314空间向量的正交分解及其坐标表示.pptx

《314空间向量的正交分解及其坐标表示.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《314空间向量的正交分解及其坐标表示.pptx（52页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 . 如如果果两两个个向向量量a,ba,b不不共共线线，则则向向量量p p与与向向量量a,ba,b共共面面的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数对对x x，y y，使使p pxaxaybyb共线向量定理: :共面向量定理: :. 0对对空空间间任任意意两两个个向向量量a a, , （b b b b ）， a a / / / /b b的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数，使使a ab b 12121 112122121221212如如果果e e， e e 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内

2、的的任任一一向向量量a a，有有且且只只有有一一对对实实数数，使使a ae ee .e .（e e 、 e e 叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组基基底底）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoji(1,0),(0,1),0(0,0).ij 向量如如图图，设设i,j,ki,j,k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量，且且有有公公共共起起点点O.O.对对于于空空间间任任意意一一个个向向量量p = OP,p = OP,设设点点Q Q为为点点P P在在i,ji,j所所确确定定的的平平面面上上的的正正投投影影，由由平平面面基基本本定定理理可可知知

3、，在在OQ,kOQ,k所所确确定定的的平平面面上上，存存在在探探究究点点1 1 实实数数z z，使使得得OP = OQ+zk,OP = OQ+zk,而而在在i,ji,j所所空空间间向向量量确确定定的的基基本本定定理理平平面面上上，xyzkijQPO由由平平面面向向量量基基本本定定理理可可知知，存存在在有有序序数数对对 x,yx,y ，使使得得OQ = xi+yj.OQ = xi+yj.从从而而OP = OQ+zk = xi+yj+zk.OP = OQ+zk = xi+yj+zk.如如果果i,j,ki,j,k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量，那那么么，对对空空间间任任一一个个向向

4、量量p p，存存在在一一个个有有序序实实数数组组 x,y,z ,x,y,z ,使使得得p = xi+yj+zk.p = xi+yj+zk.xi,yj,zkxi,yj,zk为为向向量量p p在在i,j,ki,j,k上上的的分分向向量量. . 实 个个对对间间实实数数组组间间间间a,b,cp, ,pabp|pabcc,., ,Rx y zxyxzxyzy z 如如果果三三向向量量不不共共面面，那那么么空空任任一一向向量量存存在在有有序序使使得得空空向向量量基基本本定定理理：空空所所有有向向量量的的集集合合在在空空间间中中，如如果果用用任任意意三三个个不不共共面面向向量量a a, ,b b, ,c

5、c代代替替两两两两垂垂直直的的向向量量i i, ,j j, ,探探k k, ,能能得得到到类类似似的的究究结结论论点点吗吗？ 2 2 a,b,ca,b,c间间个个基基叫叫做做空空的的一一，都都叫叫向向量量. .基基做做底底 12312312121231233 3设设为为有有公公共共起起点点O O的的三三个个两两两两垂垂直直的的单单位位向向量量 我我们们称称它它们们为为单单位位，以以e e，e e ，e e 的的公公共共起起点点O O为为原原点点，分分别别以以e e，e e ，e e 的的方方向向为为x x轴轴，y y轴轴，z z轴轴的的正正方方向向建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系Oxyz.

6、Oxyz.那那么么对对于于空空间间任任意意一一个个向向量量 ，一一定定可可以以把把它它平平移移，使使它它的的起起点点与与原原e e，e e点点O O重重，合合，得得到到向向量量e e正正交交基基底底p pOP = p.OP = p.由由 .123123123123空空间间向向量量基基本本定定理理可可知知，存存在在有有序序实实数数组组xx，y y，zz，使使得得我我们们把把x x，y y，z z称称作作向向量量p p在在单单位位正正交交基基底底p pxexeyeye ze ze e e，e e ，e ep =(xp =(x，y y，此此时时向向量量p p的的坐坐标标恰恰是是点点P P在在空空间间

7、直直角角坐坐标标系系OxyzOxyz中中的的坐坐标标 x,yx,y下下的的坐坐标标,z,z，记记作作z).z).由由空空间间向向量量基基本本定定理理可可知知，空空间间任任意意一一个个向向量量都都可可以以用用三三个个不不共共面面的的向向量量表表示示出出来来. .基础训练1设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：a，b，c为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底，当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量B2已知a，b，c是空间的一个基底，则可以和向量

8、pab，qab构成基底的向量是()Aa BbCa2b Da2cD3设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量a3i2jk，b2i4j2k的坐标分别是_(3,2，1)，(2,4,2)解析：解析：i，j，k是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a(3,2，1)，b(2,4,2)3解析：解析：如图，G为ABC重心，E为AB中点，题型探究类型一基底的概念例1设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一组基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间一组基底的向量组有()A1个B2个C3个 D4个C分析能否作为空间的一组基底，即是判断给出的向量组

9、中的三个向量是否共面，由于a，b，c是不共面向量，所以可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直观判断方法归纳(1)充分利用一些常见的几何体，如：长方体、正方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行相关的判断，利用向量计算来证明，一般选取适当的一组基底，寻找关系，易得结果(2)三个向量不共面是这三个向量构成空间一组基底的充要条件跟踪训练1已知a、b、c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是( )A2a，ab，a2b B2b，ba，b2aCa,2b，bc Dc，ac，ac解析：因为a，b，c不共面，易知a,2b，bc不

10、共面故应选C.C类型二用基底表示向量方法归纳在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确(如夹角或线段长度)的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题D类型三求向量的坐标分析空间向量的坐标源于向量的正交分解，如果把向量a写成xiyjzk，则a的坐标为(x，y，z)；还可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向量的坐标方法归纳用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，

11、且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法， 其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解； 其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标(1,1,2)思 悟 升 华空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的我们在用选定的基向量表示指定的向量时要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止易错疑难辨析课堂练习CA(3,2，1)，(2,4,2)