32立体几何中的向量方法4(夹角问题张用).ppt

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1、3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法夹角问题夹角问题1. 直线与直线所成角直线与直线所成角设直线设直线, l m的方向向量分别为的方向向量分别为, a b lamlamb 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 , 则则, l m(0)2cosa ba b 复习引入复习引入注意法向量的方向：同进注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角二面角等于法向量夹角Lnm 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角

2、的大小的大小 mn，lnm,nm, 2、二面角、二面角若二面角若二面角 的大小为的大小为 , 则则l (0)cos.u vu v 法向量法法向量法3. 线面角线面角 ua ula 设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，且，且直线直线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ( ),则则a u l02 sina ua u xyz 解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1

3、AB1BC1C1D1F3030=.=.1010所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF30100111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、 ，求与所成的角的余弦值.例例3 如图如图,在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，侧棱侧棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段，在线段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小为所成角的大小为450? 若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。的位置；若

4、不存在说明理由。 3DBACEPxzy(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm (0,0,0),(0,0,1),( 3,0,0),( ,1,0),APDE m设设BE=m，则，则(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm ( ,),30,3 ,(3 )0,(3) ,PD Enx y znD P nD Exzzxmxyym x 设 平 面的 法 向 量 为则解 得1,(1, 3, 3),xnm令得2345sin45,4 ( 3)PAPDEm与平面所成角的大小为32323245mmBEPAPDE解得或（舍），因此，当时，与平面所成角的大小为。解：以解：以A为原

5、点，为原点，AD、AB、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(0,0,1),( 3,0,0),( ,1,0),APDE m设设BE=m，则，则例题例题1.1.已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m m= =（0 0，1 1，0 0），）， n n= =（0 0，1 1，1 1）, ,则两平面所成的二面角为则两平面所成的二面角为( )( ) A.45A.45 B.135B.135 C.45C.45或或135135 D.90D.90 解析解析 即即m m, ,n n=45=45，其补角为，其补角为13

6、5135. . 两平面所成二面角为两平面所成二面角为4545或或135135. .,22211|,cosnmnmnmC三、例三、例 题题 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F,2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y z

7、kk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1 ,() 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 112(,)333FD 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=

8、DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为 解2 如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 60四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施P119B-3已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形DAB=ABC=90,SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角

9、的余弦值 21AD四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施例题2解：解：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，则 )2 , 0 , 0(),2 , 0 , 0(),0 , 2 , 2(),0 , 0 , 2(SCBA例题例题4. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角AA1DQ的余弦O（A）BA1C1B1D1DCQzyx解解 ： 如图2，建立空间直角坐标系依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0），D（0，4，0），2421(2,2, 2),( 2,20)AQQD )0 , 0 , 1(1 n面A

10、A1D的法向量设面A1DQ的法向量为2123(,),na aa 211232122220,220,nAQaaanQDaa 则 ,2,1312aaaa2111(,2)na aa 令a1=1， 则2(1,1,2),n 12121216cos,616nnn nnn 结论结论： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。设法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步骤利用

11、法向量求二面角的平面角的一般步骤：建立坐标系建立坐标系找点坐标找点坐标求求法向量坐标法向量坐标求两法向量夹角求两法向量夹角定值定值1,2SA 1.2AD AzyxDCBS图5例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，AB=BC=1， 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦 。解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，AzyxDCBS图5则110,0,0,0,0 ,0,1,0 ,1,1,0 ,0,0 ,22SABCD1,2SA 111.2AD 11(0, 0,),(0,1,)22SASB)21, 1, 1 (),21,0,21(SCSD显然平

12、面SBA的一个法向量为1(1 0 0)n ， ，2()nxyz， ， ，2SCDn 平面设平面SCD的一个法向量为则222002,(21 2)2200nSDxzzn,xyznSC 取则则1212121 22cos,1 33| |nnn nnn 评析：评析：因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点Q是是BC的中点，求锐二面角的中点，求锐二面角ADQA1的余弦值的余弦值xyz。ADQAAAnAAnAAn），（AAADQAAADQAAnzyxyxzx），（DQ），（DADQn

