18讲两角和与差及二倍角的三角函数.ppt

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1、1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.熟练应用公式进行化简、求值、证明熟练应用公式进行化简、求值、证明.1.cos15+sin75= .622原式原式=cos(45-30)+sin(45+30) = + = .624624622

2、2.定义运算：定义运算： =a1a4-a2a3,则则 = .1234aaaasin15cos15sin105cos75原式原式=sin15cos75+sin105cos15 =sin15cos75+sin75cos15 =sin(15+75)=1.13.已知已知( ,),sin= ,则则tan(+ )等于等于（ ）A2354A. B.7 C.- D.-71717 因为因为( ,),sin= ,所以所以cos=- ,tan= =- .所以所以tan(+ )= = .故选故选A.23545sincos3441tan1tan3143144.已知已知cos2= ，其中，其中(- ,0)，则，则sin的

3、值为的值为( )B124A. B.- C. D.-12123232 cos2=1-2sin2= ,解得解得sin= . 又又(- ,0)，所以，所以sin=- .12124125.cos215-cos275+ =（ ）22tan151tan 15BA.- B.C.- D.5 36245 3624 原式原式=cos215-sin215+tan30=cos30+tan30= + = .325 36331.两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式sin（）= .cos（）= .tan（）= .2.二倍角公式二倍角公式sin2= .cos2= = =1-2sin2. tan2= .sincos

4、cossincoscossinsintantan1tantan2sincoscos2-sin22cos2-122tan1tan3.辅助角公式辅助角公式asinbcos= ,其中其中tan= .acosbsin= ，其中其中tan= .4.降幂公式降幂公式cos2= .sin2= .ba22abbasin()22abcos( )1 cos2211111 cos22例例1 已知已知为第二象限角，为第二象限角，sin= ，为为第一象限角，第一象限角，cos= ，求，求tan(2+)的的值值.35513 先求出先求出tan、tan，再由二倍角公式，再由二倍角公式得得tan2,由两角和公式得由两角和公式

5、得tan(2+). 因为因为为第二象限角，为第二象限角，sin= ，则则cos=- ，所以，所以tan=- .所以所以tan2= =- .又又为第一象限角，为第一象限角，cos= ，则则sin= ,所以所以tan= .所以所以tan(2+)= = - .35453422tan1tan24712131213125tan2tan1tan2 .tan2412175241217536323 （1）给值求值，需探明路径，沟通给值求值，需探明路径，沟通“目标角目标角”与与“已知角已知角”，再逐步求值逼，再逐步求值逼近；如近；如2+可看成可看成的的2倍与倍与的和，也可以的和，也可以看成是（看成是（+)+等，

6、求解过程不一，但结等，求解过程不一，但结果肯定相同果肯定相同. （2）给值求值，如需用平方关系，切给值求值，如需用平方关系，切记考察角的范围或分类讨论所在象限记考察角的范围或分类讨论所在象限.例例2求求2sin50+sin10(1+ tan10) 的值的值.3 50，10，80都不是特殊角，都不是特殊角，但它们的和但它们的和60,90都是特殊角，因此都是特殊角，因此展开巧配和角公式得值，其中展开巧配和角公式得值，其中 =tan60也可产生特殊角也可产生特殊角.22sin 803 （方法一）切化弦，巧用（方法一）切化弦，巧用 .原式原式=2sin50+sin10(1+ )=2sin50+sin1

7、0 |sin80|= cos10 =2sin60= .322sin 80sin60sin10cos60cos10cos501cos10222sin50cos102sin10cos50cos10226（方法二）切化弦，用辅助角公式（方法二）切化弦，用辅助角公式.原式原式=2sin50+sin10 =2sin50+sin10 |sin80|=（同上）（同上）= .22sin 80cos103sin10cos106132( cos10sin10 )22cos102（方法三）巧拆角、细约分（方法三）巧拆角、细约分.原式原式=2sin(60-10)+sin10(1+ ) cos10= ( cos10-s

