2019年吉林省长春市中考数学试卷含答案.pdf

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1、数学试卷第 1页（共 24页）数学试卷第 2页（共 24页） 绝密启用前 吉林省长春市 2019 年中考数学试卷 数学 一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1.如图,数轴上表示2的点 A 到原点的距离是() A.2B.2C. 1 2 D. 1 2 2.2019 年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为 275 000 000 人 次,275 000 000 这个数用科学记数法表示为() A. 7 27.5 10B. 9 0.275 10C. 8 2.75 10D. 9 2.75 10 3.如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视

2、图是() ABCD 4.不等式20 x 的解集为() A.2xB.2xC.2xD.2x 5.九章算术是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出 九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九 钱,会多出 11 钱；每人出 6 钱,又差 16 钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 x, 买鸡的钱数为 y,可列方程组为() A. 911 616 xy xy B. 911 616 xy xy C. 911 616 xy xy D. 911 616 xy xy 6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子 AB的长是 3米.若梯子与地面的夹角

3、为 ,则梯子顶端到地面的距离 C 为() A.3sin米 B.3cos米 C. 3 sin 米 D. 3 cos 米 7.如图,在ABC中,ACB为钝角.用直尺和圆规在边 AB 上确定一点 D.使 2ADCB ,则符合要求的作图痕迹是() AB CD 8.如图, 在平面 直角坐标 系中,RtABC的顶点 A、C 的坐标 分别是(0,3)、 (3,0).90ACB,2ACBC,则函数 k (0,0) x ykx的图象经过点 B,则 k 的值 为 () A. 9 2 B.2C. 27 8 D. 27 4 -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 毕业学校_姓名_考生号_ _ 毕业学校_姓名_考生号_

4、_ 数学试卷第 3页（共 24页）数学试卷第 4页（共 24页） 二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 9.计算：3 55. 10.分解因式：2abb. 11.一元二次方程 2 310 xx 的根的判别式的值是. 12.如图,直线MNPQ,点 A、 B 分别在 MN、 PQ 上,33MAB.过线段 AB 上的点 C 作CDAB交 PQ 于点 D,则CDB的大小为. 13.如图,有一张矩形纸片ABCD,8AB ,6AD .先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落 在边 AB 上,点 D 落在点 E 处,折痕为 AF；再将AEF沿 EF 翻折,AF 与 BC 相交于 点 G,则G

5、CF的周长为. 14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 2 8 2(0) 3 yaxaxa与y轴交于点A,过点A作 x 轴的平行线交抛物线于点 M.P 为抛物线的顶点.若直线 OP 交直线 AM 于点 B,且 M 为线段 AB 的中点,则 a 的值为. 三、解答题(共 10 小题,满分 78 分) 15.(本小题满分 6 分) 先化简,再求值： 2 (21)4 (1)aa a,其中 1 8 a . 16.(本小题满分 6 分) 一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家” 、 “家” 、 “乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回 并搅

6、匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求小 新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率. 17.(本小题满分 6 分) 为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工 彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这 种彩灯的数量. 18.(本小题满分 7 分) 如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作O,点E在BC边上,连结AE交O 于点 F,连结 BF 并延长交 CD 于点 G. (1)求证：ABEBCG； (2)若55AEB,3OA ,求BF的长.(结果保留) 数学试卷第 5页（共 24页）数

7、学试卷第 6页（共 24页） 19.(本小题满分 7 分) 网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况, 从该校七年级随机抽取 20 名学生,进行了每周网上学习的调查.数据如下(单位： 时)： 32.50.61.51223.32.51.8 2.52.23.541.52.53.12.83.32.4 整理上面的数据,得到表格如下： 网上学习时间 x(时)01x 12x 23x 34x 人数2585 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 统计量平均数中位数众数 数值2.4mn 根据以上信息,解答下列问题： (1)上表中的中位数 m 的值为,众数 n 的值为. (2

8、)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按 18 周计算)网上学习 的时间. (3)已知该校七年级学生有 200 名,估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数. 20.(本小题满分 7 分) 图、图、图均是66的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形 的边长为 1,点 A、B、C、D、E、F 均在格点上.在图、图、图中,只用无刻度 的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法. (1)在图中以线段 AB 为边画一个ABM,使其面积为 6. (2)在图中以线段 CD 为边画一个CDN,使其面积为 6. (3)在图中以线段 EF 为边画一个四

