概率统计教案9章第1-2-3节.pdf

《概率统计教案9章第1-2-3节.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率统计教案9章第1-2-3节.pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 307 页页 题目 与 课时题目 与 课时 *第一节 回归分析的含义 *第二节 一元线性回归分析 *第三节 可线性化为一元线性回归模型的基本类型 (注意：本章内容工科类不学，经管类选学) 课时：2 教学目的 教学目的 *(1) 了解回归分析的含义； *(2) 会用最小二乘法求回归系数； *(3) 会作简单预测； *(4) 了解可线性化为一元线性回归的基本类型. 内容 内容 一元线性回归分

2、析方法及计算过程. 教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强一元线性回归分析方法的讲解与讲评，加大例题讲解力度，留足作业以达到训练与巩固. 内容 内容 一元线性回归分析的假设检验过程. 教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 加大假设检验知识的分析，加大例题讲解力度. 教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析. 习题布置 习题布置 P231：2； P237：3、5； P241：2； P243：2、3. 参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社， 2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大

3、 学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘：概率论与数理统计教案 作业册 与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术 出版社， 2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 308 页页 教 学 内 容 教学笔记 教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介 回归分

4、析是研究随机变量与可控制的普通变量之间相互关系的一种统计推断方法, 它在数理统计的实际应用中占有重要的地位. 在一元线性回归中, 有两个变量, 其中 x 是可观测、可控制的普通变量, 常称它为自变量或控制变量, Y为随机变量, 常称其为响应变量. 通过散点图或计算相关系数可以判定Y与x之间是否存在着显著的线性相关关系, 如果存在，我们将得到它们的线性回归直线方程，并利用这个回归直线方程进行预测和控制. 回归分析方法在解决实际问题时常用，希望同学们一定学好. 预备知识 预备知识 函数定义，最小二乘法，检验统计量，参数假设检验，置信区间，变量代换. * *第九章 回归分析 第九章 回归分析 回归分

5、析是研究随机变量与可控制的变量之间相互关系的一种统计方法, 它在数理统计的实际应用中占有重要的地位， 回归分析在数据处理等问题中应用十分普遍. 本章主要内容是一元线性回归分析的基本方法以及可线性化为一元线性回归的基本模型的应用问题. 教师教学建议： （1）本章内容实际上就是两种问题的处理. 1）满足一元线性回归的问题：讲清楚作图、计算回归系数、线性相关性检验、 点预测及区间预测的过程.可要求学生对所安排的例题结合起来再完整的模拟一遍. 2）可线性化为一元线性回归的问题:讲清楚作图、试用回归函数并线性化、线性相关性检验、点预测及区间预测、将结果返回到原来的模型，再试用其他的回归函数、选定最优的回

6、归方程的过程.可要求学生对例题再做一遍. （2）教学问题引入： 1）进行实验，获得了大量的实验证据.如何确定一个经验公式，以反映变量之间的相互依存的变化关系？如，子女身高是否与父母身高有某种关系？纤维强度与拉伸长度的关系怎样？ 2）利用得到的这种变化关系，我们可以预测变化和控制变化. 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 309 页页 第一节 回归分析的含义 第一节 回归分析的含义 大家知道, 人的血压 Y 与年龄 x 有关,

7、 这里 x 是一个普通变量, Y 是一个随机变量. Y 与 x 之间的相互关系 f(x)受随机误差的干扰使之不能完全确定, 因此，我们可设有关系 ( )Yf x， (1.1) 式中 f(x)称作回归函数回归函数, 为随机误差随机误差或随机干扰随机干扰, 它是一个与 x 无关的随机变量, 根据 的实际意义和中心极限定理, 我们常假定它是均值为 0 的正态变量. 为了得到 Y 与 x 之间的回归函数 f(x), 我们通常进行 n 次独立观测, 得到 x与 Y 的 n 对实测数据 (xi, yi), i=1,2,n, 将观察值(xi,yi)(i=1, 2, n)在平面直角坐标系下用点标出, 所得的图

8、称为散点图(散点图(scatter diagram). 利用这些数据及其所得的散点图对回归函数 f(x)进行估计和假设检验. 在实际问题中, 常遇到的是多个自变量的情形. 例如, 在考察某化学反应时, 发现反应速度 Y 与催化剂用量 x1, 反应温度x2, 所加压力 x3等多种因素有关. 这里 x1, x2,都是可控制的普通变量, Y 是随机变量, Y 与诸 xi间的相互关系受随机干扰或随机误差的影响,可假设有关系 12( ,)kYf x xx. (1.2) 这里是随机误差, 它是与 x1, x2,xk无关的随机变量, 一般设其均值为 0. 这里的多元函数 f(x1, x2,xk)称为回归函数

