332简单的线性规划3.ppt

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1、高二数学（上）教学课件2022-6-271高二数学（上）教学课件2022-6-272解线性规划应用问题的一般步骤解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）1）理清题意，列出表格：）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题还原成实际问题( (准确作图，准确计算准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；画出线性约束条件所表示的可行域，

2、画图力保准确；法法1 1：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法法2 2：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。高二数学（上）教学课件2022-6-273应用应用1

3、 1有关二元一次代数式取值范围有关二元一次代数式取值范围解：由解：由、同向相加可得：同向相加可得：531026xx即 求求2x+y的取值范围。的取值范围。例例1.若实数若实数x,y满足满足4264yxyx 由由得得 24xy将上式与将上式与同向相加得同向相加得 20 y+ +得得1226yx以上解法正确吗？为什么？以上解法正确吗？为什么？高二数学（上）教学课件2022-6-274首先：我们画出首先：我们画出4264yxyx表示的平面区域表示的平面区域 当当x=3,y=0时时,得出得出2x+y的的最小值为最小值为6,但此时但此时x+y=3,点点(3,0)不在不等式组的所表不在不等式组的所表示的平

4、面区域内示的平面区域内,所以上述所以上述解答明显错了解答明显错了1234567x6543210-1-1-2y-2-3-42 yx4 yx6 yxADCB4 yx4264yxyx但不等式但不等式与不等式与不等式2053yx所表示的平面区域却不同？所表示的平面区域却不同？（扩大了许多！）（扩大了许多！）从图中我们可以看出从图中我们可以看出3502xy没错没错解得解得高二数学（上）教学课件2022-6-275通过分析，我们知道上述解法中，通过分析，我们知道上述解法中，是对的，但用是对的，但用x的最大的最大(小小)值及值及y的最大的最大(小小)值来值来确定确定2x+y的最大的最大(小小)值却是不合理的

5、。值却是不合理的。2y01026及x 怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线性规划问题。是我们今天要学习的线性规划问题。求求2x+y的取值范围。的取值范围。例例1.若实数若实数x,y满足满足4264yxyx 高二数学（上）教学课件2022-6-276y1234567x6543210-1-1-2-2-3-42 yx4 yx4yxADCB我们设我们设我们设我们设z=2x+y方程变形为方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为等式表示斜率为-2,纵截距为纵截距为z的直线的直线,把把z看成参数看成参数,方程表示的是一组平行线方程表示的是一组平行线

6、要求要求z的范围，现在就的范围，现在就转化为求转化为求这一组平行线这一组平行线中中,与阴影区域有交点与阴影区域有交点,且在且在y轴上的截距达到轴上的截距达到最大和最小的直线最大和最小的直线.6 yx2l0l1ll 由图，我们不难看出，这由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为种直线的纵截距的最小值为过过A(3,1)的直线，纵截距最的直线，纵截距最大为过大为过C(5,1)的直线。的直线。所以所以11152maxz7132minz过过A(3,1)时，因为时，因为z=2x+y，所，所以以7132z同理，过同理，过B(5,1)时，因为时，因为z=2x+y，所以，所以11152z高二数学（上）教学

7、课件2022-6-277y1234567x6543210-1-1-24yx-2-3-42 yx4 yx6 yxADCB0l1l2l解：作线形约束条件所表解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示的平面区域，即如图所示四边形示四边形ABCD。作直线，：020 yxl所以，111527132maxminzz求得求得 A(3,1) B(4,0) C(5,1) D(4,2)可使达到最小值，将直线0l平移，平移到过A点0l1l的平行线与yxz 2重合时，达到最大值。可使yxz2当0l平移过C点时，与0l2l的平行线重合时，例例1.若实数若实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范围的取值范围4264y

8、xyx高二数学（上）教学课件2022-6-278解法2：由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)ym+n=2，m-n=1 m=3/2 ，n=1/2 2x+y=3/2(x+y)+ 1/2 (x-y)4x+y6，2x-y472x+y11例例1.若实数若实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范围的取值范围4264yxyx高二数学（上）教学课件2022-6-279例例1:某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产已知生产甲甲种产品种产品1t需消需消耗耗A种矿石种矿石10t、B种矿石种矿石5t、煤、煤4t；生产生产乙乙种产品种产品1吨需消吨需消