13、，DAnzy（xnDQAQAAD，D：3232214112,cos200)1,21, 1 (1,21, 102022021202),)0 ,2, 1 (),2,0 ,2(),0 ,0 ,2(),0 ,0 ,0(11111111111的平面角的余弦值是二面角平面是锐角观察图形可知二面角的的一个法向量是平面平面令则的一个法向量设平面则角坐标系空间直为原点建立如图所示的以解课后思考课后思考 （20092009天津理，天津理，1919） 如图，在五面体如图，在五面体ABCDEFABCDEF中，中，FAFA 平面平面ABCDABCD，ADADBCBCFEFE，ABAB ADAD，M M为为ECEC的中点

14、，的中点，AFAF= =ABAB= =BCBC= =FEFE= .= . (1) (1)求异面直线求异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小；所成的角的大小； (2)(2)证明：平面证明：平面AMDAMD平面平面CDECDE; ; (3) (3)求锐二面角求锐二面角A ACDCDE E的余弦值的余弦值. . (1) (1)解解 如图所示，建立空间直如图所示，建立空间直 角坐标系，点角坐标系，点A A为坐标原点，设为坐标原点，设 ABAB=1=1，依题意得，依题意得B B(1,0,0),(1,0,0), C C(1,1,0)(1,1,0)，D D(0,2,0),(0,2,0),E E(0,1,

15、1),(0,1,1),F F(0,0,1)(0,0,1)，AD21).21, 1 ,21(M.2122100|,cos),1 , 1, 0(),1 , 0 , 1(DEBFDEBFDEBFDEBF于是所以异面直线所以异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小为所成的角的大小为6060. .(2)(2)证明证明.,. 00),0 , 2 , 0(),1 , 0 , 1(),21, 1 ,21(ADCEAMCEADCE，AMCEADCEAM因此可得由又又AMAMADAD= =A A，故，故CECE平面平面AMDAMD. .而而CECE平面平面CDECDE，所以平面，所以平面AMDAMD平面平面CD

16、ECDE. .(3)(3)解解 设平面设平面CDECDE的法向量为的法向量为u u= =（x x, ,y y, ,z z) )，令令x x=1,=1,可得可得u u=(1,1,1).=(1,1,1).又由题设，平面又由题设，平面ACDACD的一个法向量的一个法向量v v=(0,0,1).=(0,0,1).因为二面角因为二面角A ACDCDE E为锐角，所以其余弦值为为锐角，所以其余弦值为 . 0, 0. 0, 0zyzxDECE于是则uu.3313100|,cos,vuvuvu所以.33已知ABC和DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，CBA=DBC120，求（1）直线AD与平面BCD

17、所成角的大小；（2）直线AD与直线BC所成角的大小；（3）二面角A-BD-C的余弦值 解：（1）过A作AECB与CB的延长线交与E，连接DE，平面ABC平面DBCAE平面DBC，ADE即为AD与平面CBD所成的角。ABBD，CBA=DBC，EBEBABEDBEDBE ABEDECB且DEAEADB45AD与平面CBD所成的角为45E（2）由（1）知CB平面ADEADBC即AD与BC所成的角为90（3）过E作EMBD于M由（2）及三垂线定理知，AMBD，AME为二面角ABDC的平面角的补角AEBE2MEtgAME2，故二面角ABDC的正切值为2 E四、课堂练习四、课堂练习余弦值解答如下： 空间中

18、的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，角、二面角等这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的确切地说，是来计算的确切地说，是“化归化归”到一个三角形中，通过解到一个三角形中，通过解三角形求其大小三角形求其大小定义如下： (3)二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做 二面角二面角. 以二面角的棱上任意一点

19、为端点，在两个面内分别作垂直于棱的以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二 面角叫做直二面角面角叫做直二面角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与相等或互补，（1 1）异面直线所成的角求法）异面直线所成的角求法 注：注：由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是

20、出，而二面角的范围是0，有时比较难判断二，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的余弦的正负来判断，故这是求二面角的【跟踪练习跟踪练习】的大小。求平面角若（平面求证：的中点是线段若，平面，为平行四边形，四边形在如图所示的几何体中CBFAAEBCACFEGMADMABCDEAACBABCD,2)2AB/,) 1.(2EFAB .EG/AC,FG/BCEF/AB,900【跟踪练习跟踪练习】【点评点评】 利用平面的法向量求二面角的大小和将二面角转化利用平面的法向量求二面角的大小和将二面角转化为在两半平面