9、回归函数. 为了确定具体的回归函数, 同样可作 n 次独立观察, 基于观测值去寻求 f(x1, x2,xk)的形式. 在以下的讨论中, 我们总称自变量 x1, x2,xk为控制变量控制变量, Y 为响应变量响应变量. 不难想象, 如对回归函数 f(x1, x2,xk)的形式不作任何假设, 会使问题过于一般, 将难以处理. 所以本章将主要讨论 Y 和控制变量 x1, x2,xk呈现线性相关关系的情形, 即假定 f(x1, x2,xk)=b0+b1x1+bkxk.， 并称由它确定的模型(1.1)(当 k=1 时)及(1.2)为线性回归模型线性回归模型, 否则，称其为非线性回归模型非线性回归模型.

10、对于线性回归模型, 估计回归函数 f(x1, x2,xk)就转化为估计系数 b0, bi, i=1,2,k. 当线性回归模型只有一个控制变量时, 称为一元线性回归模型一元线性回归模型, 有多个控制变量时称为多元线性回归模型多元线性回归模型. 思考题思考题 1. 回归分析要解决的是哪些变量之间的相互关系？得到这种关系可以有哪些用途？ 2. 回归分析研究的主要问题有哪些? 解题参考解题参考 1. 回归分析要解决的是随机变量与可控制的普通变量之间的相关关系的统计规律问题. 利用得到的这种公式关系或函数关系，可以分析随机变量与可控制的普通变量之间的统计规律，可以通过可控制变量取某点值时，对相应的随机变

11、量进行点预测和区间预测. 2. 回归分析研究的主要问题有： (1) 利用数据及其散点图对回归函数 f(x)形式进行选取; 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 310 页页 (2) 对曲线模型做变量代换转化为线性回归模型； (3) 对随机变量 Y 与 x 之间的线性相关关系进行假设检验； (4) 给定可控制变量 x 取值对随机变量 Y 进行预测等统计分析. (5) 当事先确定随机变量取值 y0方案时, 反过来研究如何控制自变量

12、 x 的取值. 第二节 一元线性回归分析 第二节 一元线性回归分析 教师教学建议： (1) 一元拟合直线方程知识，在高中学过，高考也考试过. 这里讲：回归分析的完整过程、线性关系的合理性检验、预测问题、可线性化的函数类型及其变换. (2) 本节讲述了一个实际问题的完整分析过程、处理过程.环环联系，注意讲清问题的解决思路. 注意循着“提出问题分析问题解决问题”的完整过程讲授，培养学生的科研思想. (3) 教学问题引入： 在生产或生活实际问题中，往往有两个变量，其中 x 是可观测可控制的普通变量， Y 为随机变量.如何寻找和判定 Y 与 x 之间是否存在着显著的线性相关关系呢？如果存在，我们将如何

13、利用它们的线性关系进行预测和控制呢？ 一、一、一元线性回归模型一元线性回归模型 前面我们曾提到, 在一元线性回归中, 有两个变量：其中 x 是可观测、可控制的普通变量, 常称它为自变量或控制变量；Y 为随机变量, 常称其为响应变量. 通过散点图判定 Y 与 x 之间是否存在线性关系, 即 Y 与 x 之间是否存在如下关系： Y=a+bx+. (2.1) 通常认为N(0, 2)，且假设 2与 x 无关. 将观测数据(xi,yi)(i=1, 2, n)代入(2.1)式, 再注意样本为简单随机样本, 得： 212,1,2, ,(0,).,iiinyabxinN 相互独立且服从同一正态分布 (2.2)

14、 称(2.2)式所确定的模型为一元线性回归模型一元线性回归模型, 对其进行统计分析称为一元线性回归分析一元线性回归分析. 不难理解, 在模型(2.1)中, E(Y)=a+bx. 若记 y=E(Y), 则我们获得关系式 y= a+bx, 此等式就是所谓的一元线性回归方程一元线性回归方程, 其图像就是回归直线回归直线, b 为回归系数回归系数, a 称为回归常数, 回归常数, 也称其为回归系数回归系数. 二、 二、 a, b 的最小二乘估计及经验公式 的最小二乘估计及经验公式 现讨论如何根据观测值(xi,yi)(i=1,2,n)估计模型(2.2)中回归函数 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三

