§622算术平均数与几何平均数(二).ppt

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1、6.2.2算术平均数算术平均数与几何平均数与几何平均数 (二二)o教学目的：教学目的：o 1.进一步掌握均值不等式定理；进一步掌握均值不等式定理；o 2.会应用此定理求某些函数的最值；会应用此定理求某些函数的最值；o 3.能够解决一些简单的实际问题能够解决一些简单的实际问题. o教学重点：教学重点：均值不等式定理的应用均值不等式定理的应用.o教学难点：教学难点：解题中的转化技巧解题中的转化技巧.一、复习引入：一、复习引入：1.重要不等式：重要不等式：22,R,2( )a bababab 如果那么当且仅当时取号2.定理：定理： +,R ,( ).2a ba babab 如果那么当且仅当时取号3.

2、公式的等价变形：公式的等价变形： 222,R,()22ababa babab 如果那么,2a ba baba b 称为的算术平均数； 称为的几何平均数。4.0,2( )baababab 如果那么当且仅当时取号5.定理：定理： +333, ,R ,3( ).a b cabcabcabc 如果那么当且仅当时取号6推论：推论： +3, ,R ,( ).3a b ca b cabcabc 如果那么当且仅当时取号7.两个概念两个概念:n个正数的算术平均数不小于（即大于或等个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。于）它们的几何平均数。如果如果a1、a2、an 0 ，且，且 n1，那么，那

3、么 12(1)naaann称为这 个正数的算术平均数；12(2)nna aan称为这 个正数的几何平均数。121212(,)nnnnaaaa aaa aaRn 例例1.已知已知x、y都是正数，求证：都是正数，求证：(1)如果积如果积xy是定值是定值P,那么当那么当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值;2 P(2)如果和如果和x+y是定值是定值S,那么当那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值.412S证明：因为证明：因为x,y都是正数，所以都是正数，所以 xyyx 2(1)积积xy为定值为定值P时，有时，有Pyx 2Pyx2 上式当上式当 x=y 时，取时，取“=”号，号，因此，当因此

4、，当 x=y时，和时，和 x+y有最小值有最小值P2(2)和和x+y为定值为定值S时，有时，有,2Sxy 上式当上式当x=y时取时取“=”号，因此，当号，因此，当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值241S241Sxy 三、讲解范例：三、讲解范例：(1)两个正数的和为定值，其积有最大值两个正数的和为定值，其积有最大值.(2)两个正数的积为定值，其和有最小值两个正数的积为定值，其和有最小值.但应注意三个方面：但应注意三个方面：)函数式中各项必须都是正数函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；)等号成立条件必须存在等号成立条件必

5、须存在. 一正，二定，三相等一正，二定，三相等 结论结论:利用均值定理求最值利用均值定理求最值例例2. 求函数求函数y=11 xx (x0)的最小值，并求相应的的最小值，并求相应的x的值的值 解：解：111) 1(11 xxxxy x 0， x+10，011 x由由x+1=11 x得得x=011 xx (x 0)有最小值，最小值是有最小值，最小值是y=1当当x=0时时y=112111)1( xxy例例3.求函数求函数41622 xxy的最大值的最大值3)1(164162222 xxxxy解：解：131622 xx3213122 xx3326 y22,131222 xxxx即即当且仅当当且仅当

6、时取得最大值时取得最大值 例例4.若若x0，y0，且且x+y=2，求求x2+y2的最小值的最小值解解：x2+y2 2xy， 2(x2+y2) (x+y)22)(222yxyx x+y=2，x2+y2 2即即x2+y2的最小值为的最小值为2当且仅当当且仅当x=y=1时取得最小值时取得最小值 1求函数求函数y=(1 3x)x (0 x0,y0，且，且3x+4y=12，求，求lgx+lgy的最大值的最大值 5求函数求函数y=1 2x x3的最值，下面解法是否正确？为什么？的最值，下面解法是否正确？为什么？解：解： 2x+62322 xx则则621 yymax=621 x3书面作业书面作业课堂练习课堂练习 练习练习2.3.4 习题习题6.2 6.7