32特殊平行四边形(第2课时).ppt

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1、第2课时2.特殊平行四边形1.1.能证明菱形与正方形的性质定理和判定定理能证明菱形与正方形的性质定理和判定定理. .2.2.能用菱形、正方形的性质进行简单的证明与计算能用菱形、正方形的性质进行简单的证明与计算. . 平行四边形平行四边形 邻边相等邻边相等菱形菱形在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系没变？哪些关系变了哪些关系变了？如果改变了边的如果改变了边的长度长度，使两邻边相等，那么这个平，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四

2、边形？行四边形成为怎样的四边形？菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质切性质对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等对角线互相平分对角线互相平分菱形的性质定理菱形的性质定理1 1：菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等ABDC有一组邻边相等的平行四边形叫菱形有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 【定义定义】定理定理: :菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等. .已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .分析分析: :由菱形的定义由菱形的定义, ,利用平行四边形利用平行四边形性质可使问题得证性质可使问题得证.

3、.证明证明: : 四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,AB=AD,AB=AD,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .AB=CD,AD=BC.AB=CD,AD=BC.求证求证:AB=BC=CD=DA.:AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=AD. AB=BC=CD=AD.CBDA画出等腰画出等腰ABCABC关于底边关于底边ACAC对称的图形对称的图形OACBD请观察和猜想所得四边形有何特征？请观察和猜想所得四边形有何特征？菱形的对角线互相垂直菱形的对角线互相垂直, ,并且每一条对角线平分一组对角并且每一条对角线平分一组对角. .请证明这个命题请证明这个命题!

4、!菱形是轴对称图形菱形是轴对称图形已知：菱形已知：菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O，如图，如图，证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .ABCDO在等腰在等腰ABDABD中，中，BO=DO.BO=DO.AB=ADAB=AD（菱形的四条边都相等）（菱形的四条边都相等）. .ACBDACBD，ACAC平分平分BAD.BAD.同理：同理：ACAC平分平分BCDBCD； BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC求证：求证：ACBDACBD； ACAC平分平分BADBAD和和BCD BCD ；BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC

5、 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角组对角菱形的四条边都相等；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角并且每一条对角线平分一组对角特殊性！特殊性！菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形对称性！对称性！DOACB【例例1 1】已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是边长为是边长为13 cm13 cm的菱形的菱形, ,其中对角线其中对角线BDBD长长10cm.10cm.求求:(1):(1)对角线对角线ACAC的长度的长度

6、. .(2)(2)菱形菱形ABCDABCD的面积的面积D DB BC CA AE E【例题例题】【解析解析】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,=2=2ABDABD的面积的面积11DEBD105 cm ,22AED=90AED=90, ,(2)(2)菱形菱形ABCDABCD的面积的面积= =ABDABD的面积的面积+ +CBDCBD的面积的面积2222AEADDE13512 cm ,AC=2AE=2AC=2AE=212=24(cm).12=24(cm).AEBD21221210 12120 cm .2ODCBA若用若用a,ba,b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面积为：表

7、示菱形的两条对角线，那么菱形的面积为：baS21菱形的面积公式菱形的面积公式菱形的面积等于两条对角线乘积的一半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.1.1.（怀化（怀化中考）如图，在菱形中考）如图，在菱形ABCDABCD中，中，对角线对角线AC=4AC=4，BAD=120BAD=120，则菱形，则菱形ABCDABCD的周长为（的周长为（ ）. .(A)20 (B)18 (C)16 (D)15(A)20 (B)18 (C)16 (D)152.2.已知菱形的周长是已知菱形的周长是12 cm12 cm，那么它的边，那么它的边长是长是_._.3.3.如图，菱形如图，菱形ABCDABCD中中ABCABC6

8、060，则，则BACBAC _._.ODCBA3cm3cm6060C【跟踪训练跟踪训练】如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形叫做菱形. .根据定义得：根据定义得：ABCD.,是菱形中在ABCDADABABCD还有什么方法吗还有什么方法吗? ?，定理定理: :四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形. .已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中, , AB=BC=CD=D

9、A.AB=BC=CD=DA.分析分析: :利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形是平行四边形, ,可使问题得证可使问题得证. .证明证明: :AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=DA.AB=CD,BC=DA.AB=CD,BC=DA.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .AB=AD.AB=AD.四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .C CB BD DA A定理定理: :对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .已知已知: :如

10、图如图, ,在在ABCDABCD中中, ,对角线对角线ACBD.ACBD.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .分析分析: :要证明要证明ABCDABCD是菱形是菱形, ,只要证只要证明有一组邻边相等即可明有一组邻边相等即可. .证明证明: :AO=CO.AO=CO.ACBD.ACBD. DA=DC. DA=DC.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .DBCAO3.3.对角线对角线互相互相垂直平分的四边形垂直平分的四边形是菱形是菱形. .菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：2.2.对角线对角线互相互相垂

11、直垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .1 1. .ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，（1 1）若）若AB=ADAB=AD，则，则ABCDABCD是是 形形. .（2 2）若）若AC=BDAC=BD，则，则ABCDABCD是是 形形. .（3 3）若）若ABCABC是直角，则是直角，则ABCDABCD是是 形形. .（4 4）若）若BAO=DAOBAO=DAO，则，则ABCDABCD是是 形形A AB BC CD DO O菱菱矩矩矩矩菱菱【跟踪训练跟踪训练】由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边