15、节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 311 页页 f(x)=a+bx 的回归系数 a 和 b. 采用最小二乘法, 记平方和 21( , )() .iniiQ a byabx (2.3) 我们寻找使 Q(a, b)达到最小的 a, b 作为其估计, 即 ( , )min( , )Q a bQ a b. 为此, 对 Q(a, b)求偏导, 令 112()0,2()0.niiiniiiiQyabxaQyabx xb 化简, 得到如下方程组(称为模型的正规方程组模型的正规

16、方程组), 112111(),()().nniiiinnniiiiiiinax byx ax bx y 解得 ,.xyxxSbSaybx （2.4） 其中 22211122211111111() ,1() ,1()()()().nnnxxiiiiiinnnyyiiiiiinnnnxyiiiiiiiiiixxxxnynxxyyx yxynSSyyyS (2.4)式的ba, 分别称为 a, b 的最小二乘估计值, 最小二乘估计值, 将其中的 y 改写为随机变量 Y,就得到 a,b 的最小二乘估计量最小二乘估计量. 讲评讲评 (9.2.4)式常用， 注意最小二乘估计值与最小二乘估计量的写法区别和作用

17、不同. 例例9.2.1 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有关. 下表是24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的实测记录. 试求这两个变量间的经验公式. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 拉伸倍数 x 1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.73.53.54.04.04.54.6 强度 Y (Mpa) 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.53.02.74.03.54.23.5 编 号 13 14 15 16 17 18192021222324 拉伸倍5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.18.08.08.99.09.510.0 概率论与数理统计教案 第九章第一、

18、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 312 页页 数 x 强度 Y (Mpa) 5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.36.57.08.58.08.1 8.1 教学建议： （1）此例是生产实际问题，要求学生在分析问题和解决问题方法方面要进行系统化、程序化分析. （2）此例在后面的线性相关性检验、点预测及区间预测问题中还要继续深入. 解解 从本例的散点图看出(见图 9-1), 强度 Y 与拉伸倍数 x 之间大致呈现线性关系, 因此选用一元线性回归模型是适

19、用 Y 与 x 的关系的. 图图 9- -1 例例 9.2.1 数据散点图数据散点图 现用公式(2.4)求ba, , 这里 n=24, 2424112424242211122127.5,113.1,829.61,650.93,731.6,1829.61(127.5)152.266,241731.6127.5 113.1130.756,241650.93(113.1)117.946,241127.55.313,241iiiiiiiiiiixxxyyyxyxyx ySSSxy113.14.713.24 所以 0.859,0.15.xyxxSbaybxS 由此得到强度 Y 与拉伸倍数 x 之间的经验

20、公式为 xy859. 015. 0. 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 313 页页 讲评讲评 例 9.2.1 在解法上可以程序化，学生应掌握解法. 三、 线性相关性的检验 三、 线性相关性的检验 前面的讨论都是在假设 Y 与 x 呈现线性关系的前提下进行的. 若这个假设不成立, 则我们建立的经验回归直线方程也就完全失去实际意义. 为此必须对Y 与 x 之间的线性关系作出理论上的检验. 1. 偏差平方和分解及其实际意义 .

21、 偏差平方和分解及其实际意义 已知21()nyyiiSyy, 将其中的 yi改写为 Yi, y改写为Y, 并记 21()nYYiiSYY， 人们称它为总偏差平方和总偏差平方和, 它反映数据 Yi的总波动. 简单计算易得 Syy有如下分解式： 222111()()()nnnyyiiiiiiiiiSyyyyyyyy， 通常记为 yySeQU. (2.5) 其中： (1) 21()niiUyy称为回归平方和,回归平方和,它反映了回归方程xbay的理论值12,ny yy对平均值y的离散程度； (2) 21()neiiiQyy称为剩余平方和剩余平方和或残差平方和残差平方和, 它是实际观察值 yi与回归值

22、iy的离差平方和, 反映了随机因素对 Y 取值的影响. 2. 线性相关的. 线性相关的 F 检验法 检验法 由上述分析可知, 若 U 越大, 则 Qe就越小, 从而 x 与 Y 之间线性关系就越显著；反之, x 与 Y 之间的线性关系越不显著. 因此, 考虑回归方程是否有显著意义, 自然可以考察 L=eUQ的大小：其比值大, 则 L 中 U 占的比重大, 回归方程xbay有显著意义; 否则, 回归方程无显著意义. 根据上述分析的思想来构造检验统计量. 注意到yabx及iiyabx, xyxxSbS，将其代入到21()niiUyy中,得到 22211()()()nniixxxyiiUyyabxa

