推理与证明复习课件.ppt

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1、期末考试文科范围：复数，算法，概率，统计，集合，逻辑，函数，不等式，推推理证明理证明推理与证明推理与证明(复习课复习课)31.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题等综合命题考情解读演绎推理是证明数学结论、建立数学体演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程系的重要思维过程

2、. .数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现, ,主要靠合主要靠合情推理情推理. .复习推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）主干知识梳理1.合情推理合情推理(1)归纳推理归纳推理归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理事实概括出一般结论的

3、推理.归纳推理的思维过程如下：归纳推理的思维过程如下：实验实验、观察观察概括概括、推广推广猜测一般性结论猜测一般性结论(2)类比推理类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理的推理.类比推理的思维过程如下：类比推理的思维过程如下：观察观察、比较比较联想联想、类推类推猜测新的结论猜测新的结论2.演绎推理演绎推理(1)“三段论三段论”是演绎推理的一般模式，包括：是演绎推理的一般模式，包括：大前提大前提已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小

4、前提所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(2)合情推理与演绎推理的区别合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理有待进一

5、步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是六边形的个数是()题型一 归纳推理思维启迪 根据三个图案根据三个图案中的正六边形个中的正六边形个数寻求规律；数寻求规律；A.26 B.31C.32 D.36解析有菱形纹的正六边形个数如下表：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案图案123个数个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一由

6、表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以个以6为首项，以为首项，以5为公差的等差数列，为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选故选B.答案B(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是则下列座位号码符合要求的应当是()A.48,49 B.62,63C.75,76 D.84,85思维启迪 靠窗口的座位靠窗口的座位号码能被号码能被5整除整除或者被

7、或者被5除余除余1.解析由已知图形中座位的排列顺序，可得：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被被5除余除余1的数和能被的数和能被5整除的座位号临窗，整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的分析答案中的4组座位号，只有组座位号，只有D符合条件符合条件.答案D归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与

8、正整数有关的命题时有着广题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用泛的应用.其思维模式是其思维模式是“观察观察归纳归纳猜猜想想证明证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想，解题的关键在于正确的归纳猜想.思维升华变式训练1(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上号位上(如图如图)，第一次前后排动物互换座位，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，这样交替进行下去，那么第那么第202次互换座位后，小兔坐在第次互换座位后，小兔坐在第_号座位上号座位上.A.1 B.2

9、C.3 D.4解析考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，号位上，第二次坐在第二次坐在2号位上，第三次坐在号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐号位上，第四次坐在在3号位上，第五次坐在号位上，第五次坐在1号位上，号位上，因此小兔的座位数更换次数以因此小兔的座位数更换次数以4为周期，为周期，因为因为2025042，因此第，因此第202次互换后，小兔所在次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在因此小兔坐在2号位上，故选号位上，故选B.答案B题型二 类比推理思维启迪 平面几何中的面积

10、可类比到空间几何中的体积；平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以所以复习证明证明直接证明直接证明间接证明间接证明综合法综合法分析法分析法反证法反证法 一般地，利用已知条件和某些已经学一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做结论成立，这种证明方法叫做综合法综合

11、法。特点:“由因导果”证明复习证明复习则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q 一般地，从要证明的结论出发，逐步一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做方法叫做分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析

12、法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论回顾基本不等式：回顾基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba a b b2 2证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2证明证明: :要证要证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;因为因为; ; 成立成立所以所以 成立成立 a

13、a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2 反证法：反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的假设命题结论的反面成立，经过正确的推理推理, ,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误, ,从而从而证明原命题成立证明原命题成立, ,这样的的证明方法叫反这样的的证明方法叫反证法。证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成）假设命题结论不成立，即假设结论

14、的反面成-立；立；反设反设（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；归谬归谬 （3 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 - -论正确。论正确。存真存真 归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。应用反证法的情形：应用反证法的情形： (1)(1)直接证明困难直接证明困难; ; (2) (2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论（3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、

15、“有无穷有无穷多个多个” ” -类命题；类命题； （4 4）结论为结论为 “ “唯一唯一”类命题；类命题；题型三、反证法证明题型三、反证法证明例例1 1：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证：假设 a b不成立，则 a b证：假设 a b不成立，则 a b若 a =b，则a = b,若 a =b，则a = b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。例例2 2 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有

16、有且只有一个根。一个根。证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x1212则ax = b，ax = b则ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，

17、结论成立。故假设不成立，结论成立。121212122222112211221:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程1:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一个有实根.个有实根.2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均为为实实数数, ,且且a a = = x x - -2 2y y+ +, ,2 2b b = = y y - -2 2z z+ +, ,c c = = z z - -2 2x x+ +, ,3 36 6求求证证: :a a, ,b b, ,c c中中至至少少有有一一个个大大于于0 0. .作业作业