概率统计、统计案例课件.ppt

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1、第第1讲讲 概率统计、统计案例概率统计、统计案例1.随机事件的概率随机事件的概率 （1）随机事件的概率范围：）随机事件的概率范围：0P P(A A)1;必然事件的必然事件的 概率为概率为1；不可能事件的概率为；不可能事件的概率为0. （2）古典概型的概率）古典概型的概率 P P（A A）= = .（3）几何概型的概率）几何概型的概率 P P（A A）=nmA A中所含的基本事件数中所含的基本事件数基本事件总数基本事件总数构成事件构成事件A A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）专题七专题七 概率

2、与统计、推理与证明概率与统计、推理与证明 2.2.互斥事件有一个发生的概率互斥事件有一个发生的概率P P（A AB B）= =P P（A A） + +P P（B B）. .3.3.统计统计 （1 1）抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层）抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层 抽样抽样. . （2 2）利用样本频率分布估计总体分布）利用样本频率分布估计总体分布 频率分布表和频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图. . 总体密度曲线总体密度曲线. . 茎叶图茎叶图. . （3 3）用样本的数字特征估计总体的数字特征）用样本的数字特征估计总体的数字特征 众数、中位数众数、中位数. .4.4.变

3、量之间的相关关系变量之间的相关关系 （1 1）散点图）散点图. . （2 2）线性相关性）线性相关性 回归直线方程为回归直线方程为.)()()(1.)()()(1.2222122221221xxxxxxnsxxxxxxnsnxxxxnnn标准差方差方差与标准差平均数则, axby5.5.统计案例统计案例 （1 1）回归分析的基本思想及其初步应用）回归分析的基本思想及其初步应用 随机误差；随机误差； 称为样本点的中心；称为样本点的中心；总总 偏差平方和；偏差平方和；残差；残差；残差平方和；残差平方和；回归平回归平 方和；方和；残差分析；残差分析；残差图残差图. .xbyaxnxyxnyxxxyy

4、xxbniiniiiniiinii)()( )(1221121),(yx（2 2）用相关指数可以刻画回归的效果，其计算公式）用相关指数可以刻画回归的效果，其计算公式是是（3 3）独立性检验的基本思想及其初步应用）独立性检验的基本思想及其初步应用其中其中n n= =a a+ +b b+ +c c+ +d d为样本容量为样本容量. .利用随机变量利用随机变量K K2 2来确定在多大程度上可以认为来确定在多大程度上可以认为 “两个分类变量有关系两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的方法称为两个分类变量的独立性检验的独立性检验. .niiniiiyyyyR12122)()(1,)()()()(2

5、2dbcadcbabcadnK一、一、 频率分布直方图或频率分布表频率分布直方图或频率分布表 例例1 某班某班5050名学生在一次百米测试中，成绩全部介名学生在一次百米测试中，成绩全部介于于1313秒与秒与1919秒之间，将测试结果按如下方式分成六秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于组：第一组，成绩大于等于1313秒且小于秒且小于1414秒；第二秒；第二组，成绩大于等于组，成绩大于等于1414秒且小于秒且小于1515秒；秒；第六组，第六组，成绩大于等于成绩大于等于1818秒且小于等于秒且小于等于1919秒秒.下图是按上述分下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图组方法得到

6、的频率分布直方图.设成绩小于设成绩小于1717秒的学秒的学生人数占全班总人数的百分比为生人数占全班总人数的百分比为x x,成绩大于等于成绩大于等于1515秒秒且小于且小于1717秒的学生人数为秒的学生人数为y y，则从频率分布直方图中，则从频率分布直方图中可分析出可分析出x x和和y y分别为分别为（） A.0.9,35A.0.9,35B.0.9,45B.0.9,45C.0.1,35C.0.1,35D.0.1,45D.0.1,45解析解析 P P（ 1717）=1 1-P P(17(17 19)19)=1-(0.06=1-(0.061+0.041+0.041)=0.9,1)=0.9,即即x x

7、=0.9,=0.9,y y=(0.34+0.36)=(0.34+0.36)1 150=3550=35人人.答案答案 A A探究提高探究提高 在统计中，为了考查一个总体的情况，通在统计中，为了考查一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况估计总体的相应情况.这种估计大体分为两类，一类这种估计大体分为两类，一类是用样本频率分布估计总体分布，另一类是用样本是用样本频率分布估计总体分布，另一类是用样本的某种数字特征（例如平均数、方差等）去估计总的某种数字特征（例如平均数、方差等）去估计总体的相应数字特征体的相应数字特征.