9、边形 EFGH,使其面积为 9,且90EFG. 图图图 -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 毕业学校_姓名_考生号_ _ 数学试卷第 7页（共 24页）数学试卷第 8页（共 24页） 21.(本小题满分 8 分) 已知 A、B 两地之间有一条 270 千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以 60 千米/时 的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地,乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地,两车分别 到达目的地后停止.甲、 乙两车相距的路程 y(千米)与甲车的行驶时间 x(时)之间的函 数关系如图所示. (1)乙车的速度为千米/时,a ,b . (2)求甲、乙两车相遇后 y 与 x 之间的函数关

10、系式. (3)当甲车到达距 B 地 70 千米处时,求甲、乙两车之间的路程. 22.(本小题满分 9 分) 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容. 例 2 如图,在ABC中,D,E 分别是边 BC,AB 的中点,AD,CE 相交于点 G,求证： 1 3 GEGD CEAD . 证明：连结 ED. 请根据教材提示,结合图,写出完整的证明过程. 结论应用：在ABCDY中,对角线 AC、BD 交于点 O,E 为边 BC 的中点,AE、BD 交 于点 F. (1)如图,若ABCDY为正方形,且6AB ,则 OF 的长为. (2)如图,连结 DE 交 AC 于点 G,若四边形

11、OFEG 的面积为 1 2 ,则ABCDY的面积 为. 图图图 数学试卷第 9页（共 24页）数学试卷第 10页（共 24页） 23.(本小题满分 10 分) 如图,在RtABC中,90C,20AC ,15BC .点 P 从点 A 出发,沿 AC 向终点 C 运动,同时点 Q 从点 C 出发,沿射线 CB 运动,它们的速度均为每秒 5 个单位长度, 点 P 到达终点时,P、 Q 同时停止运动.当点 P 不与点 A、 C 重合时,过点 P 作PNAB 于点 N,连结 PQ,以 PN、PQ 为邻边作PQMNY.设PQMNY与ABC重叠部分图 形的面积为 S,点 P 的运动时间为 t 秒. (1)A

12、B 的长为； PN 的长用含 t 的代数式表示为. (2)当PQMNY为矩形时,求 t 的值； (3)当PQMNY与ABC重叠部分图形为四边形时,求 S 与 t 之间的函数关系式； (4)当过点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMNY一边中点时,直接写出 t 的值. 24.(本小题满分 12 分) 已知函数 2 2 ,() 1 ,() 222 xnxnxn y nn xxxn (n 为常数) (1)当 n5, 点(4, )Pb在此函数图象上,求 b 的值； 求此函数的最大值. (2)已知线段 AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A、(4,2)B,当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时,直

13、接写出 n 的取值范围. (3)当此函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4,求 n 的取值范围. 吉林省长春市 2019 年中考数学试卷 数学答案解析 一、选择题 1.【答案】B 【解析】解：数轴上表示2的点 A 到原点的距离是 2. 故选：B. 【考点】绝对值的定义. 2.【答案】C 【解析】解：将 275 000 000 用科学记数法表示为： 8 2.75 10. 故选：C. 【考点】科学记数法. 3.【答案】A 【解析】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最右边有 1 个正方形. 故选：A. -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 毕业学校_姓名_考生号_ _ 数学试卷第

14、 11页（共 24页）数学试卷第 12页（共 24页） 【考点】三视图. 4.【答案】D 【解析】解：移项得：2x， 系数化为 1 得：2x. 故选：D. 【考点】合并同类项. 5.【答案】D 【解析】解：设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为： 911 616 xy xy . 故选：D. 【考点】列方程解决问题. 6.【答案】A 【解析】解：由题意可得：sin 3 BCBC AB ， 故3sin ( )BCm. 故选：A. 【考点】锐角三角函数关系. 7.【答案】B 【解析】解：2ADCB 且ADCBBCD ， BBCD ， DBDC， 点 D 是线段 BC 中垂线与 AB 的交点，

