32-1立体几何中的向量方法.ppt

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1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法第一课时第一课时 研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. .共点，共线，共面，平行，垂直，夹角，距离共点，共线，共面，平行，垂直，夹角，距离探究（一）：探究（一）：空间点、线、面的向量表示空间点、线、面的向量表示 思考思考1 1：在空间中，取定点在空间中，取定点O O作为基点，作为基点，可以用什么方法表示空间任意一点可以用什么方法表示空间任意一点P P与点与点O O的相对的位置？的相对的位置？ O OP P 向量向量 称为点称为点P P的位置向量的

2、位置向量 O Puuu r思考思考2 2：过空间一点过空间一点A A可以作无数条直线，可以作无数条直线，其中以某非零向量其中以某非零向量a为方向向量的直线有为方向向量的直线有几条？如何用向量式表示？几条？如何用向量式表示？A AaP PA Pta=uuu r思考思考3 3：过空间不同两点过空间不同两点A A、B B的直线如何的直线如何用向量式表示？用向量式表示？ A AB BA PtA B=uuu ruuu rP P思考思考4 4：设过点设过点O O的两条相交直线确定的的两条相交直线确定的平面为平面为，如何用向量形式表示平面，如何用向量形式表示平面内的点内的点P P的位置？的位置？ O OP

3、P x xay ybO Puuu rab思考思考5 5：若直线若直线l平面平面，a为直线为直线l的方的方向向量，则向量向向量，则向量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量，如何用向量形式表示过点如何用向量形式表示过点O O且法向量为且法向量为a的平面的平面内的点内的点P P的位置？的位置？ aO OP Pa0 0 O Puuu rA平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做平面叫做平面 的的法向量法向量. n n n n

4、给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n nr几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n l问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的

5、关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(2,2,1),(4,5,3),ABACABCuuu ruuu r例2：已知求平面的 单位法向量。,nx yzr解：设平面的法向量为（， ），,(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyzxyzruuu r ruuu rgg则（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n r12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量为， ，） 因为方向向量与法向量可以确定直线因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用和平面的位置，所以我们

6、应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的间直线、平面间的平行、垂直、夹角平行、垂直、夹角等等位置关系位置关系.你能用直线的方向向量表示空你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？以及它们二面角的大小吗？思考思考2：探究（二）：探究（二）：向量方法的基本原理向量方法的基本原理 设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为a，b

7、，平面平面，的法向量分别为的法向量分别为u，v. 思考思考1 1：证明：证明 l/m l/m a/b akb； lmar rbr ruauvl/ au au0 0 / u/v ukv 线面平行面面平行思考思考2 2：lm，l，的充要条件分的充要条件分别是什么？别是什么？ lm ab ab0 0 lar rmbr r线线垂直l a/u aku uv uv uv0. ur rar r线面垂直面面垂直巩固性训练1.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2

8、, 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交lamb，的夹角为的夹角为 ml,|a b|cos|a|b| r rr rr rr rlamb 夹角问题 ula，的夹角为的夹角为 , l|)2cos(u

9、aua ula u v，的夹角为的夹角为 ,|cosvuvu u v，的夹角为的夹角为 ,|cosvuvu 线线面面平平行行 面面面面平平行行 小结、平行关系：小结、平行关系：111222(,),(,),laa b cua b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;laua abbc c2、垂直关系：、垂直关系：111222222,0, /abca b cauabc当时111222(,),(,),aa b cua b c若则121212/,.lauakuaka bkb ckc直线直线l与平面与平面 所成的所成的角为角为( (02 ) ), ,sina ua u ； 3、夹角：、夹角：作业：作业：P104P104练习：练习：1 1，2.2.