2017年高考文科数学北京卷含答案.pdf

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1、数学试卷第 1页（共 12页）数学试卷第 2页（共 12页） 绝密启用前 北京市 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知U R，集合 |22Ax xx 或，则= UA () A.( 2,2) B.(, 2)(2,) C. 2,2 D.(, 22,) 2.若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是() A.(,1)B.(, 1) C.(1,)D.( 1,)

2、3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为() A.2B. 3 2 C. 5 3 D. 8 5 4.若x,y满足 3, 2, , x xy yx 则2xy的最大值为() A.1B.3C.5D.9 5.已知函数 1 ( )3( ) 3 xx f x ，则( )f x() A.是偶函数，且在 R 上是增函数 B.是奇函数，且在 R 上是增函数 C.是偶函数，且在 R 上是减函数 D.是奇函数，且在 R 上是增函数 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为() A.60B.30C.20D.10 7.设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0m n ”的() A.充分而不必要条件 B.必

3、要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 61 33，而可观测宇宙中普通物质的 原子总数N约为 80 10则下列各数中与 M N 最接近的是() A. 33 10B. 53 10C. 73 10D. 93 10 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若 毕业学校_姓名_考生号_ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 3页（共 12页）数学试卷第 4页（共 12页） sin 1 = 3

4、 ,则sin. 10.若双曲线 2 2 1 y x m 的离心率为3,则实数m. 11.已知0 x ,0y ,且1xy,则 22 xy的取值范围是. 12.已知点P在圆 22=1 xy上,点A的坐标为()2,0,O为原点,则AO AP uuu r uuu r g的最大值 为. 13.能够说明“设a,b,c是任意实数若abc,则abc”是假命题的一组整数 a,b,c的值依次为. 14.某学习小组由学生和学科网和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件： ()男学生人数多于女学生人数； ()女学生人数多于教师人数； ()教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为 4,则女学生人数的最大值为. 该小组

5、人数的最小值为. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题 13 分) 已知等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 1ab, 24 10aa, 245 b ba. ()求 n a的通项公式； ()求和： 13521n bbbb 16.(本小题 13 分) 已知函数( )3cos(2)2sin cos 3 f xxxx . ()求( )f x的最小正周期； ()求证：当, 4 4 x 时, 1 2 f x 17.(本小题 13 分) 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方 法 从 中 随 机

6、抽 取 了 100 名 学 生 , 记 录 他 们 的 分 数 , 将 数 据 分 成 7 组 ： 20,30,30,40,80,90,并整理得到如下频率分布直方图： ()从总体的 400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70 的概率； ()已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,试估计总体中分数在区间40,50内的人数； ()已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于 70,且样本中分数不小于 70 的男女生 人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例 18.(本小题 14 分) 如图,在三棱锥PABC中,PAAB,PABC,ABBC,2PAABBC,D为线 段AC的中点,E为线段PC

7、上一点 ()求证：PABD； ()求证：平面BDEPAC 平面； ()当PABDE平面时,求三棱锥EBCD的体积 19.(本小题 14 分) 已知椭圆C的两个顶点分别为2,0A ,2,0B,焦点在x轴上,离心率为 3 2 ()求椭圆C的方程； ()点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM 的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为 4：5 20.(本小题 13 分) 已知函数( )e cos x f xxx ()求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； ()求函数( )f x在区间 0, 2 上的最大值和最小值 数学试卷第 5页（共 12页

8、）数学试卷第 6页（共 12页） 2017 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 文科数学答案解析 第一部分 一、选择题 1 【答案】C 【解析】由已知得，集合 A的补集2,2 UA 【考点】集合的补运算 2 【答案】B 【解析】复数(1i)(i)1+(1)iaaa，其在复平面内对应的点(1,1)aa在第二象 限,故 10, 10, a a ，解得1a ,故选：B 【考点】复数的乘法运算，复数的几何意义 3 【答案】C 【解析】第一次循环，1k ，2s ；第二次循环，2k ， 3 2 s ；第三次循环，3k ， 5 3 s ，此时k不满足条件，推出循环，输出的值为 5 3 【考点】循环结构

