二次函数、二次方程、二次不等式求解策略.ppt

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1、2009年年9月月复习目标复习目标知识识记知识识记二次函数的区间最值二次函数的区间最值二次不等式恒成立问题二次不等式恒成立问题二次方程根的分布问题二次方程根的分布问题针对训练针对训练专题总结专题总结 掌握三个掌握三个“二次二次”的基本关系，能利用这些关系解决相关问题的基本关系，能利用这些关系解决相关问题 能熟练求解二次函数的区间最值、二次不等式恒成立、二次能熟练求解二次函数的区间最值、二次不等式恒成立、二次方程根的分布问题方程根的分布问题 能运用这些知识解决其他相关问题能运用这些知识解决其他相关问题 能学会用函数思想、数形结合思想、方程思想、等价转化的能学会用函数思想、数形结合思想、方程思想、

2、等价转化的思想分析、解决问题思想分析、解决问题一、知识识记：O1.二次函数的三种解析式：二次函数的三种解析式：)0()(2acbxaxxf一般式：顶点式：两根式：) 0()()(2akhxaxf) 0)()()(21axxxxaxfO2.二次函数的图象及性质：二次函数的图象及性质：)0()(2acbxaxxfxyO顶顶 点：点：abacab44,22递减区间：递减区间：ab2,递增区间：递增区间：,2 abO3.三个三个“二次二次”的基本关系：的基本关系：返回目录返回目录返回小结返回小结acb42000的图象) 0(2acbxaxy的根方程02cbxax的解集) 0(02acbxax的解集)

3、0(02acbxaxxyOxyOxyO1x2xaacbbx24221、abxx221无实根21|xxxxx或21|xxxxabxRxx2,|R集解的式等不次二二、三类重要题型(一)：n二次函数的区间最值xyO求解二次函数 在区间 最值，注意分顶点横坐标在区间的左、中、右三种情况进行讨论。)0()(2acbxaxxfnm,m类 别最小值最大值mab2nabm2nab2)()(minmfxf)2()(minabfxf)()(minnfxf)()(maxnfxf)()(maxmfxf最大者与)()(nfmf动画演示返回目录返回目录返回小结返回小结例例1：（2002年高考题）设 a 为实数，函数 f

4、(x) = x2+ | x a |+1 , x为实数。（I）讨论f (x) 的奇偶性；（II）求f (x) 的最小值。解：解： （I）当 a = 0, f (x) 为偶函数；当 a0, 非奇非偶。（II）( i ) 当 , ax 4321)(2axxf若 , 21a.1)()(2minaafxf若 , 21a.43)21()(minafxf( ii ) 当 , ax 4321)(2axxf若 , 21aafxf43)21()(min若 , 21a1)()(2minaafxf总结xyOxyO二次不等式恒成立问题(一)二次不等式在R上恒成立恒成立), 0(02Rxacbxax恒成立), 0(02R

5、xacbxax00a00axyO)(甲xyO)(乙(二)二次不等式在区间上恒成立： 化归为区间最值问题化归为区间最值问题上恒成立在,)0( 2nmapcbxax上恒成立在,)0( 2nmapcbxax即可；在区间的最小值pxfxfmin)()(.)()(min即可在区间的最大值pxfxf数形结合思想、分类讨论思想的运用。数形结合思想、分类讨论思想的运用。返回目录返回目录返回小结返回小结例例2：定义在R上的奇函数 f (x)，当x0时， f (x)是减函数，如果当时,不等式f (12x2 + 4a2) + f ( 4ax3)0恒成立,求a的范围。 1 , 0 x解：解：由题:奇函数f (x) 在

6、R上是减函数, 则f (12x2 + 4a2) f ( 34ax)12x2 + 4a2 34ax ,即x2 2ax + 12a20对任意x0,1恒成立.令g(x) = x22ax +12a2 = (xa)2 +13a2, 其图象顶点横坐标为a . (1) 当a0时，g(x)min= g(0)0，即12a2 0, 022a (2) 当0 a 1时，g(x)min= g(a)0，即13a2 0, 330a (3) 当a 1时，g(x)min= g(1)0，即a2 + a 10, 但a 1, 无解. 综上所述：3322axyO1二次方程根的分布问题(一)符号根问题：从从、x1+x2、 x1x2三方面

