11变化率与导数.ppt

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1、1.1.11.1.1变化率问题变化率问题v问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的增随着气球内空气容量的增加加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?v气球的体积气球的体积V与半径与半径r之间的函数关系是之间的函数关系是34( )3V rrv将半径将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数33( )4Vr Vv当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为v当当V从从1增加到增

2、加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L显然显然0.620.1633( )4Vr V 随着气球体积逐渐随着气球体积逐渐变大变大,它的平均膨胀率逐它的平均膨胀率逐渐变小。渐变小。思考思考?v当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均气球的平均膨胀率是多少膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于

3、水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：（单位：秒）存在函数关系秒）存在函数关系 h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. hto请计算00.52:ttv 和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05( / )0.5 0(2)(1)28.2( / )2 1hhtvm shhtvm s 在这段时间里，在1这段时间里， 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:65049t 探究探究:(1) 运动员在这

4、段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.平均变化率定义平均变化率定义:设设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1)121)()f xxx2f(xl上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率思考思考?v观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变

5、化率平均变化率表示什么表示什么?121)()f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜率的斜率1 、已知函数、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),则则y/x=( ) A 、3 B、 3x-(x)2 C、 3-(x)2 D 、3-x D2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度附近的平均速度. 2x0+x 练习3.t2质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中相应的平均速度为( )9A. 6+ t B. 6+ t+C.

6、3+ t D.9+ t4.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线的规律作直线运动运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A253 t 1.1.2导数导数瞬时速度瞬时速度2( )4.96.510h ttt 高台跳水高台跳水2( )4.96.510h ttt 高台跳水高台跳水()( )hh tth tvtt 00(2)(2)(2)limlim (4.913.1)13.1tththvtt vvtt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.00

7、01-13.10049-0.00001-13.0999510.00001 -13.100049 一般地，函数一般地，函数y = f (x) 在在x = x0 处的瞬时变处的瞬时变化率是化率是我们你它为函数我们你它为函数y = f (x)在在x=x0 处的导数，处的导数，记作记作 或或0000limlimxxf xxf xfxx 00 x=xfxy 导数的概念导数的概念)(xfy 0 x由导数的定义可知，求函数由导数的定义可知，求函数在在处的处的导数的步骤导数的步骤:00()()ff xxf x （1）求函数的增量）求函数的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平均变化率）求平均变化率

8、:；00()limxffxx （3）取极限，得导数）取极限，得导数:例例1:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:.2)()(lim)2(;)()(lim) 1 (000000hhxfhxfxxfxxfhx );()()(lim)()()(lim)1(0000000 xfxxfxxfxxfxxfxx 原原式式解解：).( )( )( 21)()(lim)()(lim212)()()()(lim)2(00000000000000 xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhh 原原式式练习练习1:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导

9、,求下列各极限值求下列各极限值:xxftxxfxxfxmxfxx )()(lim)2( ;)()(lim) 1 (000000).(1)2();()1(00 xftxfm 答答案案：练习练习2:设函数设函数f(x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和.)()(lim)(axaxfxafafax 表表示示).()()()()(lim)()()()(lim)()(lim:afafaafaxafxfaaxafaxafxfaaxaxfxafaxaxax 解解例例2:高台跳水运动中，高台跳水运动中， 秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位： ），求运动

10、员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 0st1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 . 6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 36 . 1)5 . 0(/h同理，同理， thh1/运动员在时的瞬时速度为运动员在时的瞬时速度为 ，3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约

11、 的速率的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/例例3、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为xh2( )715(08).fxxxx计算第计算第2 h和第和第6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义并说明它们的意义.例例3. .在自行车比赛中，运动员的位移在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛与比赛时间时间t 存在的函数关系存在的函数关系 s =10

12、 t + 5 t 2，求，求（1 1）t = 20 ， t=0.1 时的时的 s与与 s / t ；（2 2）求）求t = 20的速度的速度. . 作直线运动的物体，作直线运动的物体，位移位移s 与时间与时间 t 的函数的函数关系关系 s =3 t - t 2， (1).(1).求物体的初速度；求物体的初速度； (2).(2).求物体在求物体在t = 2 时的瞬时速度；时的瞬时速度； (3).(3).求求t = 0到到t = 2时的平均速度时的平均速度. . 练习练习3.若若f , (x 0)=-2，则，则 = . 00012limhf xhf xh14.若若f , (x 0)= ，则，则 =

13、 . limxaf x af ax a21x-f , (a),00001.2.42A fxBfxCfxDfx2.设函数设函数 f (x)在在x = x0可导，则可导，则 等于等于 .00h0fx + h - fx -hlim2hA 练习练习导数的几何意义导数的几何意义 一般地，已知函数一般地，已知函数y= =f( (x) )的图象是如图所示的曲线的图象是如图所示的曲线C C，P ( (xo, yo），），Q( (xo ox, , yo ox) )是曲线上的两点是曲线上的两点, ,当点当点Q沿沿着曲线无限接近于点着曲线无限接近于点P，即，即x 0 0时，如果割线时，如果割线PQ无限无限趋近于一个

14、极限位置趋近于一个极限位置PT，那么直线那么直线PT叫做曲线在点叫做曲线在点P处的切处的切线线. .此时，割线此时，割线PQ的斜率的斜率 无限趋近于切线无限趋近于切线PT的斜率的斜率k，也就是说，当也就是说，当x 0 0时，时，割线割线PQ的斜率的斜率 的的极限为极限为k. .xykPQxykPQ 切线切线导数的几何意义:v函数在函数在x0处的导数处的导数f1(x)的几何意义的几何意义, 是曲线是曲线y=f(x)在在(x0,f(x0) )点处的斜点处的斜 率率,即即:00000()( )( ) limlimxxf xxf xykf xxx 切 线）的切线方程过点（，求双曲线例1. 141)2(

15、4121.4121241221lim121lim22lim000 xyxyxxxxxfxfxxx，即即故故所所求求切切线线方方程程为为）的的切切线线斜斜率率为为，（所所以以，这这条条双双曲曲线线过过点点，）（）（）（解解：因因为为 例题例题.12与与切切点点无无关关所所围围成成的的三三角角形形的的面面积积与与坐坐标标轴轴图图象象的的一一条条切切线线，证证明明是是设设例例lxyl ).(2|1|12|212010)(1:1. 110000000002000020020000000与切点无关与切点无关）（形的面积形的面积与坐标轴所围成的三角与坐标轴所围成的三角则则，得，得令令，得，得令令，为为，所

16、以，所以）（的斜率的斜率由导数的几何意义可知由导数的几何意义可知则则图象上任一点，图象上任一点，）是）是）（）（，（分析：设分析：设 yxyxxSlxxyxxyyxyxxxxyylxxfklyxxyxyxP3 3、判断曲线、判断曲线y=2=2x2 2在点在点P(1,2)(1,2)处是否有切线，如果有，求处是否有切线，如果有，求出切线的方程出切线的方程. .1 1、设函数、设函数y=f(x),当自变量由当自变量由xo o改变到改变到xo o+ +x时，函数的改时，函数的改变量变量y=( )=( ) A A、f( (xo o+ + x) B) B、 f( (xo o)-)-f( (x) ) C C、 f( (xo o)+)+x D D、 f( (xo o+ +x) ) - - f( (xo o) )2 2、已知曲线已知曲线y= =x2 2/2/2上上A、B两点的横坐标是两点的横坐标是xo o和和xo o+ +x，则，则过过A、B两点的直线斜率是（两点的直线斜率是（ ） 练习练习