概率论与数理统计教师用教案概率统计教案6章第3节.pdf

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1、 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 202 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第三节 正态总体的常用抽样分布 课时：2 教学目的 教学目的 (1) 了解2分布、t分布、F分布的定义, 并会查表计算分位数； (2) 了解正态总体的常用抽样分布. 内容 内容 常用的统计量及其分布. 教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强抽样分布的讲解与讲评，配备相关的例题. 内容 内容 抽样分布的有关证明. 教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 加

2、大难点知识的分析，加大例题讲解力度. 教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析. 习题布置 习题布置 P159：1、2、4; 参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社， 2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大 学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘：概率论与数理统计教案 作业册 与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术 出版社， 2007 年 7

3、月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 203 页页 教 学 内 容 教学笔记 教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介 本节课给出了常用统计量的分布抽样分布, 包括2分布、t分布和 F 分布. 这三个分布是统计学的三大分布. 本节抽样分布及后面的两个定理, 在数理统计中起着重要的作用. 预备知识 预备知识 随机变量函数的分布,统计量，独立性，上 分位点，样本均值，样本方差. 第三节 正态总体的常用抽样分布第三节 正态总体的

4、常用抽样分布 教师教学建议： （1）如何利用样本信息来构造不含未知参数的统计量，是研究总体特征的总的方向思路. （2）教学问题引入： 1）统计量是随机变量，统计量服从什么样的随机分布呢？ 2）正态总体的样本均值和样本方差服从什么样的随机分布呢？ 一、一、2分布 分布 定义定义 1 设 设12,nXXX是来自标准正态总体是来自标准正态总体 N(0, 1)的样本, 则称统计量 的样本, 则称统计量 222212nXXX (3.1) 服从自由度为服从自由度为 n 的的2分布分布, 记为 , 记为 22(n). 此处自由度是指表达式222212nXXX中所包含的独立变量的个数. 讲评 讲评 (1) 应

5、该进一步认识到：2统计量是相互独立的同标准正态分布的随机变量的平方和； (2) 若随机变量服从正态分布，则应该利用标准化变换公式，转化为服从标准正态分布的新随机变量，然后利用上述的定义 1. 性质性质 1 2( )n分布实际上就是参数为分布实际上就是参数为1,2 2n的的1( , )2 2n分布分布, 即即2(n)分布的概率密度为 分布的概率密度为 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 204 页页 12221e,0,2( )( )20,0.

6、nynyynf yy (3.2) 2( )n分布的概率密度( )f y的图像见图 6-2. 图 6-2图 6-2 2分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 证明从略13. 根据2分布的定义易得2分布的可加性. 性质性质 2(2分布的可加性分布的可加性) 设 设212(n),22 2(n2), 并且并且21,22独立, 则有 独立, 则有 2221212()nn. (3.3) 性质性质 3(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差) 若若22(n), 则有 , 则有 22()()2EnDn，. (3.4) 证证 因为 XiN(0,1), 故 22()() ()iiiE XD XE X=1+0=1

7、, 利用分部积分法及反常积分， 24421()ed32xiE Xxx. 所以 niXEXEXDiii, 2 , 1, 213)()()(2242. 于是，再利用12,nXXX的独立性，有 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 205 页页 niiniinXEXEE12122)()()(, niiniinXDXDD121222)()()(. 例例 6.3.1 设总体 X 服从 N(0, 22), 而1215,XXX是来自总体 X 的样本. 问：

8、 (1) 随机变量22210121444XXXY 服从什么分布？ (2) 随机变量2221511122444XXXY 服从什么分布？ (3) 随机变量 Y1和 Y2相互独立吗？ 教学建议： 此例设计的目的在于： （1）对 x2分布、t 分布、F 分布的定义的理解与扩充，由标准正态分布总体的样本扩充到服从正态分布的一般的随机变量； （2）通用“标准化转换”方法； （3）建立 x2分布、t 分布、F 分布的解题方法的联系与对比，培养科研思想； （4）后面的（6.3.2）和（6.3.3）是此例的改进问题. 解解 因为1215,XXX是来自总体 X 的样本，所以，1215,XXX相互独立，各分量与总体