8、变式训练变式训练1 1 （20092009湖北文，湖北文，1515）下图是样本容量为）下图是样本容量为200200的的频率分布直方图如图所示频率分布直方图如图所示. .根根据样本的频率分布直方图估计，据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在样本数据落在6 6，1010）内的频数）内的频数为为 . .数据落在数据落在2 2，1010）内的概率约）内的概率约为为 . .解析解析 由于组距为由于组距为4,4,因此在因此在6 6，10)10)之间的频率为之间的频率为0.080.084=0.32,4=0.32,其频数为其频数为0.320.32200=64.200=64.落在落在2 2，1010）之间的概

9、率为（）之间的概率为（0.02+0.080.02+0.08）4=0.4.4=0.4.0.40.46464二、二、 众数、中位数、平均数、标准差众数、中位数、平均数、标准差 例例2 右图是根据右图是根据山东统计年鉴山东统计年鉴20072007中的资料作成的中的资料作成的19971997年至年至20062006年我省城年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字百户

10、家庭人口数的个位数字.从图中可以得到从图中可以得到19971997年年至至20062006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（）A.304.6A.304.6B.303.6B.303.6C.302.6C.302.6D.301.6D.301.6思维启迪思维启迪 本题可以先根据茎叶图读出各个数据，然后本题可以先根据茎叶图读出各个数据，然后根据平均数公式求解根据平均数公式求解.解析解析=303.6.=303.6.答案答案 B探究提高探究提高 （1）本题考查了茎叶图的识图问题和平均数）本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算，其中从茎叶图中读出数据是关键，为此，

11、首先的计算，其中从茎叶图中读出数据是关键，为此，首先要弄清要弄清“茎茎”和和“叶叶”分别代表什么分别代表什么.（2）要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准）要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法差的计算方法.103173143123103063022982952291x变式训练变式训练2 “毒奶粉毒奶粉”事件引起了社会事件引起了社会对食品安全的高度重视，各级政府加对食品安全的高度重视，各级政府加强了对食品安全的检查力度强了对食品安全的检查力度.某市工商某市工商质检局抽派甲、乙两个食品质量检查质检局抽派甲、乙两个食品质量检查组到管辖区域内的商店进行食品质量检查组到管辖区域内的

12、商店进行食品质量检查.右图表右图表示甲、乙两个检查组每天检查到的食品品种数的示甲、乙两个检查组每天检查到的食品品种数的茎叶图，则甲、乙两个检查组每天检查到的食品茎叶图，则甲、乙两个检查组每天检查到的食品种数的中位数的和是种数的中位数的和是()A.56A.56B.57B.57C.58C.58D.59D.59解析解析 根据中位数的定义知，甲的中位数为根据中位数的定义知，甲的中位数为3232，乙的，乙的中位数为中位数为2525，故中位数的和为，故中位数的和为5757.B三、三、 古典概型、几何概型古典概型、几何概型 例例3 某初级中学共有学生某初级中学共有学生2 0002 000名，各年级男、女名，

13、各年级男、女生人数如下表：生人数如下表： 初一年级初一年级 初二年级初二年级 初三年级初三年级 女生女生 373373x xy y男生男生 377377370370z z已知在全校学生中随机抽取已知在全校学生中随机抽取1 1名，抽到初二年级女生名，抽到初二年级女生的概率是的概率是0.190.19.（1 1）求求x x的值；的值；（2 2）现用分层抽样的方法在全校抽取现用分层抽样的方法在全校抽取4848名学生，问名学生，问应在初三年级抽取多少名？应在初三年级抽取多少名？（3 3）已知已知y y245245,z z245245，求初三年级中女生比男生多，求初三年级中女生比男生多的概率的概率.思维启

14、迪思维启迪 求初三年级中女生比男生多的概率时，先求初三年级中女生比男生多的概率时，先找出男女生人数分布的所有可能找出男女生人数分布的所有可能.再找出女生比男生再找出女生比男生多的人数的所有可能多的人数的所有可能.解解 （1 1） =0.19=0.19x x=380=380(2)(2)初三年级人数为初三年级人数为y y+z z=2 0002 000-(373+377+380+370)=500,(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取现用分层抽样的方法在全校抽取4848名学生，应在初名学生，应在初三年级抽取的人数为：三年级抽取的人数为： 500=12500=12（名

15、）（名）0002x000248（3 3）设初三年级女生比男生多的事件为设初三年级女生比男生多的事件为A A，初三年级女生、，初三年级女生、男生数记为（男生数记为（y y,z z）,由由（2 2）知知y+zy+z=500=500，且，且y y,z zN N*,基本事件空间包含的基本事件有：基本事件空间包含的基本事件有：（245245，255255）、（）、（246246，254254）、（）、（247247，253253）、）、（、（255255，245245）共共1111个，个，事件事件A A包含的基本事件有包含的基本事件有：（：（251251，249249）、（）、（252252，24824

16、8）、）、（253253，247247）、（）、（254254，246246）、（）、（255255，245245）共共5 5个个P P（A A）= .探究提高探究提高 （1）有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基）有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.（2 2）对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏.115变式训练变式训练3 （20092009江苏江苏，5 5）现有现有5 5根竹竿，它们的长根竹竿，它们的长度（单位：度（单位：m）分别为）分别为2.52.

