(浙江专版)2018年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列学案 新人教A版必修5.pdf

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1、2.22.2错误错误! !第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本预习课本 P3638P3638，思考并完成以下思考并完成以下问题问题（1）等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列?(2)等差数列的通项公式是什么?(3）等差中项的定义是什么？错误错误! !1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示点睛（1）“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合(2)“每一项与它的前一项的差这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了 :作差的

2、顺序；这两项必须相邻(3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数 ,否则这个数列不能称为等差数列2等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是A错误错误! !。3等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式anan1dana1(n1）d(nN)（n2)点睛由等差数列的通项公式ana1（n1)d可得andn（a1d），如果设pd，qa1d，那么anpnq,其中p，q是常数当p0 时，an是关于n的一次函数；当p0 时,anq，等差数列为常数列错误错误! !1判断下列命题是否正确(正确的打“，错误的打“

3、”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数 ,则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性与公差d有关（）(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项（)（4)若三个数a，b，c满足 2bac,则a，b，c一定是等差数列（)解析：(1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列（2）正确当d0 时为递增数列;d0 时为常数列；d1)，记bn错误错误! !。求证：数列bn是等差数列证明:法一定义法bn1错误错误! !错误错误! !错误错误! !，bn1bnan2an2错误错误! !错误错误! !错误错误! !，为

4、常数(nN ）*又b1错误错误! !错误错误! !,数列bn是首项为错误错误! !，公差为错误错误! !的等差数列法二等差中项法1bn，an2bn11错误错误! !错误错误! !。an12bn2错误错误! !错误错误! !错误错误! !.bnbn22bn1错误错误! !错误错误! !2错误错误! !0.bnbn22bn1(nN )，数列bn是等差数列*等差数列判定的常用的 2 种方法(1)定义法：an1and（常数)(nN ）an为等差数列(2）等差中项法:2an1anan2(nN ）an为等差数列活学活用已知错误错误! !，错误错误! !，错误错误! !成等差数列,并且ac,ac，ac2b均

5、为正数，求证:lg（ac）,lg（ac），lg（ac2b）也成等差数列解：错误错误! !，错误错误! !，错误错误! !成等差数列，错误错误! !错误错误! !错误错误! !，2 错误错误! !，即 2acb(ac）*b（ac）(ac2b）（ac） 2b(ac）（ac） 22acac22222ac4ac（ac) 。ac，ac2b，ac均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg（ac)（ac2b)lg(ac） ,即 lg（ac)lg（ac2b）2lg（ac），lg(ac），lg(ac),lg（ac2b）成等差数列22层级一学业水平达标1已知等差数列an的通项公式为an32n，则它的公差为（)A2C

6、2B3 D3解析：选 Can32n1（n1）（2)，d2，故选 C。2若等差数列an中,已知a1错误错误! !，a2a54，an35,则n（）A50C52 B51 D53解析:选 D依题意,a2a5a1da14d4，代入a1错误错误! !,得d错误错误! !.所以ana1(n1）d错误错误! !(n1）错误错误! !错误错误! !n错误错误! !，令an35，解得n53.3设x是a与b的等差中项，x是a与b的等差中项，则a，b的关系是()AabCab或a3b Ba3b Dab0222解析：选 C由等差中项的定义知：xab2，x2错误错误! !,错误错误! !错误错误! !，即a2ab3b0.故

7、ab或a3b。4数列an中,a12,2an12an1,则a2 015的值是(）A1 006C1 008 B1 007 D1 009222解析：选 D由 2an12an1，得an1an错误错误! !，所以an是等差数列，首项a12,公差d错误错误! !，所以an2错误错误! !(n1）错误错误! !，所以a2 015错误错误! !1 009。5等差数列an的首项为 70,公差为9，则这个数列中绝对值最小的一项为（）Aa8Ca10 Ba9 Da11解析：选 Ban|70（n1）（9)|799n9错误错误! !，n9 时，|an最小6在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.解析：设等差数列a