9、 X 服从同一正态分布 N(0, 22). 由第二章第四节定理，作标准化变换，得到 022kkXXN(0, 1)，k=1,2,15. (1) 由 2的定义，得到 222210121(10)444XXXY. 即，随机变量22210121444XXXY 服从自由度为 10 的2分布. 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 206 页页 (2) 同理，2221511122444XXXY 服从自由度为 5 的2分布. (3) 由1215,XXX相互独

10、立, 依据第三章第三节定义 4 知得到1210,XXX和111215,XXX独立. 再由第三章第三节定理 4 结论(2)知， Y1和 Y2相互独立. 讲评 讲评 充分运用2(n)分布的定义来求解：把所求随机变量问题化成“几个服从标准正态分布的随机变量的平方和”来处理这个问题. 提示考研同学重视. 定义定义 2(2分布的分位点分布的分位点) 对于给定的正数 对于给定的正数(01), 称满足条件 称满足条件 222( )( )( )dnPnf yy (3.5) 的数的数2(n)为为2(n)分布的上分布的上分位点分位点. . 其几何意义见图 6-3. 图图 6-3-3 2(n)分布的上分布的上分位点

11、分位点 对于不同的与 n, 上分位点可查表求得. 例如, 对于1 . 0,25n, 查附表 6 得 382.34)25(21 . 0. 当 n 充分大时, 有近似公式近似公式 22)12(21)(nzn . (3.6) 其中z是标准正态分布的上分位点. 教学建议： 是否存在（联系对比）标准正态分布的上分位点的类似等量关系 1zz ？ 以此例来逐步培养学生的“联系对比”科研思想. 二、 二、 t分布 分布 定义定义 3 设 设 XN(0, 1), Y2(n), 且且 X 与与 Y 相互独立, 则称随机变量 相互独立, 则称随机变量 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健

12、编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 207 页页 /XtY n (3.7) 服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布分布, 记为 , 记为 tt(n). t 分布又称学生学生(Student)分布分布. 讲评讲评 (1) 应该进一步认识到：t分布的分子是服从标准正态分布的，分母是相互独立的同标准正态分布的随机变量的平方和除以随机变量个数再开平方； (2) 若随机变量服从正态分布，则应该利用标准化变换公式，转化为服从标准正态分布的新随机变量，然后利用上述的定义 3. 性质性质 1 t(n)分布的概率密

13、度为 分布的概率密度为 1221()2( )(1),( )2nnth ttnnn . (3.8) 证明从略14. t 分布的概率密度( )h t的图像见图 6-4. 图 6-4 图 6-4 t 分布的概率密度分布的概率密度( )h t曲线 曲线 性质性质 2 t(n)分布的数学期望分布的数学期望( )0E t, 方差, 方差( )(2)2nD tnn. 证明从略. t 分布的概率密度曲线 h(t)关于 y 轴对称, 其函数为偶函数, 很像标准正态分布的密度曲线. 由函数的性质可得 221lim ( )e2tnh t. 所以，当 n 足够大时, t 分布近似于标准正态分布 N(0, 1). 但对

14、于较小的 n, t分布与标准正态分布有较大差别. 例例 6.3.2 继续深入研讨例 6.3.1： 设总体 X 服从 N(0, 22)：1215,XXX是来自总体 X 的样本. 加问：统计量 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 208 页页 12102221112152XXXUXXX 服从什么分布？ 教学建议： 此例设计的目的在于： （1）对 x2分布、t 分布、F 分布的定义的理解与扩充，由标准正态分布总体的样本扩充到服从正态分布的一般的随

