41圆的方程.ppt

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1、解析几何解析几何4.1.1圆的标准方程圆的标准方程求：圆心是求：圆心是C(a,b)，半径是，半径是r的圆的方程的圆的方程xCMrOy说明：说明：1、特点：特点：明确给出了圆心明确给出了圆心坐标和半径。坐标和半径。2、确定圆的方程必须具确定圆的方程必须具备备三个三个独立条件。独立条件。 设设M(x,y)是圆上任意一点，是圆上任意一点， 根据定义，点根据定义，点M到圆心到圆心C的的 距距离等于离等于r，所以圆，所以圆C就是集合就是集合 P=M| |MC|=r 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适适合的条件可表示为：合的条件可表示为：(x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边

2、平方得：把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2(x-3)2+(y-4)2=5练习：练习：1、写出下列各圆的方程：、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点圆心在点C(3, 4 )，半径是，半径是 (2) 经过点经过点P(5,1),圆心在点圆心在点C(8,-3)5(x-8)2+(y+3)2=25补充练习：补充练习：写出下列各圆的圆心坐标和半径：写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1,2) 3(-a,0) |a|3 3、圆心在（、圆心在（-1-1、2 2），与），

3、与y y轴相切轴相切XY0c-1C(-1、2) r=1(x+1)2+(y-2)2=1(x-2)2+(y-2)2=4 或或 (x+2)2+(y+2)2=4202C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X4 4、圆心在直线、圆心在直线y=xy=x上上, ,与两轴同时相切与两轴同时相切, ,半径为半径为2.2.XY0C（8、3）P（5、1）5 5、已知圆经过、已知圆经过P(5P(5、1),1),圆心在圆心在C(8C(8、3),3),求圆方程求圆方程. .(x-8)2+(y-3)2=13 例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3

4、)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABC 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆形有唯一的外接圆 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 （1）222)()(rbyax 因为因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（标都满足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba.25, 3, 22rba所以，所以， 的外接圆的方程的外接圆的方程 ABC25) 3()2(2

5、2yx(1)经过点经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上上；思维点拨：思维点拨：(1)可设圆的标准方程，利用待定系数法求解；可设圆的标准方程，利用待定系数法求解；(2)利用几何法求圆的半径利用几何法求圆的半径解：解：(1)设圆的标准方程为设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意列出方程组由题意列出方程组圆的标准方程是圆的标准方程是(x4)2(y3)225.因此线段因此线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是l即即033 yx 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，且圆心，且圆心C在直线

6、上在直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C的圆的标准方程的圆的标准方程 解解：圆心圆心C的坐标是方程组的坐标是方程组01033yxyx的解的解. 2, 3yx所以圆心所以圆心C的坐标是的坐标是)2, 3(圆心为圆心为C的圆的半径长的圆的半径长5)21 ()31 (|22 ACr所以，圆心为所以，圆心为C的圆的标准方程是的圆的标准方程是25)2() 3(22yxB Bx xo oy yA AC Cl如图所示，设直线与圆相交于如图所示，设直线与圆相交于A、B两点，因为圆周被直线两点，因为圆周被直线3x+4y+15=0分成分成1 2两部分，所以两部分，所以AOB=120.而圆心到直线而圆心到

7、直线3x+4y+15=0的距离的距离d= =3，在，在AOB中，可求得中，可求得OA=6.所以所求圆所以所求圆的方程的方程为为 + =36.(2)圆心在原点，且圆周被直线圆心在原点，且圆周被直线3x4y150分成分成1 2两部分的圆的方程；两部分的圆的方程；例例1：求以：求以C（1，3）为圆心，并且和直线）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切相切的圆的方程。的圆的方程。CyxOM解：设所求圆的方程为：解：设所求圆的方程为： (x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=r=r2 2| 31 43 7 |32+(-4)2=516r =因此，所求圆的方程是因此，所求圆的方程是 (

8、x-1)2 2+(y-3)2 2=25256因为圆因为圆C和直线和直线3x-4y-7=0相切相切 所以圆心所以圆心C到这条直线的距离到这条直线的距离等于半径等于半径r 根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得5以以(A(1，2)，B(5，6)为直径端点的为直径端点的圆的方程是圆的方程是 。(x2)2+(y4)2=136圆心在圆心在 3xy=0 上与上与x轴相切并且被直轴相切并且被直线线 y=x 截得的弦长为截得的弦长为2 的圆的方程的圆的方程是是 。7(x1)2+(y3)2=9或或(x+1)2+(y+3)2=9例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高O

9、P=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得：b= -10.5 r2=14.52所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程， (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y0,所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)222)()(rbyax圆心圆心C(

10、 (a, ,b),),半径半径rxyOCABC1.1.圆的标准方程圆的标准方程2.2.圆心圆心两条直线的交点两条直线的交点（弦的垂直平分线）（弦的垂直平分线）直径的中点直径的中点3.3.半径半径圆心到圆上一点圆心到圆上一点圆心到切线的距离圆心到切线的距离在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？ A AO OA AO OA AO O (1)(1)drdr时，点在时，点在圆外圆外；(2)(2)d=rd=r时，点在时，点在圆上圆上；(3)(3)drdr2在圆外：在圆外：X02+y02=r2点点M M( (x x0 0, , y y0 0) )在圆在圆x x2 2y