8、n的公差为d，由题意，得错误错误! !解得错误错误! !ana1(n1)d3(n1）22n1.a626113.答案：137已知an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d_。解析：根据题意得：a72a4a16d2(a13d）a11，a11.又a3a12d12d0，d错误错误! !.答案:错误错误! !8已知数列an满足:a错误错误! !a错误错误! !4，且a11，an0，则an_.解析：根据已知条件a错误错误! !a错误错误! !4，即a错误错误! !a错误错误! !4.数列a错误错误! !是公差为 4 的等差数列，则a错误错误! !a错误错误! !（n1）44n3.an0，an错误错误

9、! !.答案：错误错误! !9已知数列an满足a12，an1错误错误! !,则数列错误错误! !是否为等差数列?说明理由解：数列错误错误! !是等差数列，理由如下：因为a12，an1错误错误! !，所以错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !，所以错误错误! !错误错误! !错误错误! !(常数）所以错误错误! !是以错误错误! !错误错误! !为首项，公差为错误错误! !的等差数列10若错误错误! !,错误错误! !,错误错误! !是等差数列,求证：a，b,c成等差数列证明：由已知得1错误错误! !错误错误! !，通分有错误错误! !错误错误! !.bc222222进一步变形

10、有 2(bc)(ab）（2bac)(ac），整理，得ac2b，所以a，b，c成等差数列层级二应试能力达标1若数列an为等差数列，apq，aqp（pq），则apq为（)ApqC(pq)B0D。错误错误! !222解析：选 Bapa1（p1）d,aqa1(q1）d，错误错误! !,得(pq）dqp。pq，d1。代入，有a1(p1）(1）q,a1pq1。apqa1(pq1）dpq1(pq1）(1）0。2已知xy，且两个数列x，a1,a2，,am，y与x，b1,b2，bn，y各自都成等差数列，则错误错误! !等于（)A.错误错误! !C.错误错误! !B.错误错误! !D.错误错误! !解析：选 D设

11、这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2a1d1，b2b1d2。第一个数列共（m2)项，d1错误错误! !；第二个数列共（n2)项，d2错误错误! !。这样可求出错误错误! !错误错误! !错误错误! !。3已知数列an，对任意的nN ,点Pn（n，an）都在直线y2x1 上，则an为（)*A公差为 2 的等差数列C公差为2 的等差数列 B公差为 1 的等差数列 D非等差数列解析：选 A由题意知an2n1，an1an2，应选 A.4如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d0,则（）Aa3a6a4a5Ca3a6a4a5 Ba3a6a4a5 Da3a6a4a5解析:选 B由通项公式

12、,得a3a12d，a6a15d，那么a3a62a17d，a3a6（a12d)(a15d)a17a1d10d，同理a4a52a17d，a4a5a错误错误! !7a1d12d，显然a3a6222a4a52d20，故选 B。5数列an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列bn是首项为2，公差为 4 的等差数列若anbn，则n的值为_解析：an2(n1)33n1，bn2（n1)44n6，令anbn，得 3n14n6，n5.答案：56在数列an中，a13,且对于任意大于 1 的正整数n，点（an，错误错误! !)都在直线xy错误错误! !0 上，则an_。解析：由题意得错误错误! !错误错误! !错

13、误错误! !，所以数列错误错误! !是首项为错误错误! !，公差为错误错误! !的等差数列，所以错误错误! !错误错误! !n，an3n。答案：3n7已知数列an满足a11，且an2an12 (n2，且N )(1）求a2，a3；（2）证明：数列错误错误! !是等差数列；(3）求数列an的通项公式an。解：（1）a22a12 6，a32a22 20。(2)证明：an2an12 （n2，且nN ），错误错误! !错误错误! !1（n2，且nN ),即错误错误! !错误错误! !1（n2，且nN ）,数列错误错误! !是首项为错误错误! !错误错误! !，公差d1 的等差数列*2322nn*（3）由

14、(2），得错误错误! !错误错误! !（n1）1n错误错误! !，an错误错误! !2 。n8数列an满足a12，an1（3)an2 (nN ）(1）当a21 时,求及a3的值；（2)是否存在的值,使数列an为等差数列?若存在求其通项公式；若不存在说明理由3解：(1)a12,a21，a2（3)a12， 。2a3错误错误! !a22 ,a3错误错误! !.(2）a12，an1(3)an2 ,a2(3）a1224.n2n*a3(3)a24221016.若数列an为等差数列,则a1a32a2。即7130。494130，方程无实数解值不存在不存在的值使an成等差数列第二课时等差数列的性质2预习课本预习