17、5，2.62.6，2.72.7，2.82.8，2.92.9，若若从中一次随机抽取从中一次随机抽取2 2根竹竿，由它们的长度恰好相差根竹竿，由它们的长度恰好相差0.30.3 m的概率为的概率为 .解析解析 从从5 5根竹竿中一次随机抽取根竹竿中一次随机抽取2 2根竹竿共有根竹竿共有 10种抽种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.30.3 m的情的情况有况有2 2种种.P P= = =0.2=0.2.0.20.2102例例4 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，设中，设D D是横坐标与纵坐是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于标的绝对值均不大于2 2

18、的点构成的区域，的点构成的区域，E E是到原点是到原点的距离不大于的距离不大于1 1的点构成的区域，向的点构成的区域，向D D中随机投一点，中随机投一点，则落入则落入E E中的概率为中的概率为 .思维启迪思维启迪 本题是几何概型求概率问题，可以先计算本题是几何概型求概率问题，可以先计算出试验的全部结果构成的区域面积和所求事件构成出试验的全部结果构成的区域面积和所求事件构成的区域面积，然后根据几何概型的概率公式求解的区域面积，然后根据几何概型的概率公式求解.解析解析 如图所示如图所示,区域区域D D表示边长为表示边长为4 4的正的正方形的内部方形的内部(含边界含边界),区域区域E E表示单位圆表

19、示单位圆及其内部及其内部,因此因此P P= .16164412探究提高探究提高 （1 1）当试验的结果构成的区域为长度、当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；型求解；（2 2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量设出变量,在坐标系中表示所需要的区域在坐标系中表示所需要的区域.变式训练变式训练4 (20092009山东理山东理,1111)在区间在区间-1-1，1 1上随上

20、随机取一个数机取一个数x x,coscos 的值介于的值介于0 0到到 之间的概率为之间的概率为（）A. A. B.B.C. C. D.D.2x212131232解析解析 在区间在区间-1-1，1 1上随机取一个数上随机取一个数x x，即，即x x-1,1-1,1时，其长度为时，其长度为2 2，又，又x x-1-1，1 1时，时，- - ,当当x x0,1时，此时满足时，此时满足cos cos (0, )(0, )的的x x的取值范围为的取值范围为即即 , x x1 1，故，故x x0 0，1 1时满足时满足0cos cos 的长度为的长度为1- 1- = .由对称性，当由对称性，当x x-1

21、,0-1,0时，满足时，满足0 0cos cos 的概率是（的概率是（） A. A. B.B. C. C. D.D.解析解析 e e= a a2 2b b,符合符合a a2 2b b的情的情况有：当况有：当b b=1=1时，有时，有a a=3,4,5,6=3,4,5,6四种情况：四种情况：当当b b=2=2时，有时，有a a=5,6=5,6两种情况，总共有两种情况，总共有6 6种情况种情况.所以概率为所以概率为 .12222byax231813653161C2123122abab616662.2.（20092009重庆理，重庆理，6 6）锅中煮有芝麻馅汤圆）锅中煮有芝麻馅汤圆6 6个，花个，花

22、 生馅汤圆生馅汤圆5 5个，豆沙馅汤圆个，豆沙馅汤圆4 4个，这三种汤圆的外部个，这三种汤圆的外部 特征完全相同特征完全相同.从中任意舀取从中任意舀取4 4个汤圆，则每种汤圆个汤圆，则每种汤圆 都至少取到都至少取到1 1个的概率为个的概率为（） A. A. B. B. C. C. D.D. C9189125914891603 3.甲、乙两名同学在甲、乙两名同学在5 5次体育测试中的成绩统计的茎次体育测试中的成绩统计的茎 叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x x甲甲、 x x乙乙，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是（） A.A.x x甲甲x