9、耗耗A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤、煤9t.每每1t甲种产品的利润是甲种产品的利润是600元元,每每1t乙种产品的利润是乙种产品的利润是1000元元.工厂在生产这两种产品的工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗计划中要求消耗A种矿石不超过种矿石不超过300t、消耗消耗B种矿石不超过种矿石不超过200t、消耗煤不超过消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少甲、乙两种产品应各生产多少(精精确到确到0.1t),能使利润总额达到最大能使利润总额达到最大? 甲产品甲产品 （1t） 乙乙产品产品 （1t） 资源限额资源限额 （t）A种种矿石（矿石（t） B种矿石（种矿石（t） 煤（煤（t

10、） 利润（元）利润（元） 产品产品消耗量消耗量资源资源列表列表：51046004491000300200360设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元应用2有关利润最高、效益最大等问题高二数学（上）教学课件2022-6-2710例题分析例题分析 甲产品甲产品 （1t） 乙乙产品产品 （1t） 资源限额资源限额 （t）A种种矿石（矿石（t） B种矿石（种矿石（t） 煤（煤（t） 利润（元）利润（元） 产品产品消耗量消耗量资源资源列表列表：51046004491000300200360把题中限制条件进行把题中限制条件进行转化：转化：约束条件约束

11、条件10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y. 目标函数：目标函数：设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元xtyt高二数学（上）教学课件2022-6-2711例题分析解解:设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z=600 x+1000y. 元元,那么那么10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出以上不等式组所表示的可行域作出一组平行直线作出一组平行直线 60

12、0 x+1000y=t，解得解得交点交点M的坐标为的坐标为(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由由10 x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600 x+1000y=0M答答:应生产甲产品约应生产甲产品约12.4吨，吨，乙产品乙产品34.4吨，吨，能使利润总额达到最大。能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经过可行域上的点经过可行域上的点M时时,目标函数目标函数在在y轴上截距最大轴上截距最大.ll l9030 0 xy10 201075405040此时此时z=600 x+1000y取得最大值取得最大值.高二数学（上）教学课件2022-6-2712应用3

13、有关成本最低、运费最少等问题14,77xymin282116zxy幻灯片幻灯片13幻灯片幻灯片14高二数学（上）教学课件2022-6-27130:28210lxy0ly21zz7751476xyxy0 0y y0 0, ,x x0 0. .0 06 60 0. .0 07 7y y0 0. .1 14 4x x0 0. .0 06 60 0. .1 14 4y y0 0. .0 07 7x x0 0. .0 07 75 50 0. .1 10 05 5y y0 0. .1 10 05 5x x0 0y y0 0, ,x x6 67 7y y1 14 4x x6 61 14 4y y7 7x x

14、5 57 7y y7 7x x2 21 1z zx x3 34 4y y返回幻灯片返回幻灯片12高二数学（上）教学课件2022-6-2714线性规划的应用练习： 1、已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) =(m+n)a+(m-2n)bm+n=1，m-2n=3 m=5/3 ，n=-2/3 a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b)-1a+b1，1a-2 b3-11/3a+3 b1解法2：-1a+b1，1a-2 b3 -22a+2 b2， -32 b-a-1 -1/3a5/3 -4/3b0 -13/3a+

15、3 b5/3高二数学（上）教学课件2022-6-2715 已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。321211babababa解法2 约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3z1即 -11/3a+3 b1高二数学（上）教学课件2022-6-2716xy02x+y-600=0300600 x+2y-900=0A(100,400)2.某家具厂有方木材某家具厂有方木材90m3，木工板木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板木工板2m3；生产每个书橱需要方木料生产每个书橱

16、需要方木料0.2m3，木工板木工板1m3，出售一张书桌可以获利出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利元，出售一张书橱可以获利120元；元；（1）怎样安排生产可以获利最大？）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？）若只生产书橱可以获利多少？（1）设生产书桌）设生产书桌x张，书橱张，书橱y张，利张，利润为润为z元，元， 则约束条件为则约束条件为 0.1x+0.2y900.1x+0.2y902x+y6002x+y600 x x，yNyN* *Z=80 x+120yZ=80 x+120y作出不等式表示的平面区域，