11、 y2 2r r2 2内的条件是什么？内的条件是什么？在圆外呢？在圆外呢？ 点到圆心的距离为点到圆心的距离为d d， 在直角坐标系中，已知点在直角坐标系中，已知点M(xM(x0 0，y y0 0) )和圆和圆C C： ，如何判断点，如何判断点M M在圆外在圆外圆上、圆内？圆上、圆内？222()()xaybr(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C外外; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C上上; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(

12、y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C内内. .例例已知两点已知两点P1(4, 9)和和P2(6, 3)，求以，求以P1P2为直径的为直径的圆的方程，试判断点圆的方程，试判断点M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是是在圆上，在圆内，还是在圆外？在圆上，在圆内，还是在圆外？ 答：（x-5)2+(y-6)2=10例例 集合集合(x(x，y)|(x-a)y)|(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2rr2 2 表示的图形是什么？表示的图形是什么？ A Ar rx xo oy y思考思考7:7:方程方程 ， ，是圆方程吗？是圆方程吗？222()()xay

13、br222()()xaybr22()()xaybm思考思考8:8:方程方程 与与 表示的曲线分别是什么？表示的曲线分别是什么？24(1)yx24(1)yx 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxM),(00yxMyxO.,),(.,.12002202000000000ryyxxryxMxxyxyyMyxkxykkkkOMOM 所求的切线方程是所求的切线方程是在圆上在圆上, ,所以所以因为点因为点的切线方程是的切线方程是经过点经过点， 解解: :设切线的斜率为设切线的斜率为 则则 例例2 已知圆的方程是已知圆

14、的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxMP(x , y ),(00yxM 由勾股定理：由勾股定理：OM2+MP2=OP2解法二（利用平面几何知识）：解法二（利用平面几何知识）：在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0 x +y0 y = r2圆的方程是圆的方程是 ，经过圆上一点，经过圆上一点 的切线的方程的切线的方程222ryx),(00yxMx0 x +y0 y = r2过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为： (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2练习3：写出过圆x2+y2=10

15、上一点 M（2， ) 的切线方程。6练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求： （1）斜率等于1的切线的方程；2x + y =106 62（2）在y轴上截距是 的切线方程。y = x+2所以切线方程为：y = x2提示：设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半径1，得： |b|12+(-1)2=1 解得b=22、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方 程。 课后思考题：x=3和5x+12y-39=0回顾：求过定点的切线方程的基本方法：回顾：求过定点的切线方程的基本方法： （待定系数法）（待定系数法） （1）点在圆上）点在圆上 一解；一解； （2）点不在圆上）点不

16、在圆上 两解两解 特别注意斜率不存在的直线,不要漏解 如右图所示，圆如右图所示，圆O1和圆和圆O2的半径都等于的半径都等于1，O1O24.过动点过动点P分别作圆分别作圆O1、圆、圆O2的切线的切线PM、PN(M、N为切点为切点)，使得，使得|PM| |PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程的轨迹方程思维点拨：思维点拨：先建立适当的直角坐标系，利用勾股定理把公式先建立适当的直角坐标系，利用勾股定理把公式|PM| |PN|转化成半径和圆外一点与圆心的连线的关系进行转化成半径和圆外一点与圆心的连线的关系进行求解求解解：以解：以 的中点的中点O为原点，为原点，

17、 所在直线为所在直线为x轴，轴，建立如右图所示的坐标系，则建立如右图所示的坐标系，则 (-2,0)， (2,0)由已知由已知|PM|= |PN|，.又又两圆的半径均为两圆的半径均为1，所以所以 设设P(x，y)，即，即 ，即即.所求动点所求动点P的轨迹方程为的轨迹方程为 . 已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3)，端点端点A在圆在圆(x1)2y24上运上运 动，求线段动，求线段AB的中点的中点M的轨迹的轨迹解：解：设点设点M的坐标是的坐标是(x，y)，点，点A的坐标是的坐标是(x0，y0)，由于点由于点B的坐标是的坐标是(4,3)，且点，且点M是线段是线段AB的中点的中点

18、所以所以x ，且，且y ，于是有于是有x02x4，y02y3.因为点因为点A在圆在圆(x1)2 y2 4上运动，上运动， 所以点所以点A的坐标满足方程的坐标满足方程(x1)2y24，即即(x01)2 4.把把代入代入，得，得(2x41)2(2y3)24，整理，得整理，得 1.4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程研究圆的标准方程研究圆的标准方程将圆的标准方程展开将圆的标准方程展开, ,化简化简, ,整理整理, ,可得可得 x x2 2+y+y2 2-2ax-2by+(a-2ax-2by+(a2 2+b+b2 2-r-r2 2)=0,)=0,取取D=-2a,E=-2b,F=aD=-2a,E=-2b