15、机变量； （2）通用“标准化转换”方法； （3）建立 x2分布、t 分布、F 分布的解题方法的联系与对比，培养科研思想； （4）前面的例（6.3.1）和后面的例（6.3.3）是此例的改进问题. 解解 由例 6.3.1 知，2221511122444XXXY 2(5). 因为 XkN(0, 22)，k=1,2,15， 利用第三章第四节定理 2(4.6)式知， X1+ X2+ X10N(0, 40). 对其标准化变换，得到 121040XXXN(0, 1). 由 t 分布的定义知 121012102222111215()/40/52XXXXXXUYXXXt(5). 所以统计量 U 服从自由度为 5

16、 的 t 分布. 讲评 讲评 （1）本题考查的是 t 分布的定义, 服从 t 分布的随机变量是服从标准正态分布的随机变量与服从2(n)分布的随机变量再开方的商的形式，它是结构性的定义. （2）它和 F 分布有“商相似”的地方，容易混淆. （3）提醒学生写明区别. 定义定义 4(t分布的分位点分布的分位点) 对于给定的正数 对于给定的正数(01), 称满足条件 , 称满足条件 ( )( )( )dtnP ttnh tt (3.9) 的数的数( )tn为为 t(n)分布的上分布的上分位点分位点. 其几何意义见图 6-5. 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理

17、工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 209 页页 图 6-5 图 6-5 t 分布的上分布的上分位点 分位点 由t分布的上分位点的定义及概率密度( )h t图像的对称性知 1( )( )tntn . 教学建议： （1） 利用几何的关系分析分析上述等式， 或者利用定义进行变换证明证明上述等式. （2）联系对比标准正态分布的上分位点关系: 1zz t分布的上分位点可查表得到. 在45n 时, 对于常用的的值, 可用正态分布的上分位点近似计算: ( )tnz. (3.10) 例如, 查第 261 页附表 5 得0.05(

18、15)1.7531t, 0.050.05(55)1.645.tz 三、 三、 F分布 分布 定义定义 5 设 设2212(),()UnVn, 并且, 并且,U V相互独立, 则称随机变量 相互独立, 则称随机变量 12/U nFV n (3.11) 服从自由度为服从自由度为 n1, n2的的 F 分布分布, 记为 , 记为 12( ,)FF n n. 讲评讲评 (1) 应该进一步认识到：F 分布的分子是相互独立的同标准正态分布的随机变量的平方和除以随机变量个数， 分母也是相互独立的同标准正态分布的随机变量的平方和除以对应的随机变量个数. 但是，和 t 分布的分母不同，F 分布的分母没有开方；

19、(2) 若随机变量服从正态分布，则应该利用标准化变换公式，转化为新随机变量服从标准正态分布，然后利用上述的定义 5. 性质性质 1 12( ,)F n n分布的概率密度为 分布的概率密度为 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 210 页页 1112/21/21212/21212()()2,0,( )() ()1()220,nnnnnnnynnynnnyyn 其它. 证明从略15. F 分布的概率密度( )y的图像见图 6-6. 图 6-6

20、图 6-6 F 分布的概率密度分布的概率密度( )y曲线 曲线 由 F 分布的定义立即得到下面的性质 2. 性质性质 2 若 若12( ,)FF n n, 则, 则211(,)F n nF. 定义定义 6(F分布的分位点分布的分位点) 对于给定的正数 对于给定的正数(01), 称满足条件 称满足条件 1212(,)( ,)( )dFn nP FF n nyy (3.12) 的数的数12( ,)F n n为为12( ,)F n n分布的上分布的上 分位点分位点. 其几何意义见图 6-7. 图 6-7 图 6-7 F 分布的上分布的上分位点分位点 F 分布的上分位点可从表中查到. 性质性质 3 F

21、分布的上分布的上分位点有性质 分位点有性质 112211( ,)(,)Fn nF n n. (3.13) 证证 设 FF(n1, n2), 则有 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 211 页页 112112111( ,)( ,)P FFn nPFFn n 112111( ,)PFFn n , 从而 11211( ,)PFFn n. 因为12( ,)FF n n, 由性质 2 得到 211(,)F n nF, 所以 211121(,)( ,

