第28讲　圆的有关性质.ppt

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1、第第28讲讲圆的有关性圆的有关性 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 圆的有关概念圆的有关概念 圆的圆的定义定义定义定义1 1：在一个平面内，线段：在一个平面内，线段OAOA绕它固定的一个绕它固定的一个端点端点O O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A A所形成的图形叫做所形成的图形叫做圆固定的端点圆固定的端点O O叫做圆心，线段叫做圆心，线段OAOA叫做半径叫做半径定义定义2 2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合：圆是到定点的距离等于定长的点的集合第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦弦弦连接圆上任意两点的连接圆上任意两点的_叫做弦叫做弦直径直径经过圆心的弦叫做直径

2、经过圆心的弦叫做直径弧弧圆上任意两点间的部分叫做弧圆上任意两点间的部分叫做弧优弧优弧大于半圆的弧叫做优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧小于半圆的弧叫做劣弧线段线段 考点考点2 2 确定圆的条件及相关概念确定圆的条件及相关概念 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦确定圆确定圆的条件的条件不在同一直线的三个点确定一个圆不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的三角形的外心外心三角形三边三角形三边_的交点，即三的交点，即三角形外接圆的圆心角形外接圆的圆心防错提醒防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的直角三角形的外心在直角三角形的

3、斜边上，钝角三角形的外心在三角斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部形的外部垂直平分线垂直平分线 考点考点3 3 圆的对称性圆的对称性第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦 圆既是一个轴对称图形又是一个圆既是一个轴对称图形又是一个_对称图形对称图形，圆还具有旋转不变性，圆还具有旋转不变性 中心中心考点考点4 4 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦垂径定垂径定理理垂直于弦的直径垂直于弦的直径_，并且平分弦所对的两条弧，并且平分弦所对的两条弧推论推论(1)(1)平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦所对的两条

4、弧；(2)(2)弦的垂直平分线经过圆心，弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；并且平分弦所对的两条弧；(3)(3)平分弦所对的一条平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧弧总结总结简言之，对于过圆心；垂直弦；平分弦；简言之，对于过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧中的任意平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立两条结论成立，那么其他的结论也成立平分弦平分弦考点考点5 5 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理在同圆

5、或等圆中，相等的圆心角所对的在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_相等，所对的相等，所对的_相等相等推论推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角在同圆或等圆中，如果两个圆心角两两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等们所对应的其余各组量也分别相等弧弧弦弦考点考点6 6 圆周角圆周角 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦圆周角圆周角定义定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角圆周角圆周角定理定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等于该弧所对的圆心角的，

6、都等于该弧所对的圆心角的_推论推论1 1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_推论推论2 2半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是_；9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_推论推论3 3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是那么这个三角形是_三角形三角形相等相等一半一半相等相等直角直角直径直径直角直角考点考点7 7 圆内接多边形圆内接多边形 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦圆内接四边形圆内接四边形如果一个多边形的所有顶点如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边都在同一个

7、圆上，这个多边形叫做圆内接多边形这个形叫做圆内接多边形这个圆叫做这个多边形的外接圆圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形圆内接四边形的性质的性质圆内接四边形的圆内接四边形的_对角互补对角互补第第28讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一确定圆的条件类型之一确定圆的条件 命题角度：命题角度：1. 确定圆的圆心、半径；确定圆的圆心、半径；2. 三角形的外接圆圆心的性质三角形的外接圆圆心的性质 10或或8 例例1 2012资阳资阳 直角三角形的两边长分别为直角三角形的两边长分别为16和和12，则此三，则此三角形的外接圆半径是角形的外接圆半径是_第第28讲讲 归类示例归类示例第第28讲讲 归类

8、示例归类示例(1)(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线事实上，三条垂作出第三条线段的垂直平分线事实上，三条垂直平分线交于同一点直平分线交于同一点(2)(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆 类型之二类型之二垂径定理及其推论垂径定理及其推论 命题角度：命题角度：1. 1. 垂径定理的应用；垂径定理的应用；2. 2. 垂径定理的推论的应用垂径定理的推论的应用第第28讲讲 归类示例归类示例例例2 2 2

9、0122012南通南通 如图如图28281 1，O O的半径为的半径为17 cm17 cm，弦弦ABCDABCD，ABAB30 cm30 cm，CDCD16 cm16 cm，圆心，圆心O O位于位于ABAB，CDCD的上方，求的上方，求ABAB和和CDCD的距离的距离图图28281 1第第28讲讲 归类示例归类示例 解析解析 过圆心过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线，垂足为的垂线，垂足为E E，易证它也与弦，易证它也与弦CDCD垂直，设垂足为垂直，设垂足为F F，由垂径定理知，由垂径定理知AEAEBEBE，CFCFDFDF，根，根据勾股定理可求据勾股定理可求OEOE，OFOF的长，进而可求出的

10、长，进而可求出ABAB和和CDCD的距离的距离第第28讲讲 归类示例归类示例 垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形角形第第28讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系 例例3 3 20112011济宁济宁 如图如图28282 2，ADAD为为ABCABC外接圆的外接圆的直径，直径，ADBCADBC，垂足为点，垂足

