选 Aab2|ab（|ab) 0,ab2|ab|(当且仅当ab时，等号成立)2已知实数a，b,c满足条件abc且abc0，abc0，则错误错误! !错误错误! !错误错误! !的值（）A一定是正数C可能是 0 B一定是负数 D正负不确定解析：选 B因为abc且abc0，abc0，所以a0，b0，c0，且a（bc），所以错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !，因为b0，c0,所以bc2bc,所以错误错误! !错误错误! !，又错误错误! !错误错误! !2错误错误! !，所以错误错

20、误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !2错误错误! !错误错误! !0，x，a，b，y成等差数列,x，c，d,y成等比数列，则错误错误! !的最小值为()A0C2 B1 D4解析：选 D由题意，知错误错误! !所以错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !2224，当且仅当xy时，等号成立4若实数x，y满足xy0，则错误错误! !错误错误! !的最大值为(）A2错误错误! !C42错误错误! ! B2错误错误! ! D42错误错误! !解析：选 D错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !，设t错误错误! !0，原式错误错误! !错误错误! !错误错误!

21、 !错误错误! !1错误错误! !1错误错误! !.2t错误错误! !2错误错误! !，最大值为 1错误错误! !42错误错误! !.5若两个正实数x，y满足错误错误! !错误错误! !1，且不等式x错误错误! !m3m有解,则实数m的取值范围是_解析:因为不等式x错误错误! !m3m有解，所以错误错误! !min0,y0，且错误错误! !4222y1，所以x错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !22错误错误! !24，当且仅当错误错误! !错误错误! !，即x2，y8 时，等号是成立的，所以错误错误! !min4，所以m23m4，即(m1）(m4)0，解得m4

22、。答案：(，1)（4,）6若正数a，b满足ab1,则错误错误! !错误错误! !的最小值为_解析：由ab1，知错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !，又ab错误错误! !错误错误! !(当且仅当ab错误错误! !时等号成立)，9ab10错误错误! !，错误错误! !错误错误! !.2答案：错误错误! !7某厂家拟在 2016 年举行某产品的促销活动，经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件）与年促销费用m(m0）（单位：万元)满足x3错误错误! !（k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是 1 万件已知 2016 年生产该产品的固定投入为 8 万元

23、,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)（1）将 2016 年该产品的利润y（单位:万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家 2016 年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m0 时，x1,13k，解得k2，x3错误错误! !，又每件产品的销售价格为 1.5错误错误! !元,yx（1.5816x（816xm)48xmx48错误错误! !m错误错误! !29(m0)（2）m0,错误错误! !（m1)2错误错误! !8，当且仅当错误错误! !

24、m1,即m3 时等号成立，y82921，ymax21.故该厂家 2016 年的促销费用为 3 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21 万元8已知k错误错误! !，若对任意正数x，y，不等式错误错误! !xky错误错误! !恒成立，求实数k的最小值解:x0，y0,不等式错误错误! !xky错误错误! !恒成立等价于错误错误! !错误错误! !k错误错误! !错误错误! !恒成立又k错误错误! !，错误错误! !错误错误! !k错误错误! !2错误错误! !，2错误错误! !错误错误! !，解得k错误错误! !（舍去)或k错误错误! !，kmin错误错误! !。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百

25、忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in ourbusy schedule. We proofread the content carefully before the release ofthis article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. Ihope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Partof the text by the users care and support, thank you here! I hope tomake progress and grow with you in the future.