15、故选：B. 【考点】线段的中垂线的性质. 8.【答案】D 【解析】解：如图，过点 B 作BDx轴，垂足为 D， A、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0)， 3OAOC， 在RtAOC中， 22 3 2ACOAOC， 又2ACBC， 3 2 2 BC ， 又90ACB， 45OACOCABCDCBD ， 3 223 222 CDBD， 39 3 22 OD 9 3 , 2 2 B 代入 k y x 得： 27 4 k ， 故选：D. 【考点】直角坐标系. 二.填空题 9.【答案】2 5 【解析】解：原式2 5. 故答案为：2 5. 【考点】合并同类二次根式. 10.【答案】(2)b a 【解析

16、】解：2(2)abbb a. 故答案为：(2)b a . 【考点】分解因式. 11.【答案】5 数学试卷第 13页（共 24页）数学试卷第 14页（共 24页） 【解析】解：1,3ab ，1c ， 22 4( 3)4 1 15bac . 故答案为：5. 【考点】判别式. 12.【答案】57 【解析】解：直线MNPQ， 33MABABD ， CDAB， 90BCD， 903357CDB . 故答案为：57. 【考点】平行线的性质，三角形内角和定理. 13.【答案】42 2 【解析】解：由折叠的性质可知，45DAFBAF ， 6AEAD， 2EBABAE， 由题意得，四边形 EFCB 为矩形， 2

17、FCED， ABFC， 45GFCA ， 2GCFC， 由勾股定理得， 22 2 2GFFCGC， 则GCF的周长42 2GCFCGF， 故答案为：42 2. 【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，周长公式. 14.【答案】2 【解析】解：抛物线 2 8 2(0) 3 yaxaxa与 y 轴交于点 A， 8 0, 3 A ，抛物线的对称轴为1x . 顶点 P 坐标为 8 (1,) 3 a，点 M 坐标为 8 (2, ) 3 . 点 M 为线段 AB 的中点， 点 B 坐标为 8 (4, ) 3 设直线 OP 解析式为ykx(k 为常数，且0k )， 将点 8 (1,) 3 Pa代入得 8

18、3 ak， 8 3 ya x . 将点 8 (4, ) 3 B代入得 88 ()4 33 a， 解得2a . 故答案为：2. 【考点】抛物线解析式，对称性. 三、解答题 15.【答案】2 【解析】解：原式 22 4414481aaaaa 81a， 当 1 8 a 时，原式812a . 【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式. 16.【答案】 5 9 【解析】解：画树状图如图： 共有 9 个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有 5 个， 小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为 5 9 . 数学试卷第 15页（共 24页）数学试卷第 16页（共 24页） 【考点】概率. 17.

19、【答案】300 【解析】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的 数量为 1.2x 套， 由题意得： 90009000 5 1.2xx ， 解得：300 x ， 经检验，300 x 是原方程的解，且符合题意. 答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 300 套. 【考点】列方程，解方程. 18.【答案】(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，AB 为O的直径， 90ABEBCGAFB ， 90BAFABF，90ABFEBF， EBFBAF， 在ABE与BCG中， EBFBAF ABBC ABEBCG ， ()ABEBCG ASA； (2)解：如图，连接 OF

20、， 90ABEAFB ，55AEB， 905535BAE ， 270BOFBAE ， 3OA ， BF的长 70 37 1806 g . 【 解 析 】 (1) 根 据 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， AB 为O的 直 径 ， 得 到 90ABEBCGAFB ，根据余角的性质得到EBFBAF，根据全等三 角形的判定定理即可得到结论； (2)连接 OF，根据三角形的内角和得到905535BAE ，根据圆周角定理得到 270BOFBAE ，根据弧长公式即可得到结论. 【考点】正方形的性质，圆的性质，余角的性质，余角的性质，三角形的内角和，圆周 角定理，弧长公式. 19【答案】(1) 2.