23、bxb SbS. (2.6) 再由(2.5)式得到随机变量关系式 Qe= SYY-U=SYY-xYbS. (2.7) 理论研究表明19, 检验统计量 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 314 页页 (1,2)/(2)eUFFnQn. (2.8) 因此可选它作为检验假设H0: b=0, H1: b0的检验统计量. 当H0为真时由U和Qe的实际含义知, F 的值不应太大, 所以对选定的显著性水平 (01), 由 P(1,2)F

24、Fn= 查 F(1,n-2)分布表, 确定临界值 F, 当观测数据代入(2.8)式算出的 F 值满足 (1,2)FFn 时拒绝 H0, 也就是认为建立的回归方程有显著意义. 例例9.2.2 (续例9.2.1)数据见例9.2.1, 取显著性水平=0.05, 检验回归方程xy859. 015. 0的显著性. 解 解 检验 H0：b=0, H1：b0. 选用检验统计量 (1, 22)/(2)eUFFQn. 由(1,22)P FF=0.05, 查表得 F0.05(1,22)=4.3. 现计算 F 值, 由 Syy=117.95, 22(0.859)152.266112.28xxUb S, Qe= Sy

25、y-U=5.614, 得 112.28436.345.66/4F . 因为 FF0.05(1,22), 所以拒绝原假设 H0：b=0, 即认为所得的经验回归方程有显著意义. 讲评讲评 在实际工作中， 利用 F 检验法检验随机变量 Y 与可控制变量 x 的是否满足线性关系环节不可缺少. 四、 预测 四、 预测 对于一元线性回归模型 2,(0,),yabxN 我们根据观测数据(xi,yi), i=1,2， ,n, 得到经验回归方程xbay. 当控制变量 x 取值 x0时, 如何估计或预测相应的 y0呢？这就是所谓的预测问题预测问题. 1. 点预测点预测 自然我们想到用经验公式xbay, 取00ya

26、 bx 来估计实际的 00yabx, 并称0y为0y的点估计点估计或点预测点预测. 在实际应用中, 若响应变量 Y 比较难观测, 而控制变量 x 却比较容易观察 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 315 页页 或测量, 那么根据观测资料得到经验公式后, 只要确定控制变量 x 就能求得相应变量 Y 的估计和预测值, 这是回归分析最重要的应用之一. 例如在例 9.2.1中, 若确定拉伸倍数 x0=7.5, 则可预测强度 00.

27、150.859 7.56.59y. 2. 区间预测区间预测 但是, 上面这样的点估计用来预测 Y 究竟好不好呢？它的可信程度和精度如何？我们希望知道估计的可信程度, 于是就有给出一个类似于置信区间的预测区间的想法. 理论研究的结果是20：选取检验统计量 t=0020 (2)()1 1xxYYt nxxnS. 其中222eYYxYQSbSnn是总体 N(0,2)的方差2( )D的无偏估计. 对于给定的置信水平 1-, 查自由度为 n-2 的 t 分布表可得满足 /21P tt 的临界值/2t. 利用不等式的恒等变形, 可得0y的置信水平为 1-的置信区间为 22000/20/2()()11(1,

28、1)xxxxxxxxYtYtnSnS. (2.9) 这就是0y的置信度为 1-的预测区间预测区间, 区间的中点00 xbay随 x0而线性变化, 区间的长度在0 xx处最短, x0越远离x, 预测区间的长度就越长. 预测区间的上限与下限落在关于经验回归直线对称的两条曲线上, 呈现喇叭形状，见图 9-2. 图图 9-2 经验回归直线与预测区间经验回归直线与预测区间 当 n 较大, Sxx充分大时, 20()111xxxxnS, 可得 y0的近似预测区间 近似预测区间 0/20/2(,)YtYt. (2.10) 上式说明预测区间的长度, 即预测的精度主要由确定, 因此在预测中, 是一个基本而重要的

29、量, 在计算上有等式 222eYYxYQSbSnn. (2.11) 例例 9.2.3 (续例 9.2.1)例 9.2.1 得到回归方程xy859. 015. 0. 考虑拉伸倍数x0=7.5时, 得到预测强度06.59y. 现在取置信水平1-=0.95, 再考虑拉伸倍数 x0=7.5 时对应强度的预测区间. 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 316 页页 解 解 在例 9.2.1 和例 9.2.2 中,已经求得xy859.