23、x乙乙；甲比乙成绩稳定；甲比乙成绩稳定 C C.x x甲甲x x乙乙；乙比甲成绩稳定；乙比甲成绩稳定 D D.x x甲甲x x乙乙；甲比乙成绩稳定；甲比乙成绩稳定 解析解析 甲同学的成绩为甲同学的成绩为78,77,72,86,92,78,77,72,86,92, 乙同学的成绩为乙同学的成绩为78,82,88,91,95,78,82,88,91,95, x x甲甲= =81=81， x x乙乙= =86.886.8， x x甲甲x x乙乙，从茎叶图上的分布情况看乙同学的成绩，从茎叶图上的分布情况看乙同学的成绩 更集中于平均值附近，这说明了乙比甲成绩更稳定更集中于平均值附近，这说明了乙比甲成绩更稳

24、定.A59286727778595918882784.4.从编号为从编号为1 1，2 2，1010的的1010个大小相同的球中任个大小相同的球中任 取取4 4个，则所取个，则所取4 4个球的最大号码是个球的最大号码是6 6的概率为的概率为( )( ) A.A.B.B.C.C.D.D. B84121152535.5.（20092009宁夏、海南文，宁夏、海南文，3 3）对变量）对变量x x, ,y y有观测数有观测数 据（据（x xi i, ,y yi i）( (i i=1,2,10)=1,2,10)，得散点图（，得散点图（1 1）；对变）；对变 量量u u，v v有观测数据（有观测数据（u u

25、i i, ,v vi i）( (i i=1,2,10)=1,2,10)，得散，得散 点图（点图（2 2）由这两个散点图可以判断）由这两个散点图可以判断. .A.A.变量变量x x与与y y正相关，正相关，u u与与v v正相关正相关B.B.变量变量x x与与y y正相关，正相关，u u与与v v负相关负相关C.C.变量变量x x与与y y负相关，负相关，u u与与v v正相关正相关D.D.变量变量x x与与y y负相关，负相关，u u与与v v负相关负相关解析解析 图图1 1中的数据随着中的数据随着x x的增大而的增大而y y减小，因此变量减小，因此变量x x与变量与变量y y负相关；图负相关

26、；图2 2中的数据随着中的数据随着u u的增大，的增大，v v也增大，也增大，因此因此u u与与v v正相关正相关. .答案答案 C C二、填空题二、填空题6.6.从某地区从某地区15 00015 000位老人中随机抽取位老人中随机抽取500500人，其生活人，其生活 能否自理的情况如下表所示能否自理的情况如下表所示. 性别性别 人人 数数生活能否自理生活能否自理男男女女能能178278不能不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人人.解析解析 由表知由表知500500人中生活不能自理的男性比女性多人中生活不能自理的男性比女性多2 2人

27、，所以该地区人，所以该地区15 00015 000位老人生活不能自理的男性位老人生活不能自理的男性比女性多比女性多2 2 =60( =60(人人) ).答案答案 6060500000157.7.某汽车站每天均有某汽车站每天均有3 3辆开往省城济南的分为上、中、辆开往省城济南的分为上、中、 下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前 往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道 发车顺序发车顺序.为了尽可能乘上上等车，他采取如下策为了尽可能乘上上等车，他采取如下策 略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二略

28、：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二 辆，否则上第三辆辆，否则上第三辆.那么他乘上上等车的概率为那么他乘上上等车的概率为 .解析解析 共有共有6 6种发生顺序：种发生顺序：上、中、上、中、下下上、下、上、下、中中中、上、中、上、下下中、下、中、下、上上下、下、中中、上、上下、下、上上、中（其中画横线的表示袁先生所乘的车），所、中（其中画横线的表示袁先生所乘的车），所以他乘坐上等车的概率为以他乘坐上等车的概率为 . 答案答案 2163218.8.有一容量为有一容量为n n的样本，其频率分布直方图如图所示：的样本，其频率分布直方图如图所示：若落在若落在1010，2020）中的频数共）中的频数

29、共9 9个，则样本容量个，则样本容量n n= .解析解析 由题意，得样本数据落在由题意，得样本数据落在1010，2020）中的频率）中的频率为为（0.016+0.0200.016+0.020）5=0.185=0.18.又落在又落在1010，2020）中的频数共）中的频数共9 9个，所以个，所以 ，解之得解之得n n=5050.5018. 091n三、解答题三、解答题9.（20092009烟台模拟）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，烟台模拟）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训， 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机 抽取抽取8 8次，记录如下

30、：次，记录如下：甲甲：82 81 79 78 95 88 93 8482 81 79 78 95 88 93 84乙乙：92 95 80 75 83 80 90 8592 95 80 75 83 80 90 85（1 1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数，并说明它在乙组数据中的含义；的中位数，并说明它在乙组数据中的含义；（2 2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；解解 （

