23等差数列的前n项和公式(第1课时)2015329.ppt

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1、2.32.3等差数列的前等差数列的前n n项和项和 泰姬陵坐落于泰姬陵坐落于印度距首都新德里印度距首都新德里200200多公里外的阿多公里外的阿格拉市，是十七世格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝纪莫卧儿帝国皇帝为纪念其爱妃所建。为纪念其爱妃所建。它宏伟壮观，纯白它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的大理石砌建而成的主体建筑令人心醉主体建筑令人心醉神迷，神迷，陵寝以宝石陵寝以宝石镶嵌镶嵌，图案细致，图案细致, ,绚丽夺目、美丽无绚丽夺目、美丽无比，令人叫绝比，令人叫绝. .成成为为世界七大奇迹之世界七大奇迹之一一. .情境引入情境引入问题呈现问题呈现 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶传说

2、陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有饰而成，共有100100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 问题实质就是问题实质就是 ：求求“1+2+3+4+100=？”探究探究1 1：该三角形图案，以相同大小的圆该三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有宝石镶饰而成，共有100层，层，往往下每一层都比它上面一层多放一下每一层都比它上面一层多放一颗颗，最下面一层放，最下面一层放100颗颗.这个三这个三角形架上共放着多少颗宝石？角形架上共放着多少颗宝石？德国德国“数学王子数学王

3、子”高斯高斯10岁的时候很快岁的时候很快就解决了这个问题：就解决了这个问题：123100=？你你知道高斯是怎样算出来的吗？知道高斯是怎样算出来的吗？高斯（高斯（Gauss,17771855），德国著名数学），德国著名数学家，他研究的内容涉及家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之史上最伟大的数学家之一，被誉为一，被誉为“数学王数学王子子”.数列数列n的求和的求和:1+2+3+4+n=?记记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1) 1(2nnS上述求解过程带给我们什么启示？上述求解过程带

4、给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第等差数列中任意的第k项与倒数第项与倒数第k项的和都项的和都等于首项与末项的和。等于首项与末项的和。2)1( nnS探究探究2 2：解：解：因为因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS 两式左右分别相加，得两式左右分别相加，得倒序相加倒序相加S=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+

5、a2)+ (an+a1)=n(a1+an)探究探究3 3： ?nnan如何求等差数列的前 项和S1()12nnn aaS公式dnaan) 1(11(1)22nn nSnad公式 ?nnan如何求等差数列的前 项和S变式：能否用变式：能否用a a1 1,n,d,n,d表示表示SnSn？探究探究3 3：我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an1()2nnn aaS公式的记忆：公式的记忆： 例例1:根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的 nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2

6、(1nda.32,7.0,5.14)3(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010 SdnnnaSn2) 11（2550)2(2) 150501005050（Sdnaan) 1(1,2617 . 05 .1432n.5 .6042)325 .14(2626 S例题精讲例题精讲 例例2求集合求集合 的元素个数，并求这些元素的和的元素个数，并求这些元素的和.100,7|mNnnmmM且解：解：1007 n72147100 n所以集合所以集合M中的元素共有中的元素共有14个个.将它们从小到大列出，得将它们从小到大列出，得,7, 72, 73, 74,714 即即 7，14，21，28

7、，98这个数列是成等差数列，记为这个数列是成等差数列，记为 na14,98, 7141naa.7352)987(1414S2)1nnaanS（答：集合答：集合M共有共有14个元素，它们的和等于个元素，它们的和等于735.例题精讲例题精讲解：由于解：由于S10310，S201220，将它们代入，将它们代入公式公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn 例例3、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前前20项的和是项的和是1220，由此可以确定求其前，由此可以确定求其前

8、n项和项和的公式吗？的公式吗？例例3、已知一个等差数列、已知一个等差数列an 的前的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确定求其前，由此可以确定求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？1101011010()310622aaSaa1202012020()12201222aaSaa201060aa1060d6d14a 21132nn nSa ndnn（）另解： 两式相减得 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式； 2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法； 3. 3.公式的应用公式的应用( (知三

9、求一知三求一) )。（两个）（两个）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad五、课堂小结五、课堂小结1、教材、教材P46A组组 2,3,4,5,6六、课后作业六、课后作业2、阳光课堂阳光课堂巩固提升（十）巩固提升（十）1.（2012.辽宁）已知等差数列辽宁）已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若若a4+a5=18，则则S8等于（等于（ ） A.18 B.36 C.54 D.72 D当堂检测：当堂检测：2 2、计算、计算（1 1） 5+6+7+ +79+80（2 2） 1+3+5+1+3+5+ +（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+ +（2 2n-1-1）-2-2n-nn2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn 3230提示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn当堂检测：当堂检测：谢谢大家！谢谢大家！