8、in10+sin10+ )cos10= ( cos210+ sin210)= .3sin10cos10223sin 10cos10232363 化简求值，当题中没有特殊角时，化简求值，当题中没有特殊角时，常通过恒等变形生成特殊角，或在题中常通过恒等变形生成特殊角，或在题中通过约分消去非特殊角，或将非特殊角通过约分消去非特殊角，或将非特殊角用规律角表示，隐去非特殊角，从而得用规律角表示，隐去非特殊角，从而得值，即值，即“生成生成约去约去抵消抵消”三步三步曲曲. 求求 的值的值.cos40sin50 (13tan10 )sin701 cos40 因为因为1+ tan10=1+= = .所以原式所以

9、原式= = .3sin60sin10cos60cos10cos60 cos10sin60 sin10cos60 cos102cos50cos102sin50 cos50cos40cos10cos202cos202cos4012cos 20222cos 202cos 202例例3 已知已知( ， )，cos（ +2）cos（ -2）= .(1)求求的值；的值；(2)求求2sin2+tan- -1的值的值.4244141tan （1）因为因为( +2)+( -2)= ，整体，整体代换、异角化同角代换、异角化同角,根据整体范围求角；根据整体范围求角；（2）切化弦，用公式切化弦，用公式2sin2-1=

10、-cos2，迅速向，迅速向已知靠拢已知靠拢.424 （1）由由cos（ +2）cos（ -2）=sin（ -2）cos（ -2）= sin（ -4）= cos4= ，可得可得cos4= .又又( ， ),则则4(,2).因此因此4= ，所以，所以= .44441221214124253512(2)2sin2+tan- -1= - -（1-2sin2）= -cos2=- -cos2= -= .1tansincoscossin22sincossincos2cos2sin252cos65sin65cos65 32 欲求角，常变形或构造求出某一角的欲求角，常变形或构造求出某一角的三角函数值，再根据范围

11、得角；条件等式下三角函数值，再根据范围得角；条件等式下的求值，常将条件、结论均化简，寻找切合的求值，常将条件、结论均化简，寻找切合点，从而代值得值点，从而代值得值.1.准确选用两角和与差及二倍角公式的关准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是观察、分析角之间的和、差与二倍关系，键是观察、分析角之间的和、差与二倍关系，同时应注意角之间的差别是同时应注意角之间的差别是 的整数倍时仍可的整数倍时仍可运用和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式运用和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形，最后运用诱导公式实现目标解决变形，最后运用诱导公式实现目标解决.2.角的变换常见途径有角的变换常见途径有:=（+）-,

12、2=（+）+（-），），=2 等等.对公式会对公式会“正正用用”“”“逆用逆用”“”“变形用变形用”.22 3.常见变换公式有：常见变换公式有：cos2= ， sin2= ，tantan= tan()(1tantan)等等. 4.三角函数求值的常见题型有两类：给角三角函数求值的常见题型有两类：给角求值和给式求值求值和给式求值.1 cos221 cos22学例1 (2009安徽卷安徽卷)设函数设函数f(x)= x3+ x2+tan,其中其中0, ，则导数，则导数f (1)的取值范的取值范围是围是( )sin33cos2512DA. -2,2 B. , C. ,2 D. ,22332 因为因为f(

13、1)=(sinx2+ cosx)|x=1=sin+ cos=2sin(+ ).又又0, ，则，则+ , ，所以所以sin(+ ) ，1，所以所以f (1) ,2，故选，故选D.51233333343222学例2 (2009天津卷天津卷)在在ABC中，中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA.(1)求求AB的值；的值；(2)求求sin(2A- )的值的值.54 (1)在在ABC中，根据正弦中，根据正弦定理，定理， = ， 于是于是AB= BC=2BC=2 .sinABCsinBCAsinsinCA5(2)在在ABC中，根据余弦定理，中，根据余弦定理，得得cosA= = ，于是于是sinA= = .从而从而sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=cos2A-sin2A= ，所以所以sin(2A- )=sin2Acos -cos2Asin = .2222ABACBCAB AC2 5521 cos A554535444210本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来