11、为点F F，ABCABC的平分线交的平分线交ADAD于点于点E E，连接连接BDBD、CD.CD.(1)(1)求证：求证：BDBDCDCD；(2)(2)请判断请判断B B、E E、C C三点是否在以三点是否在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径为半径的圆上？并说明理由的圆上？并说明理由第第28讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系图图28282 2第第28讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)(2)利用同弧所

12、对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DBDBDEDEDC.DC.解：解：(1)(1)证明：证明：ADAD为直径，为直径，ADBCADBC，弧弧BDBD弧弧CD.BDCD.BDCD. CD. (2)B(2)B，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的圆上为半径的圆上. . 理由：由理由：由(1)(1)知：知：BDBDCDCD，BADBADCBD.CBD.DBEDBECBDCBDCBECBE，DEBDEBBADBADABEABE，CBECBEABEABE，DBEDBEDEB.DBDEB.DBDE.DE.由由(1)(1)知

13、：知：BDBDCDCD，DBDBDEDEDC.DC.BB，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的圆上为半径的圆上. . 圆心角、弧、弦之间关系巧记同圆或等圆中，有圆心角、弧、弦之间关系巧记同圆或等圆中，有些关系要搞清：等弧对的弦相等，圆心角相等对弧等些关系要搞清：等弧对的弦相等，圆心角相等对弧等，等弦所对圆心角相等，反之亦成立，等弦所对圆心角相等，反之亦成立第第28讲讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 圆周角定理及推论圆周角定理及推论 D命题角度：命题角度：1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数

14、；2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算第第28讲讲 归类示例归类示例 例例4 4 20122012湘潭湘潭 如图如图28283 3，在，在O O中，弦中，弦ABABCDCD，若，若ABCABC4040，则，则BODBOD( () )A. 20A. 20 B. 40 B. 40C. 50C. 50 D. 80 D. 80图图28283 3 解析解析 先根据弦先根据弦ABCD得出得出ABCABCBCDBCD4040，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出出BODBOD2BCD2BCD2

15、 240408080. .第第28讲讲 归类示例归类示例 圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角角(圆心角和圆周角圆心角和圆周角)的转化的转化第第28讲讲 归类示例归类示例 类型之五类型之五 与圆有关的开放性问题与圆有关的开放性问题命题角度：命题角度：1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由；给定一个圆，自由探索结论并说明理由；2. 给定一个圆，添加条件并说明理由给定一个圆，添加条件并说明理由第第28讲讲 归类示例归类示例 例例5 5 20122012湘潭湘潭 如图如图28284 4

16、，在，在O O上位于直上位于直径径ABAB的异侧有定点的异侧有定点C C和动点和动点P P，ACAC0.50.5ABAB，点，点P P在半圆在半圆弧弧ABAB上运动上运动( (不与不与A A、B B两点重合两点重合) )，过点，过点C C作直线作直线PBPB的的垂线垂线CDCD交交PBPB于于D D点点图图28284 4 (1)如图如图，求证：，求证：PCDABC；(2)当点当点P运动到什么位置时，运动到什么位置时，PCD ABC？请在？请在图图中画出中画出PCD，并说明理由；，并说明理由；(3)如图如图，当点，当点P运动到运动到CPAB时，求时，求BCD的度的度数数 第第28讲讲 归类示例归

17、类示例第第28讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)由由ABAB是是O O的直径，根据直径所对的圆周角是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得直角，即可得ACBACB9090，又由在同圆或等圆中，同弧，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得或等弧所对的圆周角相等，即可得A AP.(2)P.(2)由由PCDPCDABCABC，可知当，可知当PCPCABAB时，时，PCDPCDABCABC，利用相，利用相似比等于似比等于1 1的相似三角形全等；的相似三角形全等；(3)(3)由由ACBACB9090，ACAC0.5AB0.5AB，可求得，可求得ABCABC的度数，利用同

18、弧所对的圆周角相等的度数，利用同弧所对的圆周角相等得得P PA A6060，通过证，通过证PCBPCB为等边三角形，由为等边三角形，由CDPBCDPB，即可求出，即可求出BCDBCD的度数的度数 第第28讲讲 归类示例归类示例解：解：(1)证明：证明：AB为直径，为直径，ACBD90.又又CABDPC，PCDABC.(2)如图，当点如图，当点P运动到运动到PC为直径时，为直径时，PCD ABC.理由如下：理由如下：PC为直径，为直径，PBC90，则此时，则此时D与与B重合，重合，PCAB，CDBC，故故PCD ABC.(3) AC0.5AB，ACB90，ABC30，CAB60.CPBCAB60

