《函数的单调性》课件（1）.ppt

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1、1.3.1 函数的单调性函数的单调性情情景景引引入入yyxxoo1 11 1-1-11 11 1-1-1-1-1观察下列两个函数的图象，并说说它们观察下列两个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：分别反映了相应函数的哪些变化规律：1 .从左向右图象有什么变化趋势？从左向右图象有什么变化趋势？2 .函数图象是否具有某种对称性？函数图象是否具有某种对称性？ 函数的单调性函数的单调性xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1) ( )1f xx 1 12(2) ( )f xx 1.从左至右图象从左至右图象 2.在区间在区间 (-, +)上，随上，随着着x的增大

2、，的增大，f(x)的值随的值随着着 2.(0,+)上上从左至右图象从左至右图象上升上升， 当当x x增大增大时时f(xf(x) )随着随着增大增大 1 1上升上升增大增大下降下降 1.(-,0上上从左至右图象从左至右图象 当当x x增大增大时时f(xf(x) )随着随着 减小减小思考思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量自变量x的值增大时的值增大时,函数值函数值 是如何变化的？是如何变化的？( )f x新课探究新课探究xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1) ( )1f xx 1 12(2) ( )f xx1 1 在某一区

3、间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图象在该区间内逐渐上升；图象在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图象在该区间内逐渐下降。图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的这种性质称为函数的单调性函数的单调性思考思考2：通过上面的观察，如何用通过上面的观察，如何用图象上动点图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？思考思考3：如何用数学符号描述这种上：如何用数学符号描述这种上升趋势？升趋势？对区间对区间D内内 任意任意 x1，x2 ，当当x1x2时，时，都有都

4、有 f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f (x1)f (x2)1 2221方案方案1：在区间（：在区间（0, )上取自变量上取自变量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在在(0,+ )上上, 图象逐渐图象逐渐 上升上升方案方案2:(0,+ )取无数组自变量，验证随着取无数组自变量，验证随着x的增大，的增大，f(x)也增大。也增大。方案方案3:在在(0,+)内取任意的内取任意的x1，x2 且且x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2) y对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时，

5、时， 有有f(x1)f(x2)都都设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 定义定义 任意任意如果对于如果对于区间区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )， D称为称为 f (x)的的单调单调增区间增区间. 那么就说那么就说 f (x)在区间在区间D上上 是单调是单调增函数增函数，区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升0 x1 1f (x1)f (x2)1 2221y 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，

6、D称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间D I. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间

7、上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 ) ，当当x1单调区间单调区间如果函数如果函数 y =y =f(xf(x) )在区间在区间D D是单调增函数或单调减函是单调增函数或单调减函数，那么就说函数数，那么就说函数 y =y =f(xf(x) )在区间在区间D D上具有单调性。上具有单调性。（1 1）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个而言的，是一个局部性质局部性质; ;判断判断1 1：函数函数 f (x)= x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；, xyo2yx（2

8、2） x x 1 1, , x x 2 2 取值的取值的任意任意性性判断判断2 2：定义在：定义在R上的函数上的函数 f ( (x) )满足满足 f (2) (2) f(1)(1)，则，则函数函数 f ( (x) )在在R上是增函数；上是增函数；yxO12f(1)f(2)解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有5,2）, ,2,1) ，1，3), 3，5.例例1 1. 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间 5 5, ,55上的函数上的函数 y = f(x)的图象的图象, 根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上以及在每一单调区间上, 函数是增函数还

9、是减函数是增函数还是减函数？函数？ 其中其中y=f(x)在区间在区间2，1)，3，5上是增函数；上是增函数；说明说明:1.:1.区间端点处若有定义写开写闭均可区间端点处若有定义写开写闭均可. . 2. 2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况 在区间在区间5，2），），1，3)上是减函数上是减函数. .( )yf x- -432154312- -1- -2- -1- -5- -3- -2xyO质发质发疑展疑展答思答思辩维辩维v练一练练一练 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数

10、是增函数还是减函数区间上，函数是增函数还是减函数. ( )yf x2544xyO- -1321解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有1,0）,0,2) ，2，4), 4，5.其中其中y=f(x)在区间在区间0，2)，4，5上是增函数上是增函数；在区间在区间1，0），），2，4)上是减函数上是减函数. 例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。)( 为正常数kVkp 证明证明:12341.设量设量(自变量自变量)

11、;2.作差变形作差变形;3.判断判断;4.结结(论论)用定义证明函数单调性的四步骤用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设量）设量:在所给区间上任意设两个实在所给区间上任意设两个实 数数 1212,.x xxx且（2）作差）作差（3）变形）变形 作差作差 ：常通过：常通过“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方”等等 手段将差式变形为因式乘积或平方和形式手段将差式变形为因式乘积或平方和形式 )()(21xfxf 判断判断 的符号的符号12()()f xf x（4）结论）结论:并作出单调性的结论并作出单调性的结论证明函数证明函数 在在R上是减函数上是减函数. .).()(21xfxf即即12

12、2()0 ,xx12()()0 ,f xf x12 ,xx, 021 xx 练一练练一练. .利用定义：利用定义：证明：设证明：设 是是R上任意两个值，且上任意两个值，且 ，21,xx21xx 函数函数 在在R上是减函数上是减函数)(221xx ( )21f xx则则1212( )( )( 21) ( 21)f xf xxx ( )21f xx ？画出函数画出函数 图象，写出定义域并写出单调区间图象，写出定义域并写出单调区间：x1yxy1yx的单调减区间是_ (,0)(0,), ,讨论：讨论：根据函数单调性的定义根据函数单调性的定义1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?

13、定义域为函数xy1), 0()0 ,(拓展探究拓展探究x1y1( )f xxyOx 在在 (0 0,+) 上上任取任取 x1、 x2 当当x12x2( )f x1( )f x1x1( )f xxyOx- -11- -11 取自变量取自变量1 1 1 1， 而而 f( (1) 1) f(1)(1)不不能说能说 在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是减减函数函数 要写成要写成(- -,0 0)，(0 0,+ +)的形式。的形式。1yxf (2a) B f ( )f (a) C f ( +a)f (a) Df ( +1)f (a)0)()(babfaf2x2a2a2accD4.函数函数 的单调增区间的单调增区间 单调减区间单调减区间 5.证明函数在证明函数在 是增函数是增函数(1,+)22xy0，（ ), 0 xxy1证证明：明：在在区区间间 上上任任取取两两个个值值 且且 则则 ，且且所所以以函函数数 在在区区间间上上 是是增增函函数数. . 回回