15、课本 P39P39 练习第练习第 4 4、5 5 题，题，思考并完成以思考并完成以下问题下问题(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？（2）等差数列的运算性质是什么？新知初探1等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广ana1(n1）d（揭示首末两项的关系)2。等差数列的性质anam(nm)d（揭示任意两项之间的关系)若an是公差为d的等差数列,正整数m，n,p，q满足mnpq，则amanapaq.(1)特别地，当mn2k(m，n，kN ）时，aman2ak。（2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1。(3）若an是公差为d的等差数

16、列,则can（c为任一常数)是公差为d的等差数列;can（c为任一常数)是公差为cd的等差数列;anank（k为常数,kN ）是公差为 2d的等差数列(4）若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn（p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列小试身手1判断下列命题是否正确（正确的打“”，错误的打“”)（1）若an是等差数列,则|an也是等差数列（）（2)若an是等差数列,则an也是等差数列（)(3）若an是等差数列,则对任意nN 都有 2an1anan2(）（4）数列an的通项公式为an3n5，则数列an的公差与函数y3x5 的图象的斜率相等(）解析:(1)错误如2,1

17、，0，1，2 是等差数列,但其绝对值就不是等差数列（2）错误如数列1,2，3，4,5 其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列（3）正确根据等差数列的通项可判定对任意nN ,都有 2an1anan2成立(4）正确因为an3n5 的公差d3，而直线y3x5 的斜率也是 3.答案：(1)（2）（3）（4）2在等差数列an中，若a56，a815，则a14等于(）A32C33B33 D29解析：选 B数列an是等差数列,a5,a8，a11，a14也成等差数列且公差为 9，a1469333。3在等差数列an中，已知a3a4a5a6a7450,则a2a8(）A90C180 B270 D360解析：选 C因

18、为a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5290180。4在等差数列an中,已知a22a8a14120，则 2a9a10的值为_解析：a2a142a8，a22a8a144a8120，a830.2a9a10（a8a10）a10a830。答案：30等差数列的性质应用典例（1)已知等差数列an中，a2a46，则a1a2a3a4a5(）A30C5错误错误! !B15 D10错误错误! !(2)设an,bn都是等差数列,且a125,b175，a2b2100，则a37b37()A0C100 B37 D37解析(1)数列an为等差数列，a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a

19、3错误错误! !（a2a4）错误错误! !615.（2)设cnanbn，由于an，bn都是等差数列,则cn也是等差数列，且c1a1b12575100，c2a2b2100,cn的公差dc2c10。c37100,即a37b37100.答案(1)B（2）C本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若mnpq，则amanapaq。对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加 ,否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8;a1a21a22，但a1a212a11.本例（2）应用了等差数列的性质：若an，bn是等差数列，则anbn也是等差数列灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列

20、综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼活学活用1已知an为等差数列，若a1a5a9，则 cos（a2a8）的值为(）A错误错误! !C。错误错误! ! B错误错误! !D。错误错误! !解析：选 Aa1a5a93a5,所以a5错误错误! !,而a2a82a5错误错误! !，所以 cos（a2a8)cos错误错误! !错误错误! !，故选 A.2在等差数列an中，已知a3a810，则 3a5a7()A10C20 B18 D28解析：选 C由等差数列的性质得：3a5a72a5(a5a7）2a5（2a6）2(a5a6)2（a3a8）20,故选 C。灵活设元求解等差数列典例(1)三个数成等差数列，其和

21、为 9，前两项之积为后一项的 6 倍，求这三个数（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为 2，首末两项的积为8，求这四个数解（1)设这三个数依次为ad，a，ad，则adaad9ada6ad，解得错误错误! !这三个数为 4，3,2.（2)法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d）,依题意，2a2，且（a3d)(a3d）8,即a1，a9d8，d1,d1 或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0,d1，故所求的四个数为2，0,2，4。法二：若设这四个数为a,ad，a2d，a3d（公差为d），依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1错误错误! !d代入a（a3d）8，得错误错