17、作出不等式表示的平面区域，当生产当生产100张书桌，张书桌，400张书橱时利润最大为张书橱时利润最大为z=80100+120400=56000元元（2）若只生产书桌可以生产）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利张，用完木工板，可获利 24000元；元；（3）若只生产书橱可以生产）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利张，用完方木料，可获利54000元。元。将直线将直线z=80 x+120y平移可知：平移可知：900450求解：求解：高二数学（上）教学课件2022-6-2717产品 资源甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12

18、250利润（元）6009003 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?高二数学（上）教学课件2022-6-2718 解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则0025023002yxyxyxZ=600 x+900y作出可行域，可知直作出可行域，可知直线线Z=600 x+900y通过通过点点

19、M时利润最大。时利润最大。解方程组解方程组25023002yxyx得点得点M的坐标的坐标x=350/3117y=200/367答：应生产甲、答：应生产甲、乙两种棉纱分别乙两种棉纱分别为为117吨、吨、67吨，吨，能使利润总额达能使利润总额达到最大。到最大。高二数学（上）教学课件2022-6-27194、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡咖啡4g、糖、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡咖啡5g、糖、糖10g已知已知每天原料的使用限额为奶粉每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡咖啡2000g糖糖3000g,如果甲种饮料每

20、杯能获利如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利1.2元，元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大种饮料各多少杯能获利最大？解：将已知数据列为下表：解：将已知数据列为下表： 消耗量消耗量资源资源甲产品甲产品（1 杯）杯）乙产品乙产品(1杯杯)资源限额（资源限额（g）奶粉（奶粉（g g）9 94 436003600咖啡咖啡(g)(g)4 45 520002000糖糖(g)(g)3 3101030003000利润（元）利润（元）0.70.71.21.2产品产品高二数学（上）教学课

21、件2022-6-2720设每天应配制甲种饮料设每天应配制甲种饮料x x杯，乙种饮料杯，乙种饮料y y杯，则杯，则003000103200054360049yxyxyxyx作出可行域：作出可行域：目标函数为：目标函数为：z =0.7x +1.2yz =0.7x +1.2y作直线作直线l:0.7x+1.2y=0l:0.7x+1.2y=0，把直线把直线l l向右上方平移至向右上方平移至l l1 1的位置的位置时，时，直线经过可行域上的点直线经过可行域上的点C C，且与原且与原点距离最大，点距离最大，此时此时z =0.7x +1.2yz =0.7x +1.2y取最大值取最大值解方程组解方程组 得点得点

22、C C的坐标为（的坐标为（200200，240240）,3000103,200054yxyx_0_ 9 x + 4 y = 3600_ C (200,240)_ 4 x + 5 y = 2000_ 3 x + 10 y = 3000_ 7 x + 12 y = 0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_ 0_ x_ y高二数学（上）教学课件2022-6-2721煤矿 车站甲煤矿（元/吨）乙煤矿（元/吨）运量（万吨）东车站10.8280西车站1.51.6360产量（万吨）200300例2.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站

23、运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?应用3有关成本最低、运费最少等问题高二数学（上）教学课件2022-6-2722360)300()200(28000yxyxyx解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：目标函数为:z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y) =780-0.5x-0.8y (万元)答案：当答案：当 x=0,y=280时，即时，即甲煤矿运往东车站甲煤矿运往东车站0吨，西车站吨，西车站200吨；乙煤矿运往东车站吨；乙煤矿运往东车站280吨，西吨，西车站车站20吨吨.总运费最少总运费最少 556万元。万元。复习回顾：二元一次不等式二元一次不等式表示平面区域表示平面区域直线定界，直线定界，特殊点定域特殊点定域简单的线性规划简单的线性规划约束条件约束条件目标函数目标函数可行解可行解可行域可行域最优解最优解应用应用求解方法：画、求解方法：画、移、求、答移、求、答