31、1 1）茎叶图如下：茎叶图如下：学生乙成绩的中位数为学生乙成绩的中位数为8484，它是这组数据最中间位置的一，它是这组数据最中间位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数，中位数可能在所给个数或最中间位置的两个数的平均数，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中数据中，也可能不在所给数据中.（2 2）派甲参加比较合适，理由如下：派甲参加比较合适，理由如下： （70702+802+804+904+902+9+8+8+4+2+1+5+32+9+8+8+4+2+1+5+3）=85=85， （70701+801+804+904+903+5+3+5+2+53+5+3+5+2+5）=85=85，81甲x

32、81乙x （78-8578-85）2 2+ +（79-8579-85）2 2+ +（81-8581-85）2 2+ +（82-8582-85）2 2+ +（84-8584-85）2 2+ +（88-8588-85）2 2+ +（93-8593-85）2 2+ +（95-8595-85）2 2=35.5.=35.5. （75-8575-85）2 2+ +（80-8580-85）2 2+ +（80-8580-85）2 2+ +（83-8583-85）2 2+ +（85-8585-85）2 2+ +（90-8590-85）2 2+ +（92-8592-85）2 2+ +（95-8595-85）2 2

33、=41.=41. ，812甲S812乙S乙甲xx 22乙甲SS 10.10.（20092009天津文，天津文，1818）为了了解某市工厂开展群）为了了解某市工厂开展群 众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A A， B B，C C三个区中抽取三个区中抽取7 7个工厂进行调查个工厂进行调查. .已知已知A A，B B， C C区中分别有区中分别有1818，2727，1818个工厂个工厂. . (1) (1)求从求从A A，B B，C C区中应分别抽取的工厂个数区中应分别抽取的工厂个数; ; (2)(2)若从抽得的若从抽得的7 7个工厂中随机地抽取个工厂中

34、随机地抽取2 2个进行调查个进行调查 结果的对比，用列举法计算这结果的对比，用列举法计算这2 2个工厂中至少有个工厂中至少有1 1 个来自个来自A A区的概率区的概率. . 解解 （1 1）工厂总数为）工厂总数为18+27+18=6318+27+18=63，样本容量与，样本容量与 总体中的个体数比为总体中的个体数比为 所以从所以从A A，B B，C C三三 个区中应分别抽取的工厂个数为个区中应分别抽取的工厂个数为2 2，3 3，2.2.,91637(2)(2)设设A A1 1, ,A A2 2为在为在A A区中抽得的区中抽得的2 2个工厂，个工厂，B B1 1，B B2 2, ,B B3 3为

35、为在在B B区中抽得的区中抽得的3 3个工厂，个工厂，C C1 1，C C2 2为在为在C C区中抽得的区中抽得的2 2个工厂，在这个工厂，在这7 7个工厂中随机抽取个工厂中随机抽取2 2个，全部可能的个，全部可能的结果有结果有( (A A1 1，A A2 2),(),(A A1 1，B B1 1),(),(A A1 1, ,B B2 2),(),(A A1 1, ,B B3 3),(),(A A1 1, ,C C1 1),(),(A A1 1, ,C C2 2),(),(A A2 2, ,B B1 1),(),(A A2 2, ,B B2 2),(),(A A2 2, ,B B3 3),()

36、,(A A2 2, ,C C1 1),),( (A A2 2, ,C C2 2),(),(B B1 1, ,B B2 2),(),(B B1 1, ,B B3 3)()(B B1 1, ,C C1 1),(),(B B1 1, ,C C2 2),(),(B B2 2, ,B B3 3),(),(B B2 2, ,C C1 1),(),(B B2 2, ,C C2 2),(),(B B3 3, ,C C1 1),(),(B B3 3, ,C C2 2),(),(C C1 1, ,C C2 2),),共共有有2121种种. .随机地抽取的随机地抽取的2 2个工厂至少有个工厂至少有1 1个来自个来自A A区的结果（记区的结果（记为事件为事件X X）有）有( (A A1 1，A A2 2),),（A A1 1，B B1 1）, ,（A A1 1，B B2 2），），（A A1 1，B B3 3），（），（A A1 1，C C1 1），（），（A A1 1，C C2 2），（），（A A2 2，B B1 1），），（A A2 2，B B2 2），（），（A A2 2，B B3 3），（），（A A2 2，C C1 1），），（A A2 2，C C2 2）共有）共有1111种，所以这种，所以这2 2个工厂中至少有个工厂中至少有1 1个个来自来自A A区的概率为区的概率为.2111)(XP返回