22、误! !错误错误! !8,即 1错误错误! !d8，化简得d4，所以d2 或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，22222a2.故所求的四个数为2,0，2，4。常见设元技巧（1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：ad，ad，公差为 2d;(2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为：ad,a，ad，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a3d,公差为 2d。活学活用已知成等差数列的四个数,四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这个等差数列解：设这四个数依次为a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d）由题设知错误错

23、误! !解得错误错误! !或错误错误! !这个数列为 2，5，8,11 或 11，8，5,2。等差数列的实际应用典例某公司经销一种数码产品，第一年可获利 200 万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一规律,如果公司不开发新产品，也不调整经营策略,从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解设从第一年起，第n年的利润为an万元,则a1200，an1an20（nN ），每年的利润构成一个等差数列an，从而ana1(n1）d200(n1）(20)22020n。若an0，则该公司经销这一产品将亏损由an22020n0，得n11，即从第 12 年起，该公司经销此

24、产品将亏损解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键 ,在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题活学活用某市出租车的计价标准为 1。2 元/km，起步价为 10 元，即最初的 4 km（不含 4 km)计费10 元如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0,需要支付车费_元解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时，每增加 1 km，乘客需要支付1.2 元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2,表示 4

25、km 处的车费，公差d1。2，那么当出租车行至 14 km 处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111）1。223。2（元）答案：23。2层级一学业水平达标1在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10（)A12C20B16 D24解析：选 B因为数列an是等差数列,所以a2a10a4a816。2在等差数列an中，a1a910,则a5的值为（）A5C8 B6 D10解析：选 A由等差数列的性质,得a1a92a5，又a1a910，即 2a510,a55。3下列说法中正确的是(）A若a，b，c成等差数列，则a,b，c成等差数列B若a,b，c成等差数列,则 log2a，log2b，lo

26、g2c成等差数列C若a，b，c成等差数列，则a2,b2，c2 成等差数列D若a，b，c成等差数列，则 2 2 2 成等差数列解析:选 C因为a，b，c成等差数列，则 2bac，所以 2b4ac4，即 2(b2)（a2)（c2），所以a2，b2,c2 成等差数列4在等差数列an中,a12，a3a510，则a7（）A5C10 B8 D14a，b,c222解析：选 B由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.5等差数列an中，a2a5a89，那么方程x（a4a6）x100 的根的情况(）A没有实根 B两个相等实根2C两个不等实根 D无法判断2解析：选 A由a2a5a89 得a5

27、3,a4a66，方程转化为x6x100。因为0,所以方程没有实根6若三个数成等差数列，它们的和为 9，平方和为 59，则这三个数的积为_解析：设这三个数为ad,a,ad,则错误错误! !解得错误错误! !或错误错误! !这三个数为1，3,7 或 7，3，1。它们的积为21.答案：217若a,b,c成等差数列，则二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点的个数为_解析：a,b,c成等差数列,2bac，4b4ac（ac) 4ac(ac） 0。二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点个数为 1 或 2。答案：1 或 28已知等差数列an满足am1am1a，m10,且m1，则a1a2m1_.解析：因为数

28、列an为等差数列,则am1am12am，则am1am1a错误错误! !10 可化为2ama错误错误! !10,解得am1，所以a1a2m12am2。答案：29在等差数列an中，若a1a2a530，a6a7a1080，求a11a12222222a15.解：法一:由等差数列的性质得a1a112a6,a2a122a7，,a5a152a10。（a1a2a5）（a11a12a15)2（a6a7a10）a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5）28030130.法二：数列an是等差数列，a1a2a5，a6a7a10，a11a12a15也成等差数列,即 30，80，a11a12a15成等差数列3

29、0(a11a12a15）280,a11a12a15130。10有一批影碟机原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场均有销售甲商场用如下的方法促销:买一台单价为 780 元，买两台单价都为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少 20 元,但每台最低价不能低于 440 元;乙商场一律都按原价的 75%销售某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少解:设单位需购买影碟机n台,在甲商场购买每台售价不低于 440 元,售价依台数n成等差数列设该数列为anan780(n1)(20）80020n，解不等式an440，即 80020n440，得n18.当购买台数小于等于 18

