异面直线所成角的计算2.ppt

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1、A1D1C1B1ABCDMN例例1已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为 a , M a , M 为为 AB AB 的中点的中点, N , N 为为 B BB B1 1的中点，求的中点，求 A A1 1M M 与与 C C1 1 N N 所所成角的余弦值。成角的余弦值。解：解：EG如图，取如图，取A1B1的中点的中点E， 连连BE， 有有BE A A1 1M M 取取CC1的中点的中点G连连BG. 有有BG C C1 1N N 则则EBG即为所求角（或补角）。即为所求角（或补角）。由余弦定理，由余弦定理，cosEBG=2/5F取取

2、EB1的中点的中点F，连，连NF有有BENFA1M则则FNC1为所求角（或补角）为所求角（或补角） 。想一想：想一想：还有其它方法吗？还有其它方法吗？BG=BE= a， EG = a2526连连EG，在，在EBG中中为什么？为什么？长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AAAA1 1=c=c， AB=aAB=a，AD=b(aAD=b(ab)b)求异面直线求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角所成角的余弦值。的余弦值。取取BBBB1 1的中点的中点M M，连，连O O1 1M M，则，则O O1 1M M D D1 1B B，如

3、图，连如图，连B B1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，于是于是 C C1 1O O1 1M M就是异面直线就是异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角（或其补角）所成的角（或其补角）解：解：DB1A1D1C1ACBMO1方法归纳方法归纳： 平移法即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，的观点，用用“平移转化平移转化”的方法，使之成的方法，使之成为相交直线所成的角。为相交直线所成的角。acb解法二:连接 交 于O，取 中点N，连接ON，则NOB即为异面直线所成角（或补角）1BDONDB1A1D1C1ACB1CA1cc解法三解法三：方法

4、归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB 1A 1D1C 1ACBC1的长方体的长方体B1F.练习练习1：每对异面直线所成的角是多少？：每对异面直线所成的角是多少？: A1B与与D1C1: A1B与与C1C:

5、A1B与与CD: A1B与与C1D: B1B与与AD: A1B与与B1C: A1B与与B1D1 45454590609060 A A 1 B B1 B BA A D D1C C 1D DC C HEG练习2321323如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABCD中，已知中，已知AD=1，BC= ，且，且ADBC，对角线，对角线BD= ，AC= ，求，求AC与与BD所成的角所成的角CABDF方法归纳方法归纳：中位线平移中位线平移在空间图形中，利用中点在空间图形中，利用中点连接两个空间图形；利用连接两个空间图形；利用中位线的平行与长度传递中位线的平行与长度传递异面直线的长度与方向。异面直线的长度与

6、方向。练习2（解法二）ABDEFCHGR（1）直接平移）直接平移小结：小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围： （1） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （2） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （3） 当当 cos = 0 时，所成角为时，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识关知识解决。解决。90o（3）补形法）补形法一般步骤是：一般步骤是： 定角（作证指）定角（作证指）解三角形解三角形找三角形找三角形（2）中位线平移）中位线平移