21、内与棱垂直的两个向量的夹角来求两种为在两半平面内与棱垂直的两个向量的夹角来求两种方法都是利用向量的夹角来求二面角的大小，在方法一方法都是利用向量的夹角来求二面角的大小，在方法一中要注意两法向量的夹角的大小不一定就是所求二面角中要注意两法向量的夹角的大小不一定就是所求二面角的大小，有可能两法向量夹角的补角的大小才为所求的大小，有可能两法向量夹角的补角的大小才为所求 的大小。求平面角若（平面求证：的中点是线段若，平面，为平行四边形，四边形在如图所示的几何体中CBFAAEBCACFEGMADMABCDEAACBABCD,2)2AB/,) 1.(2EFAB .EG/AC,FG/BCEF/AB,900.

22、,x 0zm=n(0 n 0)mn11m(00)(m -n 0)x=2222mmm nx=zz-z= 0 0z222 2=(mEFGGDCMBEGEGACGGMAEABZZZ由已知线线平行关系面EFG/面ABCD.由EA面ABCDEA面EFG设（ ， ， ），AC= ，AD， ，（ ，0,0），。又/ AC/（ ，0,0）（ ，0,0）。（ ，0, ）（ ，0, ）（，）。可表示出（ ， ， ），-n 0)=p+qpqm n-z = 0pz +(qm -qn 0)=(qm -qnpz)2 2mn1-=qm=-qn -z=pzq=-p=-1222GMAEAB ，。由共面向量定理：只要（ ）（ ，

23、 为未知数）即可。把（ ）代入整理 （，）（，0, ）， ， ，。故成立！思考：（思考：（1 1）向量法？）向量法？0111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、 ，求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解2 练习练习 空间四边形空间四边形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB与与CD成成600角，求角，求AD与与BC所成的角大小所成的角大小.1AB 解 设ADABBCCD 2222 222ADABBCCDAB BCBC CDAB CD 1 1 1

24、00 14 2AD ()1AD BCABBCCD BC cos,1/ 2AD BC 例： 的棱长为 1.111.B CAB C求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.11(010)则，- ， ，BC B 11 平面AB C的一个法向量为D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF例：的棱长为 1.111.B CAB C求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解2 A1xD1B1ADBCC1yzEF练习练习 的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解

25、解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面PBD1的一个法向量为的一个法向量为1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一个法向量为的一个法向量为1(1,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/ 2, 120 10 .BD二面角A-C的大小为12的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2A1D1B1ADBCC1 例例2、空间四边形、空间四边形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB与与CD成成600角，求角，求AD与与BC所成的角所成的角 注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关

26、系：相等或互补的关系：相等或互补 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示，本题正遵循求向量用空间的一组基向量来表示，本题正遵循了这一规律了这一规律 本题多次运用了封闭回路本题多次运用了封闭回路评述：评述：练习：练习：ABCDA1B1C1D1 正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P 为为DD1的中的中点，点，O1,O2,O3分别是平面分别是平面A1B1C1D1、平面、平面BB1C1C、平面、平面ABCD的中心的中心O3PXYZ

27、（2） 求异面直线求异面直线PO3与与O1O2成的角成的角O2O1ACBDACABBDAB0 0已已知知二二面面角角 -AB-AB- 为为120120 ，且且，AB=AC=BD=1AB=AC=BD=1，(1)、求、求CD的长的长(2)、CD与与AB所成的角所成的角练习：练习：2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是影的方向向量分别是a=a=（1 1，0 0，1 1），），b=b=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_ ._ .3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别

28、m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为则两平面所成的钝二面角为_ ._ .基础训练基础训练:1 1、已知、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_ ._ .AB AC 6001350ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法

29、向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADABABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MB

30、CB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB例例2、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平为平行四边形，侧面行四边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。045ABC2 23.SABCSABCDOxyz【典例剖析典例剖析】 例例4、(2004，天津，天津)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，中，底面底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，

31、E是是PC的中点。的中点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。【典例剖析典例剖析】 ABCDPEGxyz【巩固练习巩固练习】 1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为为PC中点中点 ,则则PA与与BE所成角所成角的余弦值为的余弦值为_ . 2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_ . 3正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点, 则二面角则二面角E-BC-A的大小是的大小是_090BAC090BAC6631 01 0045如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余所成的角的余弦值弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【课后作业课后作业】