30、015. 0,06.59y, 152.266,xxS Qe=5.6614, x=5.313. 所以 25.66140.2572242eQn. 查表得到0.05/20.025(242)(22)2.0739tt. 计算得到 20/2()1 1xxxxtnS=2.07390.25721(7.55.313)124152.266 =1.0898. 所以拉伸倍数 x0=7.5 时, 强度的置信水平为 0.95 的预测区间为 22000/20/2()()11(y1,y1)xxxxxxxxttnSnS =(6.59-1.0898, 6.59+1.0898)=(5.5012,7.6808). 因此, 对于拉伸倍

31、数x0=7.5 时, 对应强度Y的置信水平为 0.95的预测区间是(5.5012,7.6808). 讲评讲评 (1) 我们寻找回归方程的目的在于应用，点预测和区间预测就是简单的应用问题. (2) 例 9.2.1、例 9.2.2 和例 9.3.3 在解法上可以程序化，学生应掌握解法. （3）置信水平为 0.95 的预测区间为(5.5012,7.6808)的实际意义或作用是：不必再进行拉伸倍数 x0=0.75 的具体实验，就可以认为此时的纤维强度大小为5.5012 兆帕7.6808 兆帕，这个结果可信度达到 95%. 思考题思考题 1. 用线性回归分析方法解决实际问题的基本步骤有哪些？ 解题参考解

32、题参考 (1) 画散点图，选择变量之间是否呈现线性关系：若是，进入第二步；若不是，进行变量代换转化为线性关系，进入第二步. (2) 利用第 323 页计算回归系数 a, b，写出经验回归直线方程. (3) 利用 F 检验法，进行线性相关性检验. 若“经验回归直线方程”有显著意义，进入下一步. (4) 通过可控制变量取某点值时，对相应的随机变量进行点预测和区间预测应用. (5) 当事先确定随机变量取值 y0方案时, 反过来研究如何控制自变量 x 的取值. 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节

33、 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 317 页页 第三节 可线性化为线性回归模型的基本类型 第三节 可线性化为线性回归模型的基本类型 教师教学建议： （1）讲清楚：一是如何分析要选定的回归函数类型，二是选取什么样的变换为线性回归模型，三是如何寻找并确定“最优回归方程”. （2）教学问题引入： 1)我们得到了大量的数据.如何确定一个经验公式， 使得更加精确的反映变量之间的相互依存关系？ 2）是否需要线性回归分析的理论与方法？ 下面简介通过变量代换可以化为线性函数的曲线回归模型的例子. 例例 9.3.1 炼钢过程中用来盛钢水的钢包, 由于受钢水的浸蚀作用, 容积会不断

34、扩大. 下表给出了使用次数和容积增大量的 15 对试验数据: 使用次数使用次数(xi) 增大容积增大容积(yi) 使用次数使用次数(xi) 增大容积增大容积(yi) 2 6.42 10 10.49 3 8.20 11 10.59 4 9.58 12 10.60 5 9.50 13 10.80 6 9.70 14 10.60 7 10.00 15 10.90 8 9.93 16 10.76 9 9.99 试求钢包容积 Y 关于使用次数 x 的经验公式. 教学建议： （1）此例来源于生产实际问题，要求学生将分析问题、解决问题的方法系统化、程序化. （2）建议学生到网上搜索数据， 利用这里的方法寻优

35、， 找到 “更好拟合” ，写成论文发表. 解 解 首先要知道 Y 关于 x 的回归函数是什么类型, 我们先作散点图. 参见图 9-4, 从散点图上看到, 开始浸蚀速度较快, 然后逐渐减缓, 变化趋势呈双曲线状（参见表 9-1 双曲线函数）. 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 318 页页 图图 9- -4 例例 9.3.1 数据散点图数据散点图 因此可设 y 与 x 之间具有如下双曲线关系 xbay11, 这是一种非线性回

36、归问题. 令11,vuxy，则可得到线性回归方程uabv. 由 x, y 的数据利用变换11,vuxy, 可得 v, u 的数据 (0.5000, 0.1558),(0.0625, 0.0929). 对得到的 15 对新数据, 用最小二乘法(2.4)式可得线性回归方程 0.08230.1312uv. 代回原变量得 0.131 20.082 3110.082 30.131 2xyxx 所以 0.082 30.131 2xyx 为 Y 关于 x 的经验公式. 讲评讲评 （1）在例 9.3.1 中, 假设了 y 与 x 之间满足双曲线回归模型, 显然这是一种主观判断, 因此所求得的回归曲线不一定是最