22、)F n nFn n. 于是 112211( ,)(,)Fn nF n n. 教学建议： （1）联系对比标准正态分布的上分为点关系1zz ； （2）联系对比 t 分布的上分为点关系1( )( )tntn ，以培养学生的科研创新思想. 例例 6.3.3 继续深入研讨例 6.3.1：设总体 X 服从 N(0, 22):1215,XXX是来自总体 X 的样本. 再加问：统计量 22212102211152()XXXYXX 服从什么分布？ 教学建议： 此例设计的目的在于： （1）对 x2分布、t 分布、F 分布的定义的理解与扩充，由标准正态分布总体的样本扩充到服从正态分布的一般的随机变量； （2）通用

23、“标准化转换”方法； （3）建立 x2分布、t 分布、F 分布的解题方法的联系与对比，培养科研思想； （4）前面的例（6.3.1）和例（6.3.2）是此例的改进问题. 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 212 页页 解解 由例 6.3.1 得到 222210121(10)444XXXY, 22221511122(5)444XXXY， 且 Y1与 Y2相互独立. 于是，由 F 分布的定义，得到 12/10(10,5)/5YYFY. 即 22

24、2121012221115(10,5)22()XXXYYFYXX. 讲评讲评 (1) 应该认识到：分子及分母是相互独立的同正态分布的随机变量的平方和的形式，而分母没有开方，考虑 F 分布. 对比例 2； (2) 题设随机变量服从正态分布，应该利用标准化变换公式，转化为新随机变量服从标准正态分布，然后利用 F 分布的定义. 四、 正态总体的样本均值与样本方差的分布 四、 正态总体的样本均值与样本方差的分布 我们假设本章第二节的定理 1 中总体 X2( ,)N , 于是我们得到如下有关抽样分布的常用定理: 定理 设定理 设12,nXXX是来自正态总体是来自正态总体2( ,)N 的样本, 的样本,

25、X是样本均值, 是样本均值, 2S为样本方差, 则有 为样本方差, 则有 (1) 2( ,)XNn; (3.14) (2) 222(1)(1)nSn; (3.15) (3) X与2S独立; (4) (1)/Xt nSn. (3.16) 证证 结论(2), (3)的证明略16. 结论(1)由本章第二节定理 1 的结论(1)得到. 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 213 页页 主要证明结论(4). 由结论(1), (2)和(3)知 222(

26、1)(0,1),(1)/XnSNnn, 且这两个随机变量相互独立, 再由 t 分布的定义知 22/ (1)(1)(1)Xnt nnSn. 整理上式，得到 (1)/Xt nSn. 所以结论(4)得证. 上述定理中的(3.15)式和(3.16)式， 是对单个正态总体的方差 2及均值 进行区间估计和假设检验的理论依据. 讲评 讲评 定理 1 揭示了单个正态总体的样本均值和样本方差（或算术表达式）所服从的概率分布，通常称为“抽样分布定理”. 它们在理论上和实用方法上均非常重要，是我们以后学习单个正态总体的“区间估计”、“假设检验”的常用的重要结论. 提示读者一定给以重视. 对于两个正态总体下的样本均值

27、与样本方差有以下定理: 定理定理 2 设设112,nXXX与与212,nY YY分别是来自正态总体分别是来自正态总体211( ,)N 与与222(,)N 的样本, 且这两个样本相互独立. 设 的样本, 且这两个样本相互独立. 设 12111211,nniiiiXX YYnn 分别是这两个样本的样本均值, 分别是这两个样本的样本均值, 12222212111211() ,()11nniiiiSXXSYYnn 分别是这两个样本的样本方差, 则有 分别是这两个样本的样本方差, 则有 (1) 2212122212/(1,1)/SSF nn; (3.17) (2) 当当22212时时 概率论与数理统计教