12、相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形如图形，又是有一个角为直角的菱形如图(1)(1) 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. .正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形的菱形【定义定义】定理定理: :正方形的两条对角线相等正方形的两条对角线相等, ,并且互相垂并且互相垂直平分直平分, ,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角. .求证求证:(1)AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO.:(1)AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO.(2)AC(

13、2)AC平分平分BADBAD和和BCD,BCD,BDBD平分平分ADCADC和和ABC. ABC. 已知已知: :四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AC,BD,AC,BD是它的两条对角线是它的两条对角线. .ABCDO分析分析: :因为正方形具有矩形和菱形的所有性质因为正方形具有矩形和菱形的所有性质, ,所以结论所以结论易证易证. .证明证明: :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,也是矩形也是矩形, ,也是菱形也是菱形. .AO=CO,BO=DO;AO=CO,BO=DO; AC=BD;AC=BD;四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,ACBD;A

14、CBD;ACAC平分平分BADBAD和和BCD,BDBCD,BD平分平分ADCADC和和ABC.ABC.定理定理: :正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是直角, ,四条边都相等四条边都相等. .求证求证: :(1)(1)A=B=C=D=90A=B=C=D=90. . (2)AB=BC=CD=DA. (2)AB=BC=CD=DA.分析分析: :因为正方形具有矩形和菱形的所因为正方形具有矩形和菱形的所有性质有性质, ,所以结论易证所以结论易证. .A AB BC CD D已知已知: :四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形. .证明证明: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形, ,

15、也是菱形也是菱形. .A=B=C=D=90A=B=C=D=90, ,AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=DA.四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,1.1.菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. .对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .有四条边相等的四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形. .对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形. .有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形. .对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形. .2.2

16、.正方形的判定方法：正方形的判定方法：2.2.（柳州（柳州中考）在正方形中考）在正方形ABCDABCD的外侧作等边的外侧作等边ADEADE，则则AEBAEB的度数为（的度数为（ ）1.1.（河北（河北中考）中考）在在ABCDABCD中，中，ACAC平分平分DABDAB，AB=3AB=3， 则则ABCDABCD的周长为（的周长为（ ）(A)6 (B)9 (C)12 (D)15(A)6 (B)9 (C)12 (D)15ABCD【解析解析】选选C.C.可证明可证明ABCDABCD是菱形是菱形(A)10(A)10 (B)12.5 (B)12.5 (C)15(C)15 (D)20 (D)20C C3.3

17、.（盐城（盐城中考）如图所示，在菱形中考）如图所示，在菱形ABCDABCD中，两条对角线中，两条对角线ACAC6 6，BDBD8 8，则此菱形，则此菱形的边长为（的边长为（ ）(A)5(A)5 (B)6 (C)8 (B)6 (C)8 (D)10 (D)10ABCD【解析解析】选选A.A.根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理得菱形的边长为定理得菱形的边长为5 54 4（西安（西安中考）若一个菱形的边长为中考）若一个菱形的边长为2 2，则这个菱形两，则这个菱形两条对角线长的平方和为（条对角线长的平方和为（ ）(A)16(A)16 (B)8 (B)8 (C)4(C

18、)4 (D)1 (D)1A AEBCDA5.5.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCDABCD，以，以ABAB为边向正方形外作等为边向正方形外作等边三角形边三角形ABEABE，连接，连接DEDE，CECE，则，则DEC=_. DEC=_. 【解析解析】ABEABE为等边三角为等边三角形形,BAE=60,BAE=60， DAE=150DAE=150，ADEADE为等腰三角形，为等腰三角形，AED=AED=1515，同理，同理BEC=15BEC=15，所以，所以DEC=30DEC=30. .答案：答案：30306.6.（徐州（徐州中考）如图，在中考）如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC

19、边的边的中点，中点，E,FE,F分别在分别在ADAD及其延长线上，及其延长线上，CEBFCEBF，连接，连接BE,CFBE,CF(1)(1)求证：求证：BDFBDFCDECDE(2)(2)若若AB=ACAB=AC，求证：四边形，求证：四边形BFCEBFCE是菱形是菱形【证明证明】（1 1）D D是是BCBC的中点，的中点，BD=CD.BD=CD.CEBFCEBF，DBF=DCE.DBF=DCE.又又BDF=CDEBDF=CDE，BDFBDFCDE.CDE.（2 2）CDECDEBDFBDF，DE=DF.DE=DF.BD=CDBD=CD，四边形四边形BFCEBFCE是平行四边形是平行四边形. .

20、在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD，ADBCADBC，即，即EFBC.EFBC.四边形四边形BFCEBFCE是菱形是菱形. .有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. .1.1.定义：定义：2.2.菱形的性质：菱形的性质：边边对角线对角线角角菱形的性质菱形的性质菱形的两条对角线互相平分；菱形的两条对角线互相平分；菱形的两组对边平行且相等；菱形的两组对边平行且相等；菱形的四条边相等；菱形的四条边相等；菱形的两组对角分别相等；菱形的两组对角分别相等；菱形的邻角互补；菱形的邻角互补；菱形的两条对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角每一条对角线平分一组对角5.5.正方形常用的判定方法：正方形常用的判定方法：(1)(1)对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形. .(2)(2)有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形. .(3)(3)对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形. .4.4.正方形的性质：正方形的性质：(4)(4)有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形. .菱形的性质菱形的性质+ +矩形的性质矩形的性质希望便是快乐，创造便是快乐冰心