高中数学竞赛数列第6六讲数列通项求和.doc

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1、高中数学竞赛数列第6六讲数列通项求和第6讲 数列的通项与求和一、知识点介绍(一) 、求数列通项的几种基本方法1、公式法（1）、设a n 是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则通项为_；（2）、设a n 是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则通项为_。2、累加法:若a 1=b , a n 1=a n f (n ) ，则a n =_3、累乘法：若a 1=b , a n 1=a n ?f (n ) ，则a n =_4、待定系数法：若a 1=b , a n 1=pa n q (p 1) ，则令a n 1 x =p (a n x ) ，解出x =q ，从而构造出等比数列，由公式法求得通项公式。 p

2、-15、阶差法：当递推式中既有S n 又有a n 时往往可用阶差法，其运用的公式为?S 1, (n =1) a n =? S -S , (n 2) n -1?n(二) 、求数列前n 项和的几种主要方法1、公式法：对于等差或等比数列，或k , k 2k =1k =1n n 3，可用公式法；2、裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，逐一累加相消；3、错位相减法：若a n 成等差数列，b n 成等比数列，则对于数列a n b n 的前n 项和可用错位相减法；4、倒序相加法：如等差数列前n 项和公式的推导用的就是该法；5、分组分解法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列。 二、例题讲解例1、数

3、列a n 中，a 1=1, a n 1a n 且a n 12 a n 2 1=2(a n 1a n a n 1 a n ) 成立，求a n 例2、已知数列a n 满足条件(n -1) a n 1=(n 1)(a n -1) 且a 2=6，设b n =a n n (n N ) ，求b n 的通项公式。 例3、数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1, a n 1=1S n , n =1, 2, 3, 3（1）、求a 2, a 3, a 4的值及数列a n 的通项公式；（2）、求a 2 a 4 a 6 a 2n 的值。 例4、已知数列a n 满足a 1=1, a n 1=1(1 4a n

4、24a n ), n =1, 2, ，求a n 的通项。 16 例5、若数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=a (a 0) ，且满足a n 1=求数列a n 的通项公式。 a 2 aS n S n 2第二十五讲 数列的通项与求和练习1?2a , (0a 2、 已知数列a n 的前n 项和为S n 满足log 2(S n 1) =n 1，则a n =_3、 已知数列a n 是等差数列，且a 1=2, a 1 a 2 a 3=12, 令b n =a n x n (x R ) ，则数列b n 的前n 项和公式为_4、 已知数列a 0, a 1, a 2, , a n , 满足关系式(3-a

5、n 1)(6 a n ) =18, 且a 0=3，则1=_ i =1a i10005、 （1）、已知f (x ) =4，求S =f (k ) ； x n 4 2k =11001（2）、已知数列a n 满足a n =1(n 1) n n n 1，求S n ；（3）、求数列13, -23, 33, -43, , (-1) n 1n 3, 的前n 项和。 6、已知数列a n 的首项a 1=5, 且a n =3a n -1 3n -1(n N , n 2) ，是否存在实数m ，使得 a n m 为等差数列？如果存在，求出实数m 的值；如果不存在，请说明理由。 3na 0=1, a n 1=7、数列a n 满足：7a n 45a n -3622n N ，求证：（1）、对任意n N ，（2）、对任意n N ，a n ?a n 1-1为完全平方数。 a n 为正整数；