概率与统计32（仅独立性）.ppt

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1、3.2 3.2 随机变量的独立性随机变量的独立性一、随机变量的独立性一、随机变量的独立性一般地，一般地， 由于随机变量由于随机变量YX,之间存在相互联系，之间存在相互联系，而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性的取值统计规律性.在任何情况下，在任何情况下，因因随机变量随机变量YX,之间没有上述影响，之间没有上述影响， 而具所谓的而具所谓的“独立性独立性”，如下定义如下定义. 我们引入我们引入定义定义 设随机变量设随机变量),(YX的联合分布函数为的联合分布函数为),(yxF边缘分布函数为边缘分布函数为),(),(yFxFYX若对

2、任意实数若对任意实数, yx有有,yYPxXPyYxXP 即即)()(),(yFxFyxFYX 则称随机变量则称随机变量X和和Y相互独立相互独立.定理定理1 随机变量随机变量X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与所生成的任何事件与Y所生成的任何事件独立所生成的任何事件独立,对任意实数集对任意实数集,BA有有即即,BYPAXPBYAXP 证明证明略略.定理定理2 如果随机变量如果随机变量X与与Y相互独立，相互独立， 则对任意则对任意函数函数)(),(21ygxg均有均有)(),(21YgXg相互相互独立独立.证明证明 略略注：注：上述结果可推广到上述结果可推广到n个

3、随机变量的情形个随机变量的情形.关于随机变量的独立性，关于随机变量的独立性， 有下列两个定理有下列两个定理.二、离散型随机变量的独立性二、离散型随机变量的独立性若对若对),(YX的所有可能取值的所有可能取值),(jiyx有有,jijiyYPxXPyYxXP 即即, 2 , 1, jipppjiij则称则称X和和Y相互独立相互独立.例例2判断判断X与与Y是否相互独立是否相互独立? ?设设与与Y的联合概率分布如右表的联合概率分布如右表. .XYX012-10.10.30.1500.20.050200.10.1解：解：, 3 . 00 XP,55. 015. 03 . 01 . 01 YP而而, 1

4、 . 01, 0 YXP即即101, 0 YPXPYXP所以所以, ,与与YX不独立不独立. .因为因为例例3 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立, , 下表中列出了二下表中列出了二维随机变量维随机变量),(YX的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和关于和关于Y的边缘分布律中的部分数值的边缘分布律中的部分数值, , 试将其余数值填入表试将其余数值填入表中的空白处中的空白处. .解解16/18/18/1.21321jpyyPxxpxXPyyyjii YX由于由于,11yYxXP ,121yYxXPyYP ,24/18/16/1 例例3 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立,

5、, 下表中列出了二下表中列出了二维随机变量维随机变量),(YX的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和关于和关于Y的边缘分布律中的部分数值的边缘分布律中的部分数值, , 试将其余数值填入表试将其余数值填入表中的空白处中的空白处. .解解16/18/18/1.21321jpyyPxxpxXPyyyjii YX考虑到考虑到X与与Y相互独立相互独立, , 有有,1111yYxXPyYPxXP 所以所以.416/124/11 xXP例例3 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立, , 下表中列出了二下表中列出了二维随机变量维随机变量),(YX的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和关于和关于Y的

6、边缘分布律中的部分数值的边缘分布律中的部分数值, , 试将其余数值填入表试将其余数值填入表中的空白处中的空白处. .解解16/18/18/1.21321jpyyPxxpxXPyyyjii YX所以所以.416/124/11 xXP同理同理, , 可以导出其它数值可以导出其它数值, , 最后将所求数值填入表最后将所求数值填入表中中.四、连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性对二维连续型随机变量对二维连续型随机变量),(YX其独立性的定义等价其独立性的定义等价于：于：若对任意的若对任意的, yx有有)()(),(yfxfyxfYX 几乎处处成立，几乎处处成立，注：注： 这里这里“几乎处处成立

7、几乎处处成立”的含义是：的含义是：面积为面积为0的集合外，的集合外，YX,相互独立相互独立.则称则称在平面上除去在平面上除去处处成立处处成立. 例例4 设设),(YX的概率密度为的概率密度为 ;, 00, 0,),()(其它其它yxxeyxfyx问问X和和Y是否独立是否独立? ?解解,)(0)(xyxXxedyxexf 0 x,)(0)(yyxYedxxeyf 0 y即即 , 00,)(其它其它xxexfxX , 00,)(其它其它xeyfyY因对一切因对一切, yx均有均有: :),()(),(yfxfyxfYX 故故YX,独立独立. .例例5 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12:30分在

8、某地会面分在某地会面. . 如果甲如果甲来到的时间在来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀分布之间是均匀分布, , 乙独立乙独立地到达地到达, , 而且到达时间在而且到达时间在12:00到到13:00之间是均匀分之间是均匀分布布, , 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分分钟的概率钟的概率, , 又甲先到的概率是多少又甲先到的概率是多少? ?解解 设设X为甲到达时刻为甲到达时刻, ,Y为乙到达时刻为乙到达时刻, , 以以12时为时为起点起点, , 以分为单位以分为单位, , 依题意依题意, ,),45,15( UX)60, 0( UY, 04

9、515,30/1)( 其它其它xxfX1 600600/,( ),Yyfy 其其它它例例5 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12:30分在某地会面分在某地会面. . 如果甲如果甲来到的时间在来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀分布之间是均匀分布, , 乙独立乙独立地到达地到达, , 而且到达时间在而且到达时间在12:00到到13:00之间是均匀分之间是均匀分布布, , 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分分钟的概率钟的概率, , 又甲先到的概率是多少又甲先到的概率是多少? ?解解 由由X与与Y独立性知独立性知, 0600 ,4515,1800/1),( 其它其它yxyxf先到的人等待另一人到达的时间不超过先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率分钟的概率为为,5| YXP甲先到的概率为甲先到的概率为,YXP , 6/118001451555 dxdyxxdxdyYXPx 45156018001. 2/1 OXY1015456060 YX 5 YX 5555| YXPYXP