30、台时，每台售价为(80020n)元，当台数大于 18 台时，每台售价为 440 元到乙商场购买，每台售价为 80075600 元作差:(80020n）n600n20n(10n），当n10 时,600n(80020n）n,当n10 时，600n(80020n）n，当 10n18 时,(80020n)n600n,当n18 时，440n600n.即当购买少于 10 台时到乙商场花费较少，当购买 10 台时到两商场购买花费相同，当购买多于 10 台时到甲商场购买花费较少层级二应试能力达标1已知等差数列an:1，0,1，2，；等差数列bn：0,20,40，60，则数列anbn是()A公差为1 的等差数列

31、B公差为 20 的等差数列C公差为20 的等差数列 D公差为 19 的等差数列解析：选 D(a2b2）（a1b1）(a2a1)(b2b1)12019。2已知数列an为等差数列且a1a7a134，则 tan(a2a12）的值为(）A.错误错误! !C错误错误! ! B错误错误! ! D错误错误! !解析：选 D由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7错误错误! !.tan（a2a12)tan(2a7）tan错误错误! !tan错误错误! !错误错误! !。3若方程(x2xm)（x2xn)0 的四个根组成一个首项为错误错误! !的等差数列，则22mn|（)A1C.错误错误! !3 B.4D.

32、错误错误! !解析：选 C设方程的四个根a1，a2，a3,a4依次成等差数列，则a1a4a2a32，再设此等差数列的公差为d,则 2a13d2，1a1 ,d错误错误! !，4a2错误错误! !错误错误! !错误错误! !,a3错误错误! !1错误错误! !，a4 错误错误! !错误错误! !,|mn|a1a4a2a3错误错误! !错误错误! !。4九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为（）A1 升C.错误错误! !升 B。错误错误! !升 D.错误错误! !升14解析:选 B

33、设所构成的等差数列an的首项为a1，公差为d,则有错误错误! !即错误错误! !解得错误错误! !则a5a14d错误错误! !，故第 5 节的容积为错误错误! !升5已知an为等差数列，且a64,则a4a7的最大值为_解析:设等差数列的公差为d，则a4a7（a62d)(a6d)（42d）（4d)2(d1） 18，即a4a7的最大值为 18.答案：186已知数列an满足a11,若点错误错误! !在直线xy10 上，则an_。解析：由题设可得错误错误! !错误错误! !10，即错误错误! !错误错误! !1，所以数列错误错误! !是以 1 为公差的等差数列，且首项为 1，故通项公式错误错误! !n

34、，所以ann.答案：n7数列an为等差数列，bn错误错误! !an,又已知b1b2b3错误错误! !，b1b2b3错误错误! !，求数列an的通项公式222解：b1b2b3错误错误! !a1错误错误! !a2错误错误! !a3错误错误! !，b1b2b3错误错误! !a1a2a3错误错误! !，a1a2a33.a1，a2，a3成等差数列，a21，故可设a11d，a31d，由错误错误! !d1d错误错误! !错误错误! !1d错误错误! !,得 2 2 d17,解得d2 或d2.4当d2 时，a11d1，an12（n1）2n3；当d2 时，a11d3，an32(n1）2n5.8下表是一个“等差数

35、阵”：47()（)712()()()()()()(）(）(）(）a1ja2ja3ja4j(）（）(）（）ai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值;（2)写出aij的计算公式,以及 2 017 这个数在“等差数阵”中所在的一个位置解：通过每行、每列都是等差数列求解(1）a45表示数阵中第 4 行第 5 列的数先看第 1 行,由题意 4，7，a15，成等差数列，公差d743,则a154(51)316。再看第 2 行，同理可得a2527。最后看第 5 列，由题意a15，a25，a45成等差数列，所以a45a153d163(27

36、16)49。(2）该“等差数阵“的第 1 行是首项为 4,公差为 3 的等差数列a1j43(j1);第 2 行是首项为 7，公差为 5 的等差数列a2j75(j1）；第i行是首项为 43（i1)，公差为 2i1 的等差数列，aij43（i1）（2i1)（j1）2ijiji(2j1)j.要求 2 017 在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得i(2j1）j2 017，j错误错误! !.又jN ，当i1 时，得j672.2 017 在“等差数阵”中的一个位置是第 1 行第 672 列*尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难

37、免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in ourbusy schedule. We proofread the content carefully before the release ofthis article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. Ihope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Partof the text by the users care and support, thank you here! I hope tomake progress and grow with you in the future.