7、列不等式（组）三方面列不等式（组）两正根0002121xxxx两负根0002121xxxx异号根00021acxx或(二)区间根问题：从从、顶点横坐标、顶点横坐标、 端点值三方面列不等式（组）端点值三方面列不等式（组）充要条件图象类别kxx2121xxk21xkx),(,2121kkxx内根在区间有且仅有一个),(,2121kkxxkxyO1x2xkxyO1x2xkxyO1x2xxyO1x2x2k1kxyO2k1kkabkf20)(0kabkf20)(00)(kf212120)(0)(0kabkkfkf0)()(21kfkf根的范围。时，另一、或再检验 0)(0)( 21kfkf返回目录返回目

8、录返回小结返回小结例例2：已知曲线 ,与连结A(1,1) , B(2,3)的线段) 0(2222aayxAB没有公共点，求实数a的取值范围。【解【解】线段AB的方程为2x3y+5=0 (1 x2), 将之代入曲线方程，化简得22x2 + 20 x+2518a20.令f (x) = 22x2 + 20 x+2518a20 (1 x2), 则原题等价于抛物线在1,2上与x轴无交点, 0, 即400 222(25182) 0, 解得：222250a由 , 解得：0) 2 (0) 1(ff234a综上所述，实数a的取值范围是：222250a234aa| 或 1xyO12若函数 f (x)=x2 + 2

9、(a 1)x +2在(,4 上是减函数, 则a的范围是( )A . a3 B. a3 C. a5 D. a5若方程2ax2x 1=0在(0 , 1内恰有一解 ，则a的范围是( )A . a 1 C. 1 a 1 D. 0a 1函数f(x)=x22x +3在0,a 上有最大值3，最小值2, 则a的范围是( )A . a1 B. 0a 2 C. 1a 2 D. a 2 函数 在(, )上单调递增，则实数a的)2(log)(221aaxxxf21取值范围是_.BBC61,1详解详解详解函数 f (x)=ax2 + b x + c (a 0)对任意实数 x 都有f (2x)= f (2+x), 试)8

10、52(log)21(log221221xxfxxf求满足不等式 取值范围. 由题：函数 f (x)图象的对称轴方程是 x =2, 且开口向下，函数 f (x)在（，2上是增函数。241log4121log21log21221221xxx121log21412log852log21221221xxx085221852log21log22221221xxxxxxxx41414141x已知函数).1)1()1lg()(22xaxaxf)(xf 定义域为R，求a的范围；)(xf 值域为R，求a的范围.【解【解】由题：1a满足条件；即 时， 当1a, 012a即 时， 当1a, 012a此时等价于001

11、2a135aa或综上综上：135aa或由题：即 时， 当1a, 012a1a满足条件；即 时， 当1a, 012a此时等价于0012a351a综上综上：351 a设集合2| ),(2axxyyxA，20 , 1| ),(xxyyxB，【解【解】由由122xaxx01) 1(2xax则问题转化为：则问题转化为：01) 1()(2xaxxf 在在 0，2上有实根上有实根,032) 2(01) 0(02210affa则原题等价于则原题等价于或或032) 2(01) 0(aff解得：解得：23123aa或故：故：1aBA若 ， 求a的取值范围.函数 f(x) 的最小值f(x)min = 综上所述:a4312aa43）（21a）（2121a）（21a返回例1类型2因函数 f (x)=x2 + 2(a 1)x +2在(,4 上详解:42) 1(2a是减函数, 如图 ： 则有： 3a故选B xyO4返回练习xyO101a0)1 ()0( ff10)22()1(aa返回练习由于函数 在(, )上单调递增，)2(log)(221aaxxxf21详解:xyO21且恒大于0，如图，则aaxx22)21,(在上递增212a0)21(f61,1注意到界点则有：返回练习