21、5 2.5 (2)43.2(小时) (3)130(人) 【解析】解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5， 2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4， 中位数 m 的值为 2.52.5 2.5 2 ，众数 n 为 2.5； 故答案为：2.5，2.5. (2)2.4 18 43.2 (小时)， 答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按 18 周计算)网上学习的时间为 43.2 小时. (3) 13 200130 20 (人)， 数学试卷第 17页（共 24页）数学试卷第 18页（共 24页） 答： 该校七年级学生有

22、 200 名， 估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数为 130 人. 【考点】中位数，众数，平均数. 20.【答案】解：(1)如图所示，ABM即为所求； (2)如图所示，CDN即为所求； (3)如图所示，四边形 EFGH 即为所求； 图图图 【解析】(1)利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； (2)利用三角形面积求法得出答案； (3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案. 21.【答案】解：(1)乙车的速度为：(270602)275千米/时， 270753.6a ，270604.5b . 故答案为：75；3.6；4.5. (2)603.6216(千米)， 当23.6x

23、时，设 11 yk xb，根据题意得： 11 11 20 3.6216 kb kb ，解得 1 1 135 270 k b ， 135270(23.6)yxx ； 当64.6x 时，设60yx， 135270(23.6) 60 (3.64.5) xx y xx ； (3)甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间为： 20 (27070)60 6 (小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为： 20 135270180 6 (千米). 答：当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180 千米. 【解析】(1)根据图象可知两车 2 小时后相遇，根据路程和为 270 千米即可求

24、出乙车的 速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定 a、b 的值； (2)运用待定系数法解得即可； (3)求出甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可. 22.【答案】证明：如图，连结 ED. 在ABC中，D，E 分别是边 BC，AB 的中点， DEAC， 1 2 DEAC， DEGACG， 2 CGAGAC GEGDDE ， 3 CGGEAGGD GEGD ， 1 3 GEGD CEAD ； 结论应用： (1)解：如图. 四边形 ABCD 为正方形，E 为边 BC 的中点，对角线 AC、BD 交于点 O， ADBC， 11 22 BEBCAD， 1 2 BO

25、BD， BEFDAF， 1 2 BFBE DFAD ， 1 2 BFDF， 1 3 BFBD， 1 2 BOBD， 111 236 OFOBBFBDBDBD， 正方形 ABCD 中，6AB， 6 2BD ， 2OF . 数学试卷第 19页（共 24页）数学试卷第 20页（共 24页） 故答案为2； (2)解：如图，连接 OE. 由(1)知， 1 3 BFBD， 1 6 OFBD， 2 BF OF . BEF与OEF的高相同， BEF与OEF的面积比2 BF OF ， 同理，CEG与OEG的面积比2， CEG的面积BEF的面积2(OEG的面积OEF的面积) 1 21 2 ， BOC的面积 3 2

26、 ， ABCDY的面积 3 46 2 . 故答案为 6. 图图图 【解析】 教材呈现： 如图， 连结 ED.根据三角形中位线定理可得DEAC， 1 2 DEAC， 那么DEGACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明 1 3 GEGD CEAD ； 结论应用：(1)如图.先证明BEFDAF，得出 1 2 BFDF，那么 1 3 BFBD， 又 1 2 BOBD，可得 1 6 OFOBBFBD，由正方形的性质求出6 2BD ，即 可求出2OF ； (2)如图，连接 OE.由(1)易证2 BF OF .根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比 得出BEF与OEF的面积比2 BF OF

27、， 同理，CEG与OEG的面积比= 2， 那 么CEG的 面 积BEF的 面 积= 2(OEG的 面 积OEF的 面 积) 1 21 2 ，所以BOC的面积 3 2 ，进而求出ABCD 的面积 3 46 2 . 23.【答案】(1)解：在RtABC中，90C，20AC ，15BC . 22 201525AB . 3 sin 5 CAB， 由题可知5APt， 3 sin53 5 PNAPCABttgg. 故答案为：25；3t. (2)当PQMNY为矩形时，90NPQ， PNAB， PQAB， CPCQ CABC ， 由题意可知5APCQt，205CPt， 2055 2015 tt ， 解得 12

28、 7 t ， 即当PQMNY为矩形时 12 7 t . (3)当PQMNYABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况， .如解图(3)1 所示. PQMN 在三角形内部时.延长 QM 交 AB 于 G 点， 由(1)题可知： 4 cossin 5 AB， 3 cos 5 B ，5APt，155BQt，3PNQMt. cos4ANAPAtg，cos93BGBQBtg，sin124QGBQBtg， PQMNY在三角形内部时.有0QMQG， 03124tt ， 12 0 7 t . 数学试卷第 21页（共 24页）数学试卷第 22页（共 24页） 254(93 )16NGttt. 当 12 0 7 t