28、案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 214 页页 121212()() (2)1/1/wXYt nnSnn, (3.18) 其中 其中 2222112212(1)(1),2wwwnSnSSSSnn. 证证 结论(2)证明略17. 我们只证结论(1). 由定理 1 中的结论(2)得到 2211121(1)(1)nSn, 2222222(1)(1)nSn. 因为2212,SS独立, 由 F 分布的定义知 21121112222222(1)(1)(1,1)(1)(

29、1)nSnF nnnSn, 整理上式，得到 2212122212/(1,1)/SSF nn. 上述定理 2，是在第七章、第八章中进行区间估计和假设检验来比较两个正态总体的方差大小及均值大小的理论依据. 讲评讲评 定理 2 揭示了两个正态总体之间的样本均值和样本方差（或算术表达式）所服从的概率分布，在处理两个正态总体时的区间估计和假设检验时用到. 提示读者一定给以重视. 例例 6.3.4 设1229,XXX是来自正态总体2( ,)XN 的样本, 求221.5SP. 教学建议： （1）设计此例的作用是，针对样本均值、样本方差（或者一般的统计量）的关系式计算概率的问题，首先应该寻求该关系式服从的概率

30、分布. （2）这样处理教材和例题，对学生的学习能力是一种提升. （3）要让学生懂得：如何将“问题”转向一般的形式，或广泛的形式？ 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 215 页页 通用的方法有没有？可否总结出来一个题型？ 解解 由本节抽样分布的定理 1 的结论(2)知 222(1)(1)nSn. 由于 222222(1)28281.51 1.5 2842nSSSPnPP, 所以 221.5SP=1-222842SP. 反查表, 当 n =

31、29 时, 有20.05(28)41.37742. 所以 221.5SP=1-220.05228(28)SP=1-0.05=0.95. 讲评讲评 （1）“样本方差关系式的概率”涉及到样本方差的分布问题，可以用定理 1求解. （2）此题型是考研题型，应引起读者重视. 思考题思考题 1. 2分布、t 分布和 F 分布都可以利用来自标准正态总体的样本或随机变量加上独立性条件来定义， 问如何处理随机变量或样本来自正态总体的情形呢？ 2. 如何理解定理 1 中各条结论的实际意义或作用？ 解题参考解题参考 1.2分布， t 分布和 F 分布的定义都可以通过随机变量的独立性与同服从标准正态分布来定义，而不必

32、限定于样本. 对于随机变量或样本来自正态总体的情形，只要利用标准化变换化为服从标准正态分布的新随机变量，再注意到独立性条件即可利用这里的定义求解. 2. 定理 1 中各条结论的实际意义或作用包括： (1) 2( ,)XNn讲 样 本 均 值 的 概 率 分 布 问 题 ， 变 形 结 论 有(0,1)/XNn， 是已知总体方差 2时的关于总体均值 的区间估计和假设检验的理论基础. (2) 222(1)(1)nSn讲样本方差的概率分布问题，变形结论有 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 概率论与数理统计教案 第六章第三节 郑一，戚云松，陈倩

33、华，陈健 编著 大连理工大学出版社版 第 第 216 页页 2212()(1)niiXXn或222(1)nBn, 是总体均值 未知时的关于总体方差 2的区间估计和假设检验的理论基础. (3) “X与2S独立”讲样本均值与样本方差的影响关系，在正态总体条件下，二者互不影响，即“相互独立”. (4) (1)/Xt nSn讲样本均值和样本方差的联合概率分布问题，是未知总体方差2时的关于总体均值的区间估计和假设检验的理论基础. 可比较结论(1). 小 结 与 思 考小 结 与 思 考 本节课介绍了抽样分布的概念,并给出了几个常用的抽样分布以及它们的性质. 关于2分布、t 分布和 F 分布，这三个分布是统计学的三大分布. 抽样分布及后面的两个定理, 在数理统计中起着重要的作用. 而正态总体的样本均值与样本方差的分布定理是统计推断的重要基础理论.