19、,F=a2 2+b+b2 2-r-r2 2, ,可写成可写成:x:x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.也就是说也就是说: : 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：的形式：x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 请大家思考一下请大家思考一下,反过来讲反过来讲,形形如如的方程的曲线是否一定的方程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我们来深是一个圆呢？下面我们来深入研究这一方面的问题入研究这一方面的问题. (x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2研究二元二次方程

20、表示的图形研究二元二次方程表示的图形 再将上述方程再将上述方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 左边运用配方法左边运用配方法, ,得得(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2= = D D2 2E E2 22 22 2D DE E4 4F F4 4 显然显然是不是圆方程与是不是圆方程与 是什么样的数是什么样的数 密切相关密切相关 2 22 2D DE E4 4F F4 4 (1)(1)当当D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时时, ,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=( )=( )2 2 D D

21、2 2E E2 22222DE4FDE4F2 2方程表示以方程表示以(- ,- )(- ,- )为圆心、以为圆心、以 为半径的圆为半径的圆. .D D2 2E E2 22 22 21 1D DE E4 4F F2 2 (2)(2)当当D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0时时, ,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=0=0 D D2 2E E2 2方程只有实数解方程只有实数解x=- ,y=- ,x=- ,y=- ,表示一个点表示一个点(- ,- ).(- ,- ). D D2 2E E2 2D D2 2E E2 2(3)(3)当当D D2 2+E+

22、E2 2-4F-4F0 0时时, ,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 20 0 D D2 2E E2 2方程没有实数解方程没有实数解, ,因而它不表示任何图形曲线因而它不表示任何图形曲线. . 得结论、给定义得结论、给定义方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹的轨迹可能是圆、点或无轨迹. . 我们把我们把D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时时x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0所表示的所表示的圆的方程称为圆的一般方程圆的方程称为圆的一般方程. . 学过两种形

23、式的圆的方学过两种形式的圆的方程程( (标准方程和一般方程标准方程和一般方程) )之后之后, ,谁能指出它们各自谁能指出它们各自的优点呢？的优点呢？圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2圆的一般方程圆的一般方程 x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点突出了形式上的特点: :(1)x(1)x2 2和和y y2 2的系数相同的系数相同, ,且不等于且不等于0 0(2)(2)没有没有xyxy这样的二次项这样的二次项. . 以上两点是二元二次方程以上两点是二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bx

24、y+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的表示圆的 条件条件. . 必要不充分条件必要不充分条件明确指出了圆心和半径明确指出了圆心和半径 2. 2.补充练习补充练习: :(1)(1)方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以表示的曲线是以(-2,3)(-2,3) 为圆心为圆心,4,4为半径的圆为半径的圆. .求求D D、E E、F F的值的值答案答案:D=4,E=-6,F=-3:D=4,E=-6,F=-3(2)(2)求经过三点求经过三点A(1,-1)A(1,-1)、B(1,4)B(1,4)、C(4,-2)C(4,-2)的的圆圆

25、的方程的方程. .待定系数法待定系数法,答案答案:x:x2 2+y+y2 2-7x-3y+2=0.-7x-3y+2=0. 例例1.1.求过三点求过三点O(0,0),MO(0,0),M1 1(1,1),M(1,1),M2 2(4,2)(4,2)的圆的方程的圆的方程, ,并求并求 出这个圆的圆心坐标和半径出这个圆的圆心坐标和半径. . 分析分析:圆的一般方程需确定三个系数圆的一般方程需确定三个系数, ,用待定系数法用待定系数法. . 解解:设所求的圆的方程为设所求的圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,因为因为O O、M M1 1、M M2 2 三点在圆上

26、三点在圆上, ,所以它们的坐标是方程的解所以它们的坐标是方程的解, , 解此方程组解此方程组, ,可得可得:D=-8,E=6,F=0. :D=-8,E=6,F=0. 所求圆的方程为所求圆的方程为:x:x2 2+y+y2 2-8x+6y=0.-8x+6y=0. F F0 0D DE EF F2 20 04 4D D2 2E EF F2 20 00 0 将此方程左边配方得圆的标准方程将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)(x-4)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=5=52 2, ,于是圆心坐标于是圆心坐标(4,-3),(4,-3),半径为半径为r=5.r=5. 方法方法: :待定系数法待定系

27、数法和配方法和配方法例例2.2.经过点经过点M(-6,0)M(-6,0)作圆作圆C:xC:x2 2+y+y2 2-6x-4y+9=0-6x-4y+9=0的割线的割线, ,交圆交圆 C C于于A A、B B两点两点, ,求线段求线段ABAB的中点的中点P P的轨迹的轨迹. . 解解: :圆圆C C的方程可化为的方程可化为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,其圆心为其圆心为C(3,2),C(3,2), 半径为半径为2.2.设设P(x,yP(x,y) )是轨迹上任意一点是轨迹上任意一点.CPMP.CPMP k kCPCPkkMPMP=-1,=-1,即即 =-1.=-1. 化简得化简得x x2 2+y+y2 2+3x-2y-18=0,+3x-2y-18=0, 点点C C在曲线上在曲线上, ,并且曲线为圆并且曲线为圆C C内部的一段圆弧内部的一段圆弧. . y2yy2yx3x6x3x6