9、的程序抠图，学生的计算能力 4 【答案】D 【解析】 作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示（三角形 ABC 及其内部） ， 三个顶点分别为(1,1)A，(3, 1)B，(3,3)C 平移直线+2 =0 xy， 易知当直线过(3,3)C 时，+2xy取得最大值，即 max ( +2 )=323=9xy 【考点】线性规划 5 【答案】B 【解析】由 1 ()( )3( ) 3 xx fxf x ，得知( )f x为奇函数，因为 1 ( ) 3 x y 在R上是减 函数，所以 1 ( ) 3 x y 在 R 上是增函数，又3xy 在 R 上是增函数，所以 1 ()3( ) 3 xx fx在

10、R上是增函数，故选 B 【考点】函数的奇偶性和单调性 6 【答案】D 【解析】如图，把三棱锥AABC放到长方体中，长方形的长、高、宽分别为 5，3， 4，BCD，为直角三角形，直角边分别为 5 和 3，三棱锥AABC的高为 4，故该 三棱锥的体积是 11 5 3 410 32 V 【考点】三视图和三棱锥体积的求解，空间想象能力 7 【答案】A 【解析】对于非零向量 m，n，若存在负数，使得mn，则 m，n 互为相反向量，则 0m n， 满足充分性； 而0m n包含向量互为相反向量或者其夹角为钝角两种情 况,故由0m n推出互为相反向量，所以不满足必要性所以“存在负数，使得 mn”是“0m n”

11、的充分而不必要条件，故选 A 【考点】向量共线，向量的数量积和充要关系 8 【答案】D 【解析】由已知得， 93.28 lglglg361 lg380 lg10361 0.4880=lg10 M MN N 故与 M N 最接近 的是 93 10 【考点】数运算和数据估算 第二部分 二填空题 9 【答案】 1 3 【解析】解法一当角的终边在第一象限时，取角终边上一点 1( )2 2,1P，其关于 y 数学试卷第 7页（共 12页）数学试卷第 8页（共 12页） 轴的对称点()2 2,1，在角的终边上，此时 1 3 sin；当角的终边在第二象限 时，取角终边上一点 2( )2 2,1P，其关于 y

12、 轴的对称点(2 2,1)在角的终边上， 此时 1 3 sin，综合可得 1 3 sin 解法二令角与角均在区间0,内，故角与角互补，得 1 3 sinsin 解法三由已知可得， 1 sinsin (2k+)sin ()sin (Z) 3 k 【考点】解直角三角形，坐标与图形性质. 10 【答案】2 【解析】由已知可得1a ，1cm，所以13 c em a ，解得2m 【考点】双曲线的离心率. 11 【答案】 1 ,1 2 【 解 析 】 解 法 一有 已 知 可 得 ,1yx ， 代 入 22 xy， 得 222222 11 +(1)2212() 22 xyxxxxx ，0,1x当0 x 或

13、1x 时取 得最大值 1，当 1 2 x 时，取得最小值 1 2 ，所以 22 xy的取值范围是 1 ,1 2 解法二当直线+1x y 与两坐标轴的交点分别为(0,1)A，(1,0)B，点( , )P x y为线段 AB 上一点， 则 P 到原点 O 的距离为 22 22 0012 2 11 POxy ， 又1POAO， 所以 22 2 1 2 xy，所以 22 xy的取值范围是 1 ,1 2 解法三令cosxt，sinyt， 0, 2 ， +(cossin )2 sin( + )1 4 x ytt， 解得 1 2sin( +) 4 t ， 3 +, 444 ， 2 sin( +)1 24 ，

14、 12sin( +)2 4 . 所以 2 ,1 2 t ， 222 1 ,1 2 xyt 【考点】代数式的取值范围，数形结合思想，转化与化归思想的应用 12 【答案】6 【解析】解法一由题意知，(2,0)AO uuu r ，令(cos ,sin)P，则cos+2,s(i)nAP uuu r ， cos+2,s(2,0) ()inco24s6AO AP uuu r uuu r ,故AO AP uuu r uuu r 的最大值为 6 解 法 二由 题 意 知 ，(2,0)AO uuu r ， 令( , )P x y，11x ， 则 (2,0) (2, )246AO APxyx uuu r uuu

15、r ，故AO AP uuu r uuu r 的最大值为 6 【考点】向量的数量积. 13 【答案】1, 2, 3 （答案不唯一） 【解析】解法一取1a ，2b ，3c ，满足abc，但+3a bc ，不满足 +a bc，故设a，b，c是任意实数若abc，则+a bc是假命题的一组整 数,a，b，c的值依次为1, 2, 3 解法二命题“设a，b，c是任意实数.若abc，则+a bc的逆否命题是” “设 a,b,c是任意实数.若+a bc，则abc” 其逆否命题也是假命题，令1a ， 2b ,3c ，满足+a bc，但不满足abc，所以可以取1a ，2b ， 3c 【考点】命题的真假判断 14 【