19、.PCAB，PCB90ABC60，PBC为等边三角形为等边三角形又又CDPB，BCD30. 圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特殊的性质，在给定一个圆之后，可以得到不同殊的性质，在给定一个圆之后，可以得到不同类型的结论与圆有关的探究性问题是近年中类型的结论与圆有关的探究性问题是近年中考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又不难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意不难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，所以此类问题成为中考的热点识和创新能力，所以此类问题成为中考的热点之一在解决这些问题的时候，要把握准圆的之

20、一在解决这些问题的时候，要把握准圆的性质的应用性质的应用第第28讲讲 归类示例归类示例 类型之六类型之六 尺规作图尺规作图 命题角度：命题角度：能正确地按要求进行尺规作图能正确地按要求进行尺规作图 第第28讲讲 归类示例归类示例 例例6 6 20122012鞍山鞍山 如图如图28285 5，某社区有一矩形广场，某社区有一矩形广场ABCDABCD，在边，在边ABAB上的上的M M点和边点和边BCBC上的上的N N点分别有一棵景观树点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在，为了进一步美化环境，社区欲在BDBD上上( (点点B B除外除外) )选一选一点点P P再种一棵景观树，使得再种一棵景

21、观树，使得MPNMPN9090，请在图中利用，请在图中利用尺规作图画出点尺规作图画出点P P的位置的位置( (要求：不写已知、求证、作法要求：不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹和结论，保留作图痕迹) )图图28285 5 解析解析 先作出先作出MNMN的中点的中点，再以，再以MNMN为直径作圆与为直径作圆与BDBD相交于点相交于点P.P. 解：如下图所示，连结解：如下图所示，连结MN MN ，作出，作出MNMN的垂直的垂直平分线平分线 ，交，交MNMN于于E E，以，以E E为圆心，为圆心，EMEM的长为半径的长为半径画圆与画圆与BDBD交于点交于点P(P(标出点标出点P)P)如图所示，

22、点如图所示，点P P就就是所求作的点是所求作的点第第28讲讲 归类示例归类示例第第28讲讲 归类示例归类示例 变式题变式题 20102010泰州泰州 如图如图28286 6，已知，已知ABCABC，利用，利用直尺和圆规，根据下列要求作图直尺和圆规，根据下列要求作图( (保留作图痕迹，不要求保留作图痕迹，不要求写作法写作法) )，并根据要求填空：，并根据要求填空：(1)(1)作作ABCABC的平分线的平分线BDBD交交ACAC于点于点D D；(2)(2)作线段作线段BDBD的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于点于点E E，交，交BCBC于点于点F.F.由以由以上作图可得：线段上作图可得：线段E

23、FEF与线段与线段BDBD的关系为的关系为_图图28286 6互相垂直平分互相垂直平分 解：解： (1)(1)作图如下图作图如下图(2)(2)作图如下图；互相垂作图如下图；互相垂直平分直平分第第28讲讲 归类示例归类示例 中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求：中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求：完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线利用基本作图作三角形：已知三边作直平分线利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及三

24、角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形探索如何过一点、两点和不在同一直线上角形探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆了解尺规作图的步骤，对于尺规作的三点作圆了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法图题，会写已知、求作和作法(不要求证明不要求证明)我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新颖的作图题，进一步培养形象思维能力颖的作图题，进一步培养形象思维能力第第28讲讲 归类示例归类示例 类型之七类型之七 反证法反证法 命题角度：命题

25、角度：1反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的；反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的；2反证法的含义反证法的含义第第28讲讲 归类示例归类示例 例例7 7 20122012包头包头 已知下列命题：已知下列命题：若若a a00，则，则| |a a| |a a；若若ma2na2，则则mn；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦其中原命题与逆命题均为真命题的个数是其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( () )A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个B 解析解析 四个命题的原命题

26、均为真命题，四个命题的原命题均为真命题，的逆的逆命题为：若命题为：若|a|a，则，则a0，是真命题；，是真命题；的逆命的逆命题为：若题为：若mn，则，则ma2na2，是假命题，当，是假命题，当a0时，时，结论就不成立；结论就不成立；的逆命题是平行四边形的两组对的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，是真命题；角分别相等，是真命题；的逆命题是：平分弦的的逆命题是：平分弦的直径垂直于弦，是假命题，当这条弦为直径时，结直径垂直于弦，是假命题，当这条弦为直径时，结论不一定成立综上可知原命题和逆命题均为真命论不一定成立综上可知原命题和逆命题均为真命题的是题的是，故答案为，故答案为B.第第28讲讲 归类示

27、例归类示例第第28讲讲 归类示例归类示例 变式题变式题 20122012攀枝花攀枝花 下列四个命题：下列四个命题：等边三角形是中心对称图形；等边三角形是中心对称图形；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；三角形有且只有一个外接圆；三角形有且只有一个外接圆；垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧其中真命题的个数有其中真命题的个数有( () )A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个B 解析解析 等边三角形是轴对称图形，但不是中心等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即是假命题；如图，对称图形，即是假命题；如图，C和和D不相不相等，即是假命题；三角形有且只有一个外接圆，等，即是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即是真命题故选对的两条弧，即是真命题故选B. 第第28讲讲 归类示例归类示例