322（补充课）二次函数性质及根的分布.ppt

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1、二次函数的性质及根的分布二次函数的性质及根的分布判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次不等式 的解集ax2bx+c=0(a0)的根ax2bxc0(a0)ax2bx+c0),若f(m)0,则f(m-1)的值为( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能A 在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常用待定系数法常见的二次函数的表示形式有（a0）：标准式：yax2bxc；顶点式：ya(xk)2m；零点式：ya(xx1)(xx2).(式中x1、 x2为方程ax2bxc0的二根).例例 已知二次函数yf(x)有最小值，且当x和x时f(x)的值都是 ，求f(x)设f

2、(x)ax2bxc,由题设得解解:219219abac442 a ()2 b ()ca ()2b 2c (a)219 abcabc219 b2aca解法一解法一:25 f(x)x2x a=2解之得 b, c25219解二解二 f（）f（） ， 抛物线yf(x)的对称轴为x ，即x ，故其顶点坐标为（ ，） 219223 2121设 f(x)a(x )2 2121219 f(2)a (2)225254 a.25 f(x)x2x 解三解三 由已知，x和x是一元二次方程f(x) 的两个实数根219219 设 f(x) a(x)(x),则 f(x)a(x)(x) 219又当x 时，f( )223212

3、1 a( )( ) ， a ， a2121219425225 f(x)(x)(x)x2x 25-1例例2已知函数f(x)x2bxc，且f(0)3，f(1x)f(1x)试比较f(2x)与f(3x)的大小。 yxOabf(x)为二次函数，f(a)=f(b)2baxf(x)的对称轴为2baxf(x)为二次函数，f(cx)=f(c - x)f(x)的对称轴为x=cyxO231若x2x3x f(2x) f(3x)则12x3x f(2x)0，综上所得，f(2x) f(3x)。例例3已知二次函数f(x)x2bxc，当x1，1时，试证： (1)当b2时，f(x)是递减函数； (2)当b2时，f(x)在定义域内

4、至少存在一个x,使|f(x)| 1/2成立。证明：(1)f(x)x2bxc(x )2c ， 抛物线的对称轴x ， 当 b2时, 1(如图) 当b2时，f(x),x1，1是递减函数。2b42b2b2b(2)假设在x1，1内不存在|f(x)| ，则有 f(x) f(1)1bc ，f(1)1bc2121212121联立解得b 与已知b2相矛盾，假设不成立，原命题成立。21 设f(x)ax2bxc (a), 则一元二次方程f(x)实根的分布情况可以由yf(x)的图象或由韦达定理来确定 如果f(m) f(n) (mn),由二次函数yf(x)的图像知，一元二次方程f(x)在区间（m,n）内必有一个实数根例

5、：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围。变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大于2，求实数m的取值范围。变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小于2，求实数m的取值范围。变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且x1、x2(-1,3)，求实数m的取值范围。变5：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，求x12+x22的取值范围。 二次方程f(x)的两实根x

6、1、x的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）：(1)若x1xm ，则应有 b2ac， f(m)， m， b2ac，或 (x1m)(x2m)， (x1m)(x2m)ab2yxOx1x2m 二次方程f(x)的两实根x1、x的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）：(2)若x1xm ，则应有 b2ac， f(m)， m， b2ac，或 (x1m)(x2m)， (x1m)(x2m)ab2yxOx1x2m (3)若x1mx2，则应有 f(m)，或 (x1m)(x2m)yxOx1x2m (4)若mx1x2n，则应有 b2ac， f(m)， f(n)， m n.yxOx1x2mab2n (5)若x1mnx

7、2，则应有 f(m)， f(n)yxOx1x2mn 例例4 已知方程(m)x2mx至少有一个正根，求实数m的范围 解解: 若m,方程为x，x符合条件 若m,设f(x)(m)x2mx f()， 方程f(x)无零根 如方程有异号两实根，则x1x2，m 如方程有两个正实根，则: m2(m)， m 或m ， x1x2 ， m， x1x2 ， m11m1mm2222 m22 由此得，实数m的范围是m .22根的分布x2x1mx1xmx1mx2mx1x2n函数图像韦达定理图像方法mx2x1x1x2mx1x2mx2x1nm ， f(m)， m，ab2 ， f(m)， m，ab2 f(m) b2ac， f(m)， f(n)， m n.ab2b2ac，(x1m)(x2m)， (x1m)(x2m)b2ac，(x1m)(x2m)， (x1m)(x2m)(x1m)(x2m)表示比较复杂，繁琐