16、答案】6 12 【解析】令男学生、女学生、教师人数分别是, ,x y z,且xyz,若教师人数为 4，则 48yx，当7x 时，y取得最大值 6当1z 时，12zyx不满足 条件； 当2z 时24zyx， 不满足条件； 当3z 时36zyx4y ， 5x ，满足条件，所以该小组人数的最小值为34512 【考点】学生的逻辑推理能力 三、解答题 15 【答案】()21 n an () 21 13521 31 1333 2 n n n bbbb 【解析】解：()设等差数列 n a的公差为 d. 因为 24 10aa，所以 1 2410ad. 解得2d . 所以21 n an. 数学试卷第 9页（共

17、12页）数学试卷第 10页（共 12页） ()设等比数列的公比为 q. 因为 245 b ba，所以 3 11 9bqbq . 解得 2 3q . 所以 221 211 3 nn n bbq . 从而 21 13521 31 1333 2 n n n bbbb 【考点】等差数列，等比数列的通项公式和等比数列求前 n 项和 16【答案】解： () 3313 ( )cos2sin2sin2sin2cos2sin(2) 22223 f xxxxxxx. 所以( )f x的最小正周期 2 2 T . ()因为 44 x， 所以 5 2 636 x. 所以 1 sin(2)sin() 362 x . 所

18、以当 , 4 4 x 时， 1 ( ) 2 f x . 【考点】三角函数化简，三角恒等变换，三角函数的性质 17 【答案】解：()根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为 (0.020.04) 100.6，所以样本中分数小于 70 的频率为10.60.4， 所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人,其分数小于 70 的概率估计为 0.4 ()根据题意,样本中分数不小于 50 的频率为(0.010.020.040.02) 100.9，分数 在区间40,50)内的人数为1001000.955 所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为 5 40020 100 ()由题意可知,

19、样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.020.04) 10 10060， 所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 1 6030 2 所以样本中的男生人数为30260，女生人数为1006040，男生和女生人数的比 例为60:403:2 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2 【考点】分层抽样，数据处理能力 18 【答案】解：()因为PAAB,PABC， 所以PA 平面ABC， 又因为BD 平面ABC， 所以PABD ()因为ABBC，D为AC中点， 所以BDAC， 由()知，PABD， 所以BD 平面PAC 所以平面BDE 平面PAC ()因为PA平面BDE，平面PA

20、C 平面BDEDE， 所以PADE 因为D为AC的中点， 所以 1 1 2 DEPA，2BDDC 由()知,PA 平面ABC，所以DE 平面PAC 所以三棱锥EBCD的体积 11 63 VBD DC DE 【考点】线线垂直，面面垂直和三棱锥的体积 19 【答案】解：()设椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab 由题意得 2, 3 , 2 a c a 解得3c 所以 222 1bac 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y ()设( , )M m n，则( ,0),( ,)D mN mn 由题设知2m ，且0n 直线AM的斜率 2 AM n k m ，故直线DE的斜率 2 D

21、E m k n 所以直线DE的方程为 2 () m yxm n 直线BN的方程为(2) 2 n yx m 联立 2 (), (2), 2 m yxm n n yx m 解得点E的纵坐标 2 22 (4) 4 E nm y mn 由点M在椭圆C上，得 22 44mn 所以 4 5 E yn 又 12 | | | 25 BDEE SBDyBDn ， 1 | | 2 BDN SBDn ， 数学试卷第 11页（共 12页）数学试卷第 12页（共 12页） 所以BDE与BDN的面积之比为4:5 【考点】椭圆的方程、几何性质和三角形的面积公式 20 【答案】解：()因为( )e cos x f xxx，所

22、以( )e (cossin ) 1,(0)0 x fxxxf 又因为(0)1f，所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为1y ()设( )e (cossin ) 1 x h xxx，则( )e (cossinsincos )2e sin xx h xxxxxx 当 (0, ) 2 x时，( )0h x, 所以( )h x在区间 0, 2 上单调递减 所以对任意 (0, 2 x有( )(0)0h xh，即( )0fx 所以函数( )f x在区间 0, 2 上单调递减 因此( )f x在区间 0, 2 上的最大值为(0)1f，最小值为 ( ) 22 f 【考点】导数，曲线的切线方程和函数的最值