37、佳的拟合曲线. （2） 在实际应用中, 往往是选用不同的几种曲线进行拟合, 然后分别计算相应的残差平方和221()neiiiQyy或进行比较，Qe或2最小者为更优拟合. 例例9.3.2 (续例9.3.1)由例9.3.1的散点图看出, 除双曲线拟合外, 本例还可选择倒指数拟合: y=aeb/x（参见表 9-1 指数函数）. 解 解 对 y=aeb/x两边取对数得 1lnlnyabx , 令1ln ,uy vx, A=lna, 则 y=aeb/x变为如下的线性回归方程 uAbv. 利用最小二乘法(2.4)式求得 b=-1.1107,A=2.4578, 因此线性回归方程为 2.45781.1107u

38、v . 代回原变量得到倒指数拟合关系 1.1107/11.6489exy . 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 319 页页 经计算，双曲线拟合时1.55eQ , 而倒指数拟合时0.96eQ , 可见倒指数拟合效果更好些. 讲评讲评 (1) 提示读者例 9.3.1 和例 9.3.2 结合在一起学习，分解其中的解题步骤； (2) 像例 9.3.1 和例 9.3.2 这样不同解法的对比处理，在实际问题中经常使用.这是因为处理问

39、题所存在的“随机性”和“主观性”， 都会导致不同的结果或结论.关键问题是，我们如何才能找到一个比较满意的结果或结论. 思考题思考题 1. 用回归分析方法得到的回归方程是否惟一？如果不惟一， 如何判定哪一个回归方程更实用呢？ 2. 哪些因素影响预测区间的精度？怎样提高预测精度？ 解题参考解题参考 1. 得到的回归方程与事先选定的回归模型有关， 因此用回归分析方法得到的回归方程不惟一. 选用几种不同的曲线进行拟合, 比较残差平方和2()eiiiQyy或，其比较小者为更优拟合. 2. 影响预测精度的主要因素有: (1) 残差或 Qe: 它们越小, 预测精度越高; (2) 样本容量 n ； n 越大,

40、 预测精度越高; (3) 自变量的取值 xi: xi应尽量避免过于集中. 预测点 x0离x越近时预测精度越高. 提高预测精度的方法有， (1) 寻找几个不同的回归方程进行比较，残差或 Qe较小者预测精度高； (2) 增大样本容量 n ，n 越大预测精度越高; (3) 选取预测点 x0离x越近时预测精度越高. 小 结 与 小 结 与 本次课介绍了回归分析、一元线性回归分析、可化为一元线性回归分析的基本类型等概念和方法. 为进行回归分析, 我们通常先进行 n 次独立观测, 得到 x 与 Y 的 n对实测数据 (xi, yi), i=1,2,n, 利用这些数据对回归函数 f(x)进行估计. (1)

41、如何确定回归函数 f(x)的类型呢? 作散点图，或者计算相关系数，以观察或分析函数类型. (2) 一元线性回归分析,我们要完成哪些工作呢？ 计算回归系数，进行显著性检验，做预测和控制. (3) 解决可化为线性回归的曲线回归模型的步骤 概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版概率论与数理统计教案 第九章第一、二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第第 320 页页 思 考 小 结 与 思 考 思 考 小 结 与 思 考 1) 利用观测数据(xi,yi), i=1, 2, n, 作出散点图; 2) 通过散点图

42、判断和选择曲线回归函数的类型; 3) 通过变量代换化上述曲线回归函数为线性函数, 并对原始观测数据(xi,yi), i=1, 2, n, 进行对应地变换得到数据( ,)iix y, i=1, 2, n; 4) 利用上述数据( ,)iix y, i=1, 2, n, 计算线性回归模型的经验公式, 进行显著性检验、点预测和区间预测等统计分析; 5) 将上述线性回归模型的经验公式、点预测和预测区间通过逆变量代换转化为原曲线回归模型的对应结果; 6) 选 用 几 种 不 同 的 曲 线 进 行 拟 合 , 比 较 残 差 平 方 和2()eiiiQyy，其最小者为更优拟合. 希望同学们对本章几个例题要掌握其中的解法， 将所学方法利用到解决实际问题中. 章教学体会记录 章教学体会记录 章教学问题记录 章教学问题记录