29、 时，PQMNY与ABC重叠部分图形为PQMNY，S 与 t 之间的函数 关系式为 2 3(16)348SPNNGtttt gg. .如解图(3)2 所示.当0QGQM，PQMN 与ABC重叠部分图形为梯形 PQMG 时， 即：0243tt，解得： 12 3 7 t ， PQMNY与ABC重叠部分图形为梯形 PQMG 的面积 2 111 ()(16)(3124 )1496 222 SNG PNQGttttt. 综上所述：当 12 0 7 t 时， 2 348Stt .当 12 3 7 t ， 2 1 1496 2 Stt. (4)当过点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMN 一边中点时，有两

30、种情况， .如解题图(4)1，PRBC，PR 与 AB 交于 K 点， R 为 MN 中点， 过 R 点作RHAB， PKNHKRB， 39 cot3 44 t NKPNPKNtgg， NRMR，HRPNQM， 1 (16) 2 NHGHt， 1 2 HRGM， 3(124 )712GMQMQGttt， 11 (712) 22 HRGMt. 133 cot(712)(712) 248 KHHRHKRttg， NKKHNH， 931 (712)(16) 482 ttt， 解得： 100 43 t ， .如解题图(4)2，PRBC， PR 与 AB 交于 K 点， R 为 MQ 中点， 过 Q 点

31、作QHPR， HPNAQRH ，四边形 PCQH 为矩形， 339 sin 2510 tt HQQRQRHgg 205PCt， 9 205 10 t t，解得 200 59 t . 综上所述：当 100 43 t 或 200 59 时，点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMN 一边中点. 【解析】(1)根据勾股定理即可直接计算 AB 的长，根据三角函数即可计算出 PN. (2)当PQMNY为矩形时，由PNAB可知PQAB，根据平行线分线段成比例定理可 得 CPCQ CABC ，即可计算出 t 的值. (3)当PQMNY与ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，.PQMNY在三角 形内部时，

32、 .PQMNY有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算 面积. (4)当过点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMNY一边中点时，有两种情况，.过 MN 的 中点，.过 QM 的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质 和可列方程计算 t 值. 【考点】勾股定理，三角函数，平行线分线段成比例定理，解三角形. 24.【答案】解：(1)当 n5 时， 数学试卷第 23页（共 24页）数学试卷第 24页（共 24页） 2 2 55(5) 155 (5) 222 xxx y xxx ， 将(4, )Pb代入 2 155 222 yxx ， 9 2 b ； 当5x时，当5x

33、时有最大值为 5； 当5x时，当 5 2 x 时有最大值为 45 8 ； 函数的最大值为 45 8 ； (2)将点(4,2)代入 2 yxnxn 中， 18 5 n ， 18 4 5 n 时，图象与线段 AB 只有一个交点； 将点(2,2)代入 2 yxnxn 中， 2n， 将点(2,2)代入 2 1 222 nn yxx 中， 8 3 n ， 8 2 3 n 时图象与线段 AB 只有一个交点； 综上所述： 18 4 5 n ， 8 2 3 n 时，图象与线段 AB 只有一个交点； (3)当xn时， 22 11 2222 nn ynn ， n 4 2 ， 8n ； 当 2 n x 时， 1 8

34、2 n y ， 1n 4 82 ， 31 2 n ， 当xn时， 22 ynnnn ，4n； 函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4 时，8n或 31 4 2 n. 【解析】(1)将(4, )Pb代入 2 155 222 yxx ；当5x时，当5x 时有最大值为 5；当5x时，当 5 2 x 时有最大值为 45 8 ；故函数的最大值为 45 8 ； (2)将点(4,2)代入 2 yxnxn 中，得到 18 5 n ，所以 18 4 5 n 时，图象与线段 AB 只有一个交点； 将点(2,2)代入 2 yxnxn 和 2 1 222 nn yxx 中， 得到2n， 8 3 n ， 所以 8 2 3 n 时图象与线段 AB 只有一个交点； (3)当xn时， n 4 2 ，得到8n；当 2 n x 时， 1n 4 82 ，得到 31 2 n，当xn时， 22 ynnnn ，4n.